Transversalmoden und Gruppengeschwindigkeit im Raum

Ein Bassarray — DBA, SBA oder ein gemessenes Verfahren wie WaveForming — wirkt nur bis zu einer bestimmten Frequenz, und diese Grenze steht mit dem Abstand zwischen den Chassis fest, bevor der erste Filter gerechnet wird. Warum das so ist, lässt sich mit der üblichen Sicht auf Raummoden nicht erklären. Es braucht einen zweiten Blickwinkel auf dasselbe Schallfeld.

Dieser Blickwinkel stammt aus der Kanalakustik: Ein Raum wird als Wellenleiter betrachtet, durch den Schall der Länge nach läuft. Über seinen Querschnitt kann er dabei verschiedene Muster annehmen — das ist gemeint, wenn von Transversalmoden die Rede ist —, und diese Muster verhalten sich unterschiedlich. Eines von ihnen läuft mit voller Schallgeschwindigkeit gleichförmig durch den Raum, alle anderen sind langsamer und kommen später an.

Dieselbe Physik, zwei Blickwinkel

Die übliche Sicht beschreibt eine Raummode als stehende Welle zwischen Raumbegrenzungen, und die Rayleigh-Gleichung rechnet aus, bei welchen Frequenzen der Raum das tut. Das ist die Sicht auf den eingeschwungenen Zustand: Der Raum hat fertig geantwortet, und man sieht das Muster, das übrig bleibt.

Die Kanalsicht schaut auf den Vorgang davor. Sie zerlegt das Feld in Bestandteile, die ihre Form beim Laufen behalten — jeder Bestandteil ein festes Muster über den Raumquerschnitt, das der Länge nach durch den Raum wandert. Sjoerd Rienstra, Mathematiker an der Technischen Universität Eindhoven, führt diese Zerlegung in seinen Vorlesungsnotizen zur Kanalakustik vor: Das Feld in einem schallharten Kanal ist eine Summe solcher Moden, jede mit einem Muster über den Querschnitt und einer eigenen Wellenzahl in Laufrichtung.

Beide Sichten beschreiben dasselbe. Eine stehende Welle ist eine laufende Welle, die am Ende reflektiert wird und sich mit sich selbst überlagert. Der Unterschied liegt in der Frage, die man stellt: Wer wissen will, wo ein Raum dröhnt, rechnet die stehenden Wellen. Wer wissen will, was in den ersten Millisekunden am Hörplatz ankommt und ob eine Wellenfront geschlossen bleibt, braucht die laufenden.

Die planare Mode und alles darüber

Unter den Mustern über den Querschnitt gibt es genau eines, das ausgezeichnet ist: das gleichförmige. Es hat über die ganze Querschnittsfläche denselben Druck, kennt weder Knoten noch Bäuche und heißt planare Mode. In Rienstras Zerlegung ist es der Eigenwert null; sein Muster ist die Konstante.

Zwei Eigenschaften folgen daraus, und beide sind der Grund, warum jedes Arrayverfahren genau diese Mode und nur sie erzeugen will.

Sie läuft mit voller Schallgeschwindigkeit, also mit rund 343 m/s, und zwar bei jeder Frequenz gleich schnell. Ihre Wellenfront bleibt deshalb geschlossen: Was vorn gleichzeitig losgeschickt wird, kommt hinten gleichzeitig an.

Und sie existiert bei jeder Frequenz. Für sie gibt es keine untere Grenze, unterhalb derer sie verschwindet.

Jedes andere Muster hat über den Querschnitt mindestens einen Vorzeichenwechsel — links Überdruck, rechts Unterdruck, oder oben gegen unten. Diese Moden höherer Ordnung verhalten sich in beiden Punkten anders, und darum geht es auf dieser Seite.

