Rayleigh-Gleichung (Raummoden allgemein)

Die Gleichung liefert sämtliche Eigenfrequenzen eines quaderförmigen Raums — nicht nur die drei axialen Reihen aus Länge, Breite und Höhe, sondern auch alle Moden, die über vier oder sechs Flächen laufen. Aus denselben drei Maßen wird damit statt einer kurzen Liste eine dichte Frequenzfolge, und genau die erklärt, warum eine Messung im Bass unruhiger aussieht als die gerechnete Modenliste erwarten lässt.

Aufgestellt hat sie John William Strutt, bekannt als Lord Rayleigh, der die Eigenschwingungen begrenzter Lufträume in seinem Werk „The Theory of Sound" in den 1870er-Jahren systematisch behandelte — lange bevor jemand Wohnräume für Musikwiedergabe auslegte.

Natürliche Erklärung

Eine stehende Welle entsteht, wenn eine Welle nach Hin- und Rückweg wieder phasenrichtig auf sich selbst trifft. Bei der axialen Mode ist dieser Weg leicht vorstellbar: senkrecht zwischen zwei Wänden, und es passt eine ganze Zahl von halben Wellenlängen dazwischen. Die anderen Moden funktionieren nach demselben Prinzip, nur läuft die Welle schräg — und dann muss die Bedingung nicht mehr auf einer Strecke aufgehen, sondern gleichzeitig auf allen drei Raumachsen.

Genau das steht in der Gleichung. Jeder Summand unter der Wurzel ist die Bedingung für eine Achse: n_x halbe Wellenlängen über die Länge, n_y über die Breite, n_z über die Höhe. Weil die drei Bedingungen gleichzeitig gelten müssen, addieren sie sich quadratisch — dieselbe Rechnung wie bei der Raumdiagonale, und aus demselben Grund. Eine Null bedeutet dabei nicht „keine Mode", sondern „auf dieser Achse ändert sich nichts": Die Welle läuft zu diesem Flächenpaar parallel.

Aus dieser Struktur folgt das eigentliche Ergebnis. Jede zusätzliche belegte Achse schiebt die Frequenz nach oben, denn unter der Wurzel kommt ein weiterer positiver Summand dazu. Deshalb liegt jede tangentiale Mode oberhalb der axialen, aus denen sie zusammengesetzt ist, und deshalb füllen die Kombinationen die Abstände zwischen den axialen Reihen. Nach oben hin wächst die Zahl der möglichen Tripel rasant — mit der dritten Potenz der Frequenz —, und irgendwo liegen die Moden so dicht, dass sich einzelne nicht mehr sinnvoll herausrechnen lassen. Wo dieser Punkt liegt, sagt die Schroeder-Frequenz.

Die Gleichung hat noch einen zweiten, oft übersehenen Nutzen. Sie nennt nicht nur die Frequenz, sondern legt auch fest, wie sich der Schalldruck dieser Mode im Raum verteilt. Die Ordnungszahl einer Achse ist zugleich die Zahl der Druckminima auf dieser Achse: Eine Mode mit n_x = 1 hat genau eine Ebene ohne Druck, und zwar in der Mitte der Längsachse; bei n_x = 2 liegen die beiden Ebenen bei einem Viertel und drei Vierteln der Raumlänge. In jeder Raumecke dagegen hat jede Mode ein Druckmaximum — ohne Ausnahme, weshalb die Ecke der zuverlässigste Ort für einen Bassabsorber und der ungünstigste für einen Sitzplatz ist.

Eingangsgrößen und Einheiten

Welche Achse Du L, B oder H nennst, ist gleichgültig, solange Du die Zuordnung durchhältst — die Gleichung behandelt alle drei gleich. Für c gilt wie auf den anderen Formelseiten 343 m/s bei 20 °C; die Temperaturabhängigkeit ist dort beschrieben und verschiebt jede Modenfrequenz um knapp 2 % über eine Spanne von 15 °C bis 25 °C.

Gerechnet wird von Innenkante zu Innenkante. Eine abgehängte Decke verkleinert H auf das lichte Maß, ein Doppelboden ebenso — der Hohlraum darüber oder darunter ist akustisch ein eigenes Volumen und nicht Teil des Raums.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist der Quader mit sechs schallharten, rechtwinklig zueinander stehenden Flächen. Für jede andere Raumform gibt es keine geschlossene Lösung; Dachschrägen, Erker und offene Durchgänge machen die Rechnung zur groben Orientierung und die Messung zur eigentlichen Auskunft. Wo die Rechnung dort nur ungenau wird und wo sie gar nicht mehr anwendbar ist, behandelt die Seite zu Räumen, die keine Quader sind.

Die Ordnungszahlen laufen theoretisch bis unendlich. Praktisch endet die sinnvolle Auflistung an der Schroeder-Frequenz — darüber sind es so viele Moden, dass die Einzelbetrachtung keinen Erkenntnisgewinn mehr bringt.

Wie bei den axialen Moden gilt: Wände, die selbst mitschwingen — eine Leichtbauwand, eine große Fensterfläche, eine abgehängte Decke —, entziehen der Mode Energie und verschieben ihre Frequenz. In welche Richtung, hängt davon ab, ob die Mode unter oder über der Resonanz des Wandaufbaus liegt; die verbreitete Faustaussage „nach unten" gilt deshalb nicht pauschal. Was das für die Bauart bedeutet, steht auf der Seite zu Bauart und Basswiedergabe.

