Grenzfrequenz und Gruppengeschwindigkeit von Transversalmoden

Ein rechteckiger Raumquerschnitt verhält sich wie ein Wellenleiter: Neben der gleichförmigen, planaren Welle führt er Muster höherer Ordnung, die erst ab einer bestimmten Frequenz überhaupt laufen — und dann langsamer als der Schall selbst. Diese Seite rechnet beide Größen, Grenzfrequenz und Gruppengeschwindigkeit, und zeigt, warum sie keine neue Physik sind, sondern dieselbe Rayleigh-Gleichung aus einem anderen Blickwinkel.

Natürliche Erklärung

Woher die Grenzfrequenz kommt. In einem verlustfreien Kanal mit rechteckigem Querschnitt lässt sich die Wellengleichung trennen: Der Schalldruck wird als Produkt aus einem Muster über den Querschnitt (y, z) und einer laufenden Welle in Achsrichtung (x) angesetzt, p(x, y, z, t) = ψ(y, z) · e^(i(ωt − k·x)). Setzt man diesen Ansatz in die Wellengleichung ein, zerfällt sie in zwei getrennte Bedingungen: Das Querschnittsmuster ψ muss eine Eigenwertgleichung mit Eigenwert α erfüllen, und die axiale Wellenzahl k ergibt sich aus

text k² = (ω/c)² − α²

Für einen schallharten Rechteckquerschnitt mit den Seiten B und H sind die Eigenwerte selbst wieder eine kleine Rayleigh-artige Summe: α² = (nπ/B)² + (mπ/H)² mit den Modenordnungen n und m. Damit eine Mode überhaupt läuft, muss k reell sein, also (ω/c)² ≥ α² gelten. Die Gleichheit markiert die Grenzfrequenz f_c: Genau dort wird k = 0, die Welle steht in Achsrichtung still. Unterhalb davon wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ, k wird imaginär, und aus der laufenden Welle e^(−ikx) wird ein reiner Abklingterm e^(−|k|x) — die Mode transportiert dann keine Energie mehr durch den Kanal, sie klingt vom Ort ihrer Anregung an exponentiell ab. Die Fachbegriffe dafür sind cut-on (oberhalb f_c, die Mode läuft) und cut-off (unterhalb f_c, sie klingt ab).

Warum die Gruppengeschwindigkeit kleiner als c ist. Oberhalb ihrer Grenzfrequenz läuft eine Mode, aber langsamer als die Schallgeschwindigkeit selbst. Der Grund liegt in derselben Zerlegung: Die Wellenfront einer Mode höherer Ordnung steht nicht senkrecht zur Achse, sondern schräg dazu — sie pendelt zwischen den Seitenwänden hin und her, während sie sich insgesamt vorwärtsbewegt. Für den Anteil der Bewegung, der tatsächlich in Achsrichtung vorankommt, bleibt deshalb weniger übrig als die volle Schallgeschwindigkeit. Die Gruppengeschwindigkeit v_g ist die Geschwindigkeit, mit der auf diesem Zickzackweg tatsächlich Energie und Signal transportiert werden — deshalb bezeichnet Rienstra sie ausdrücklich als Signalgeschwindigkeit. An der Grenzfrequenz selbst ist sie null: Die Wellenfront steht quer im Kanal und bewegt sich in Achsrichtung gar nicht mehr. Weit oberhalb der Grenzfrequenz nähert sich v_g der vollen Schallgeschwindigkeit c an, ohne sie je zu erreichen — der Zickzackwinkel wird mit steigender Frequenz immer flacher.

Die Dispersionsbeziehung v_g · v_f = c². Neben der Gruppengeschwindigkeit lässt sich auch eine axiale Phasengeschwindigkeit v_f = ω/k angeben — die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt gleicher Phase in Achsrichtung bewegt. Sie verhält sich spiegelbildlich zur Gruppengeschwindigkeit: An der Grenzfrequenz wird sie unendlich groß (Phasenflächen scheinen sich augenblicklich über den ganzen Querschnitt zu bewegen, obwohl kein Signal so schnell läuft), und mit steigender Frequenz sinkt sie gegen c. Beide Geschwindigkeiten sind über die Schallgeschwindigkeit im Quadrat verknüpft, v_g · v_f = c² — eine Dispersionsbeziehung, die nur für die planare Mode ausartet: Dort sind beide Geschwindigkeiten gleich der Schallgeschwindigkeit selbst, v_g = v_f = c, weil diese Mode keine Zickzackkomponente hat, über die sich Phasen- und Gruppengeschwindigkeit auseinanderziehen könnten.