Jede Mode hat eine Grenzfrequenz — und sie ist bekannt

Eine Mode höherer Ordnung läuft nicht bei jeder Frequenz. Unterhalb einer Grenzfrequenz wird ihre Wellenzahl in Laufrichtung imaginär, und das bedeutet: Sie läuft nicht, sondern klingt vom Ort ihrer Anregung an exponentiell ab. Rienstra nennt sie dann cut off; sie transportiert keine Energie durch den Kanal. Oberhalb dieser Frequenz ist sie cut on und läuft mit.

Für einen rechteckigen Querschnitt der Seiten B (Breite) und H (Höhe) steht die Grenzfrequenz in derselben Form da, die aus der Modenrechnung schon bekannt ist: Es ist die Rayleigh-Gleichung ohne ihren Längsterm. Gerechnet wird sie auf der Formelseite zu Grenzfrequenz und Gruppengeschwindigkeit von Transversalmoden, zusammen mit dem Sonderfall der planaren Mode, deren Grenzfrequenz null ist und die deshalb bei jeder Frequenz läuft.

Die Grenzfrequenz einer Transversalmode ist damit nichts Neues: Sie ist genau die Frequenz derjenigen Raummode, die über Breite und Höhe dasselbe Muster hat und in Längsrichtung keine Ordnung — in einem 5,00 m breiten Raum liegt die erste bei 34 Hz, bei 2,60 m Höhe die erste vertikale bei 66 Hz.

Und die bekannten Längsmoden fügen sich lückenlos ein. Eine Raummode mit der Längsordnung n_x liegt oberhalb der Grenzfrequenz ihres Querschnittsmusters, und der Abstand dazu ist genau der Anteil, den die Längsrichtung beisteuert. Die beiden Sichten widersprechen sich nicht; sie sind zwei Lesarten derselben Gleichung.

Warum die Wellenfront auseinanderläuft

Oberhalb ihrer Grenzfrequenz läuft eine Mode höherer Ordnung — aber langsamer als 343 m/s. Maßgeblich ist dafür die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit der die Mode Energie durch den Raum transportiert; Rienstra bezeichnet sie ausdrücklich als Signalgeschwindigkeit. Wie stark eine Mode gebremst wird, hängt allein davon ab, wie weit die betrachtete Frequenz über ihrer Grenzfrequenz liegt; die Gleichung dazu steht bei den Transversalmoden.

An der Grenzfrequenz selbst ist sie null — die Mode steht. Weit oberhalb nähert sie sich der Schallgeschwindigkeit an, ohne sie zu erreichen. Für eine Mode mit 34 Hz Grenzfrequenz und einen 6,00 m langen Raum sieht das so aus:

Die Erklärung dafür ist anschaulich und steht so in der Quelle: Die Wellenfront einer solchen Mode läuft nicht parallel zur Raumachse, sondern schräg zwischen den Seitenwänden hin und her. Sie legt damit einen längeren Weg zurück, und in Längsrichtung kommt sie entsprechend später an.

Hier steckt die praktische Folge. Regt eine Bassquelle neben der planaren Mode auch Moden höherer Ordnung an, kommt derselbe Impuls am Hörplatz mehrfach und zeitlich verschmiert an — nach der Tabelle in einem Wohnzimmer über gut fünfzehn Millisekunden verteilt. Und die Verzögerung hängt an der Frequenz: Nahe der Grenzfrequenz ist sie groß, weiter oben klein. Das ist die genaue Fassung der verbreiteten Kurzform „tiefere Frequenzen laufen langsamer" — langsamer ist nicht die tiefere Frequenz an sich, sondern jede Frequenz nahe der Grenzfrequenz ihrer Mode. Die planare Mode ist davon vollständig frei.

Warum der Chassisabstand die obere Grenze setzt

Ein Bassarray will nur die planare Mode anregen, und die planare Mode ist das gleichförmige Muster über die ganze Wand. Ein perfekt gleichförmig schwingender Wandkolben würde genau das leisten. Ein Array aus einzelnen Chassis ist eine Näherung daran, und die Abweichung zwischen der Näherung und dem gleichförmigen Muster ist es, die die Moden höherer Ordnung anregt.