Grenzen

Die Gleichung sagt, wo eine Mode liegt, nicht wie stark sie ausfällt. Das gilt für die axiale Rechnung ebenso und ist dort ausführlich beschrieben; neu hinzu kommt hier nur, dass die Frage bei tangentialen und schrägen Moden noch stärker ins Gewicht fällt. Sie werden pro Umlauf öfter reflektiert, verlieren dabei mehr Energie und fallen deshalb im Mittel schwächer aus als die axialen. Eine Liste, die alle Moden gleichrangig aufführt, überzeichnet das Problem.

Und sie sagt nichts darüber, welche Moden Deine Lautsprecher überhaupt anregen. Eine Mode wird nur dann kräftig angeregt, wenn die Quelle nahe an einem ihrer Druckmaxima steht — ein Subwoofer in einer Druckminimum- Ebene lässt die zugehörige Mode weitgehend in Ruhe. Genau darauf beruhen die Aufstellungsregeln für Subwoofer, und genau deshalb ist die Modenliste ein Ausgangspunkt für die Positionssuche, kein Ergebnis.

Rechenbeispiel

Derselbe multifunktionale Raum wie auf den anderen Formelseiten: L = 5,60 m, B = 4,20 m, H = 2,50 m. Mit c = 343 m/s ist c/2 = 171,5 m/s.

Eine einzelne Mode, die schräge (1, 1, 1), zum Nachrechnen:

text f = 171,5 · √( (1/5,60)² + (1/4,20)² + (1/2,50)² ) = 171,5 · √( 0,031888 + 0,056689 + 0,160000 ) = 171,5 · √0,248577 = 171,5 · 0,498575 = 85,5 Hz

Alle Moden bis 125 Hz, sortiert:

Vierundzwanzig Moden, von denen nur acht axial sind. Der Vergleich mit der axialen Rechnung ist der eigentliche Ertrag dieser Seite: Dort blieb zwischen 91,9 Hz und 122,5 Hz eine Lücke von 30 Hz ohne jede Mode. In der vollständigen Rechnung liegen in dieser Lücke acht Moden. Wer nach der axialen Liste plant und dann misst, findet genau dort Auffälligkeiten und hält sie für einen Messfehler.

Zwei weitere Stellen lohnen den Blick. Bei 91,9 Hz und 92,0 Hz fallen zwei Moden praktisch zusammen, ebenso liegen 100,5 Hz und 100,6 Hz übereinander — solche Paare addieren sich zu einer kräftigeren Überhöhung als jede einzelne Mode. Noch deutlicher wird es am oberen Ende: Zwischen 122,5 Hz und 123,0 Hz drängen sich vier Moden in einem halben Hertz. Der Grund dafür steht in den Raummaßen. Die vierte Längsmode (4, 0, 0) trifft exakt auf die dritte Quermode (0, 3, 0), weil das Seitenverhältnis 5,60 zu 4,20 genau 4 zu 3 ist — ganzzahlige Verhältnisse zwischen Raummaßen legen Moden übereinander, statt sie zu verteilen. Klar, eine Häufung bei 122 Hz wiegt weniger schwer als dieselbe Häufung bei 40 Hz — dort oben stehen genug Nachbarmoden daneben, die den Bereich ohnehin füllen, während eine tiefe Mode alleine steht. Belanglos ist sie trotzdem nicht, denn mit einer Schroeder-Frequenz von rund 150 bis 190 Hz liegt dieser Raum bei 122 Hz noch im modalen Bereich.

Was daraus für die Planung folgt, hängt davon ab, wie früh Du dran bist. Im Neubau oder beim Trockenbau ist die Modenliste noch ein Entwurfswerkzeug: Kantenlängen ohne ganzzahlige Verhältnisse verteilen die Frequenzen, statt sie übereinanderzulegen. Steht der Raum schon, verschiebt sich die erste Frage auf den Hörplatz — wo sitzt er relativ zu den Druckmaxima und -minima der kräftigen tiefen Moden? Erst danach geht es um den Weg dorthin: Reichen Sitz- und Subwoofer-Position, braucht der Raum mehrere Bassquellen, oder ist tief wirksame Absorption nötig? Welche Geräte das leisten, ist die letzte dieser Fragen. Die Modenliste liefert Zahlen für die erste; entscheiden kann sie nichts.

Verknüpfte Inhalte

Der axiale Sonderfall mit seiner einfachen Vielfachreihe steht auf der Seite zu den axialen Raummoden — dort auch die Herleitung über die halbe Wellenlänge und der Umgang mit der Schallgeschwindigkeit. Was die drei Modenarten unterscheidet und wie sie sich in Häufigkeit und Stärke verhalten, erklärt der Glossareintrag zu tangentialen und schrägen Raummoden; was eine Raummode überhaupt ist, der Eintrag zur Raummode. Bis zu welcher Frequenz sie gilt, klärt die Schroeder-Frequenz. Die Gegenmaßnahmen behandeln Bassabsorber, Multisub sowie SBA und DBA; was die Rechnung nicht ersetzt, zeigt die Raummessung.

Quellen

Die Eigenwertgleichung für den quaderförmigen Raum geht auf Rayleighs „The Theory of Sound" zurück und steht in jeder Standardliteratur zur Raumakustik; die Zuordnung der Modenarten über die Ordnungszahlen und die Druckverteilung ebenso.