Der Zusammenhang zur Rayleigh-Gleichung. Die Grenzfrequenz f_c ist keine neue Größe, sondern ein Sonderfall der bereits bekannten Rayleigh-Gleichung für die Eigenfrequenzen eines Quaderraums, f = (c/2) · √((n_x/L)² + (n_y/B)² + (n_z/H)²). Setzt man dort die Längsordnung n_x = 0, bleibt genau die Grenzfrequenz-Formel dieser Seite übrig. Die Grenzfrequenz einer Transversalmode ist also exakt die Rayleigh-Frequenz derjenigen Raummode, die über Breite und Höhe dasselbe Muster hat und in Längsrichtung keine Ordnung besitzt. Die stehende Sicht des Bestands (Raummoden als feste Muster im eingeschwungenen Zustand) und die laufende Sicht dieser Seite (Moden als Wellen, die einen Kanal durchqueren) beschreiben damit dasselbe Feld aus zwei Blickwinkeln — eine stehende Welle ist eine laufende Welle, die am Ende reflektiert wird und sich mit sich selbst überlagert.

Die daraus folgende Laufzeit. Läuft eine Mode mit ihrer Gruppengeschwindigkeit v_g über eine Strecke L — etwa die Länge eines Raums —, ergibt sich ihre Laufzeit einfach aus t = L / v_g. Weil v_g von der Frequenz abhängt, ist auch diese Laufzeit frequenzabhängig: Nahe der Grenzfrequenz ist sie groß, weit darüber nähert sie sich der Laufzeit der planaren Mode (L / c) an. Ein Impuls, der neben der planaren Mode auch Moden höherer Ordnung anregt, kommt am anderen Ende der Strecke deshalb nicht als ein einziges Ereignis an, sondern zeitlich verschmiert über mehrere solcher Laufzeiten.

Eingangsgrößen und Einheiten

Wie bei den anderen Formelseiten zu Raummoden gilt c = 343 m/s bei 20 °C als Konvention; B und H sind von Innenkante zu Innenkante zu messen.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist ein rechteckiger Querschnitt, der in Laufrichtung über die betrachtete Strecke konstant bleibt, mit schallharten, verlustfreien Wänden — die Kanal- oder Wellenleiter-Näherung eines Raumquerschnitts. Für n = m = 0 ergibt sich die planare Mode mit f_c = 0: Sie läuft bei jeder Frequenz mit voller Schallgeschwindigkeit, v_g = v_f = c. Für jede andere Kombination (n, m) ist die Gruppengeschwindigkeit nur oberhalb f_c reell definiert; darunter läuft die Mode nicht, sondern klingt exponentiell mit dem Abstand von der Anregung ab.

Grenzen

Ein Raum ist kein unendlich langer Kanal. Die Herleitung setzt voraus, dass der Querschnitt sich in Laufrichtung nicht ändert und nirgends endet; ein Wohnraum hat dagegen an beiden Enden eine Wand, an der die laufenden Moden reflektiert werden und sich zu den bekannten Längsmoden der Rayleigh-Gleichung zusammensetzen. Für den eingeschwungenen Zustand — wo im Raum eine Mode laut oder leise ist — bleibt deshalb die stehende Modenrechnung zuständig; die laufende Sicht dieser Seite ist für Vorgänge gedacht, die sich als Bewegung beschreiben lassen: die Ankunft einer Wellenfront, ihr zeitliches Auseinanderlaufen, die Laufzeit über eine Strecke.

Schallharte, verlustfreie Begrenzungen sind ebenfalls eine Idealisierung. Eine Trockenbauwand, eine abgehängte Decke oder eine Holzbalkendecke sind das nicht; sie verändern die Eigenwerte und damit die Grenzfrequenzen in unbekanntem Ausmaß. Für Querschnitte, die nicht rechteckig sind — Dachschräge, Erker —, verliert die geschlossene Formel ihre Grundlage.