Solange diese Moden unterhalb ihrer Grenzfrequenz liegen, ist die Abweichung folgenlos: Sie klingt in wenigen Metern ab, und was am Hörplatz ankommt, ist wieder eine ebene Wellenfront. Der Raum putzt den Fehler von selbst weg. Oberhalb der Grenzfrequenz läuft er mit.

Damit hängt alles daran, wie fein die Wand abgetastet wird. Stehen die Chassis im Abstand d — wobei die Spiegelquellen in den Begrenzungen mitzählen, weshalb Arrays regelmäßig im Raster aufgeteilt werden —, dann ist d die feinste Struktur der Quellverteilung, und die zugehörige Transversalmode setzt die Grenze dieser Richtung:

text f_grenz = c / (2 · d)

d = Abstand zweier benachbarter Quellen (Spiegelquellen mitgezählt)

Wie Breite und Höhe zusammenkommen

Eine Wand hat zwei Richtungen, also zwei Abstände: den waagerechten zwischen den Spalten und den senkrechten zwischen den Reihen. Jede Richtung liefert nach der Formel oben ihre eigene Grenze, und damit steht die Frage im Raum, welche davon für das Array insgesamt gilt. Die Fachliteratur beantwortet sie dreifach, und zwischen der strengsten und der weichsten Antwort liegt am selben Raum etwa der Faktor zwei.

Goertz, Wolff und Naumann nehmen den kleineren der beiden Richtungswerte. Diese Lesart verspricht nie mehr, als das Array in seiner schwächeren Richtung leistet.

Celestinos und Nielsen nehmen die Frequenz derjenigen Mode, die beide Richtungen zugleich hat — das ist die Rayleigh-Gleichung ohne ihren Längsterm. Weil sich die beiden Beiträge darin quadratisch addieren, liegt dieser Wert immer über jedem der Einzelwerte. In ihrem Messraum von 4,12 m Breite und 2,78 m Höhe, mit zwei Chassis nebeneinander auf halber Höhe, stehen 62 Hz nach der ersten Lesart gegen 104 Hz nach dieser; gemessen hat ihr System bis 100 Hz.

Arturo Santillán rechnet in einer dritten Arbeit über die volle statt über die halbe Wellenlänge und zieht davon einen Betrag ab, der an der Bedämpfung des Raums hängt. Beziffert ist dieser Betrag nur für zwei simulierte Fälle, und deshalb folgt aus dieser Fassung für einen Wohnraum keine Auslegungszahl. Sie erklärt dafür, warum es nach oben überhaupt eine harte Grenze gibt: Bei der Mode, deren Wellenlänge dem Quellenabstand entspricht, sitzen gleichphasig angesteuerte Quellen genau in deren Bäuchen und regen sie besonders wirksam an.

Keine der drei Arbeiten setzt sich mit einer der anderen auseinander, und keine begründet, warum ihr Erfolgsmaß das maßgebliche wäre — die drei prüfen drei verschieden strenge Auffassungen davon, was „funktioniert" heißt. Für eine Planung braucht es trotzdem genau eine Chassiszahl.

AVITECT legt die mittlere Lesart zugrunde, also die kombinierte Mode. Das ist eine Haussetzung und kein Messergebnis: Sie liegt zwischen den beiden anderen Antworten, und an ihrer Seite steht die Messung der begutachteten Arbeit. Eine eigene Messreihe an einem gebauten Array kann sie bestätigen oder ersetzen. Wer strenger auslegen möchte, findet in der ersten Lesart die Zahl dafür — sie verlangt im Beispiel unten das Dreifache an Chassis.

Ein Zahlenbeispiel für die Planung. Eine Frontwand von 5,00 m Breite und 2,60 m Höhe, kontrolliert werden soll der Bereich bis zur üblichen Übergangsfrequenz von 80 Hz. Zwei Chassis nebeneinander auf halber Höhe, jedes ein Viertel der Breite von seiner Seitenwand entfernt: Die kombinierte Mode aus zwei Ordnungen über die Breite und einer über die Höhe liegt bei 95 Hz und damit über dem Ziel. Es sind also zwei Chassis je Wand, und bei einem Aufbau mit vorderem und hinterem Array vier insgesamt.

Nach der strengen Lesart sähe dieselbe Wand anders aus. Der Abstand dürfte dann in beiden Richtungen 2,14 m nicht überschreiten: Waagerecht ergeben zwei Spalten 2,50 m — zu viel; drei Spalten ergeben 1,67 m und reichen. Senkrecht ergibt eine Reihe 2,60 m — zu viel; zwei Reihen ergeben 1,30 m und reichen. Das wären sechs Chassis je Wand und zwölf bei einem DBA. Wer eine Chassiszahl plant, sollte diesen Unterschied kennen, denn er bestimmt die Kosten des Bassteils.

Daran ist dreierlei bemerkenswert, und der dritte Punkt ist der teure. Die Zahl folgt aus der Wandfläche, der Zielfrequenz und der gewählten Lesart und aus sonst nichts — weder aus dem gewünschten Pegel noch aus dem Budget. Sie lässt sich auch nicht durch bessere Chassis ersetzen, weil die Grenze eine geometrische und keine elektrische ist. Und oberhalb der Grenze hört das Array nicht einfach auf zu wirken: Es regt dann genau die Moden an, die es vermeiden sollte, und schickt Energie in ein Feld, das auseinanderläuft.

Nicht zu verwechseln: Gruppenlaufzeit

Die Gruppenlaufzeit hat einen ähnlichen Namen und einen anderen Gegenstand, und die Verwechslung ist in Herstellertexten häufig.

Die Brücke zwischen beiden ist eine Division. Läuft eine Mode mit v_g über eine Strecke, ergibt sich daraus eine Laufzeit, und weil v_g von der Frequenz abhängt, ist diese Laufzeit frequenzabhängig — also ein Beitrag zur Gruppenlaufzeit, die am Hörplatz gemessen wird. Der Eintrag zur Gruppenlaufzeit nennt den Raum bereits als eine ihrer vier Ursachen und den größten Beitrag im Wohnraum; hier steht der Mechanismus dahinter.

Der Unterschied bleibt trotzdem scharf: Eine Gruppengeschwindigkeit ist eine Eigenschaft des Raums und existiert unabhängig davon, ob jemand misst. Eine Gruppenlaufzeit ist ein Messwert einer Kette zwischen einem Eingang und einem Ort.

Grenzen und Sonderfälle

Ein Raum ist kein Kanal. Rienstras Darstellung gilt für einen Kanal mit gleichbleibendem Querschnitt, der in Laufrichtung nirgends endet; ein Wohnraum hat an beiden Enden eine Wand. Die laufenden Moden werden dort reflektiert und bilden die bekannten Längsmoden — genau der Grund, warum die Kanalsicht die stehende Welle nicht ersetzt. Nützlich ist sie für alles, was sich als Vorgang beschreiben lässt: die erste Wellenfront, die Wirkung eines Arrays, das gezielte Auslöschen einer Rückwandreflexion beim DBA. Für den eingeschwungenen Zustand bleibt die Rechnung mit stehenden Wellen zuständig.

Die Übertragung vom Kanal auf den Wohnraum stammt von dieser Seite und nicht von der Quelle. Rienstra behandelt Triebwerkskanäle; die Mathematik ist dieselbe, die Randbedingungen eines Wohnraums sind es nicht.

Schallharte Begrenzungen sind Voraussetzung. Eine Trockenbauwand, eine abgehängte Decke oder eine Holzbalkendecke sind es nicht; sie verändern die Eigenwerte und damit die Grenzfrequenzen, und wie stark, ist unbekannt — dieselbe offene Stelle, die Bauart und Basswiedergabe für die Modenrechnung insgesamt festhält. Für Räume, die keine Quader sind, gilt das verschärft: Bei Dachschräge oder Erker ist der Querschnitt nicht mehr rechteckig, die einfache Formel verliert ihre Grundlage, und es bleibt die Messung — siehe Räume ohne Quader.