Diese Seite leitet die Grenzfrequenz und die Gruppengeschwindigkeit her und stellt den Bezug zur Rayleigh-Gleichung her. Die obere Wirkgrenze eines Bassarrays aus dem Abstand seiner Chassis gehört nicht hierher: Der Formelkern ist zwar derselbe, die Zusammenführung der beiden Wandrichtungen zu einer einzigen Arbeitsgrenze beantwortet die begutachtete Literatur aber uneinheitlich, und AVITECT hat dafür einen Hausansatz festgelegt. Beides steht beim Rechner zur Arbeitsgrenze eines Bassarrays.

Rechenbeispiel

Ein Raumquerschnitt von B = 5,00 m Breite und H = 2,60 m Höhe, wie er bereits auf der Wissensseite zu Transversalmoden verwendet wird.

Grenzfrequenz der ersten horizontalen Mode (n = 1, m = 0):

text f_c = (343/2) · √( (1/5,00)² + (0/2,60)² ) = 171,5 · √0,040000 = 171,5 · 0,200000 = 34,3 Hz

Grenzfrequenz der ersten vertikalen Mode (n = 0, m = 1):

text f_c = (343/2) · √( (0/5,00)² + (1/2,60)² ) = 171,5 · √0,147929 = 171,5 · 0,384615 = 66,0 Hz

Beide Werte sind identisch mit den Frequenzen, die die Rayleigh-Gleichung für dieselben Achsen ohne Längsordnung liefert — wie erwartet, denn es ist dieselbe Rechnung.

Gruppengeschwindigkeit und Laufzeit für die Mode mit f_c = 34,3 Hz, über eine Raumlänge von L = 6,00 m:

Zur Probe die Dispersionsbeziehung bei 40 Hz: Die axiale Phasengeschwindigkeit ergibt sich aus v_f = c² / v_g = 343² / 176,47 = 666,7 m/s — deutlich über der Schallgeschwindigkeit, wie es für eine Phasengeschwindigkeit oberhalb der Grenzfrequenz typisch ist, und v_g · v_f = 176,47 · 666,7 ≈ 117.653 m²/s² ≈ 343² = 117.649 m²/s² (die minimale Restdifferenz stammt aus der Rundung von v_g und v_f auf zwei Nachkommastellen) bestätigt die Beziehung.

Die Tabelle zeigt den praktischen Kern: Nahe der Grenzfrequenz ist die Mode deutlich langsamer als der Schall und braucht entsprechend länger für dieselbe Strecke; mit steigender Frequenz nähert sie sich der planaren Laufzeit an, erreicht sie aber nie ganz.

Verknüpfte Inhalte

Die ausführliche Einordnung dieser beiden Beziehungen in die Basskontrolle — warum ein Bassarray genau die planare Mode anregen will und wie sich Gruppengeschwindigkeit von Gruppenlaufzeit unterscheidet — steht auf der Wissensseite Transversalmoden und Gruppengeschwindigkeit im Raum. Die stehende Sicht auf dieselbe Physik liefern die Rayleigh-Gleichung und ihr axialer Sonderfall, die axialen Raummoden; was eine Raummode grundsätzlich ist, führt der Glossareintrag zur Raummode aus. Die Umrechnung von Weg und Zeit mit konstanter Schallgeschwindigkeit behandelt Schalllaufzeit und Delay; anders als dort ist die hier verwendete Geschwindigkeit frequenzabhängig. Die Abgrenzung zur ähnlich benannten, aber andersartigen Gruppenlaufzeit und die Frage, bis wohin die Einzelmodenbetrachtung überhaupt sinnvoll ist, klärt die Schroeder-Frequenz.

Quellen

Die Zerlegung des Feldes in Moden mit Querschnittsmuster und axialer Wellenzahl, die cut-on/cut-off-Bedingung, die Gleichungen für Gruppen- und Phasengeschwindigkeit samt der Dispersionsbeziehung v_g · v_f = c² sowie die Eigenwerte des rechteckigen Querschnitts stammen aus Rienstras Vorlesungsnotizen zur Kanalakustik, im Volltext am Objekt gelesen. Grenzfrequenzformel und Gruppengeschwindigkeitsgleichung für den rechteckigen Querschnitt sind daraus umgestellt; der Bezug zur Rayleigh-Gleichung, die Herleitung über die Separation der Wellengleichung und die Laufzeitrechnung sind Ableitungen dieser Seite auf Basis der belegten Gleichungen.