Die Zahlen der beiden Tabellen sind aus den belegten Beziehungen gerechnet und keine Messwerte. Sie zeigen Größenordnungen für einen idealisierten Fall; die tatsächliche Verteilung der angeregten Moden hängt an der Quelle, an der Dämpfung und am Möblierungsgrad.

Und ein Vorbehalt zur Wirkung: Dass ein Verfahren nur die planare Mode anregen will, sagt nichts darüber, wie gut ihm das gelingt. Was die einzelnen Verfahren erreichen und wie ihre Belege zu lesen sind, behandelt die aktive Basskontrolle.

Verknüpfte Inhalte

Die Sicht auf Moden als stehende Wellen steht bei der Raummode und den tangentialen und schrägen Raummoden; was der Befund für die Planung wert ist, führen die Raummoden aus. Grenzfrequenz und Gruppengeschwindigkeit rechnet die Formelseite zu den Transversalmoden, die Eigenfrequenzen des Quaderraums die Rayleigh-Gleichung, die Umrechnung zwischen Frequenz und Meter die Wellenlänge; wo die Einzelbetrachtung endet, sagt die Schroeder-Frequenz.

Die Verfahren, für die diese Seite die Begründung liefert, stehen bei SBA, DBA, Multisub, WaveForming und Cylindrical WaveForming; ihre Einordnung gegeneinander bei der aktiven Basskontrolle. Trinnovs eigene Umsetzung von WaveForming führt die Technologieseite Trinnov WaveForming. Bis wohin ein Array überhaupt zuständig ist, legt die Übergangsfrequenz fest, und woran der Erfolg gemessen wird, die Sitz-zu-Sitz-Varianz. Die namensähnliche und andere Größe ist die Gruppenlaufzeit.

Quellen

Die Zerlegung des Feldes in Moden mit Querschnittsmuster und axialer Wellenzahl, die Existenz genau eines gleichförmigen Musters mit dem Eigenwert null, das Abklingen unterhalb und das Laufen oberhalb der Grenzfrequenz, die Beziehungen für Phasen- und Gruppengeschwindigkeit samt der Aussage, dass allein die planare Welle mit voller Schallgeschwindigkeit läuft, und die Eigenwerte des rechteckigen Querschnitts stammen aus Rienstras Vorlesungsnotizen zur Kanalakustik, im Volltext am Objekt gelesen. Die Grenzfrequenzformel für den rechteckigen Querschnitt und die Gleichung für die Gruppengeschwindigkeit sind daraus umgestellt und stehen auf der zugehörigen Formelseite; beide Tabellen dieser Seite sind damit gerechnet.

Die Anwendung dieser Zusammenhänge auf Bassarrays im Wohnraum stammt der Darstellung nach aus einem Hersteller-Whitepaper und ist hier nach dem eigenen Recherchebriefing referiert, nicht am Whitepaper selbst nachgelesen. Die Herstellerangabe zur erreichbaren Bandbreite ist als solche gekennzeichnet und wird nicht als Physik geführt.

Das Abstandskriterium und die drei Wege, aus Breite und Höhe eine Arbeitsgrenze zu machen, stammen aus drei begutachteten beziehungsweise auf einer Fachtagung veröffentlichten Arbeiten: dem Beitrag von Goertz, Wolff und Naumann von 2003, der Arbeit von Celestinos und Nielsen von 2008 und der Arbeit von Santillán von 2001. Alle drei sind hier nach den eigenen Recherchebriefings referiert und für diese Fassung der Seite nicht am Objekt nachgelesen; die Belegstellen stehen in den Briefings im Wortlaut. Welche der drei Lesarten AVITECT anwendet, ist eine Haussetzung und steht als solche im Text.