Modendichte und Modenabstand

Die Modendichte gibt an, wie viele Eigenfrequenzen eines Raums auf ein Hertz entfallen. Der Modenabstand ist ihr Kehrwert: der mittlere Abstand benachbarter Moden in Hertz. Beide beschreiben dieselbe Eigenschaft von zwei Seiten — wie eng die Moden im betrachteten Frequenzbereich stehen.

Ausführliche Erklärung

Die Zahl der Moden in einem Raum wächst rasant mit der Frequenz. Für den Hauptanteil gilt eine kurze Beziehung, die auf den Göttinger Mathematiker Hermann Weyl und seine Arbeit zur Verteilung von Eigenwerten aus dem Jahr 1911 zurückgeht:

text dN/df ≈ 4 · π · V · f² / c³ δf = 1 / (dN/df)

dN/df = Modendichte in Moden je Hz V = Raumvolumen in m³ f = Frequenz in Hz c = Schallgeschwindigkeit in m/s δf = mittlerer Modenabstand in Hz

Zwei Dinge stecken darin. Erstens das Quadrat der Frequenz: Eine Verdopplung der Frequenz vervierfacht die Dichte und viertelt den Abstand. Zweitens das Volumen, das linear eingeht — der doppelt so große Raum hat bei jeder Frequenz doppelt so viele Moden je Hertz.

Für den Beispielraum von 5,60 × 4,20 × 2,50 m, also 58,8 m³, sieht das so aus:

Bei 200 Hz liegen die Moden so eng, dass zwischen zwei benachbarten kaum mehr als ein Hertz Platz ist. Bei 50 Hz sind es gut zwanzig — dort ist jede Mode für sich ein Ereignis, und genau deshalb hört man sie einzeln.

Damit fehlt aber noch die Hälfte der Antwort. Ob Moden als getrennt wahrnehmbar sind, hängt nicht nur davon ab, wie weit sie auseinanderliegen, sondern auch davon, wie breit sie sind. Eine Mode ist keine Linie, sondern eine Resonanz mit endlicher Bandbreite, und diese Bandbreite folgt aus ihrer Dämpfung: B ≈ 2,2 / T, mit T als Abklingzeit in Sekunden — die Größe hat einen eigenen Eintrag, hier zählt nur, dass sie mit der Frequenz nicht wächst. Ein Raum mit 0,35 s Nachhallzeit hat Moden von rund 6 Hz Breite, oben wie unten. Solange der Abstand größer ist als die Breite, stehen die Moden für sich; sobald er kleiner wird, überlappen sie und mitteln sich heraus.

Genau dieses Verhältnis aus Bandbreite und Abstand ist die Größe, die den Übergang beschreibt. Manfred Schroeder setzte die Grenze bei etwa drei überlappenden Moden an; oberhalb davon verhält sich der Raum statistisch, unterhalb modal. Aus dieser Bedingung folgt die bekannte Abschätzung der Schroeder-Frequenz, f_s ≈ 2000 · √(T/V), und für den Beispielraum landet man bei rund 154 Hz. Die Schroeder-Frequenz ist also kein eigenständiges Phänomen, sondern das, was herauskommt, wenn man Modenabstand und Modenbandbreite gegeneinander stellt.

Und hier kommt die Einschränkung, die man kennen muss, bevor man mit der Formel arbeitet: Sie ist eine Näherung für große Modenzahlen. Ausgerechnet im Modalbereich — dort, wo Bassprobleme entstehen — gilt sie nicht. Unterhalb von etwa 50 Hz enthält der Beispielraum überhaupt nur zwei Moden; ein Mittelwert über zwei Ereignisse sagt nichts. Dazu kommen Korrekturglieder für Wandflächen und Kanten, die im Tiefbass in derselben Größenordnung liegen wie der Hauptterm und den tatsächlichen Abstand kleiner ausfallen lassen als die Tabelle oben; ausgeschrieben und durchgerechnet stehen sie auf der Formelseite zur Modendichte. Im Modalbereich zählt man die Moden deshalb einzeln aus, statt ihre Dichte zu schätzen — das leistet die Rayleigh-Gleichung, und darauf bauen auch die Proportionskriterien auf.

Häufiges Missverständnis

„Ein großer Raum hat weniger Moden, deshalb ist er akustisch einfacher." Er hat mehr, und zwar deutlich mehr — das Volumen steht im Zähler. Der Vorteil des großen Raums liegt woanders: Seine tiefste Mode sitzt tiefer, seine Moden stehen bei jeder Frequenz enger beieinander, und seine Schroeder-Frequenz liegt niedriger. Der problematische Bereich, in dem einzelne Moden herausstechen, ist also schmaler. Nicht die Zahl der Moden stört, sondern ihre Vereinzelung.

Der zweite verbreitete Kurzschluss lautet, viele Moden je Terzband seien grundsätzlich gut, und ein Raum mit hoher Modendichte sei damit akustisch entschärft. Die Dichte sagt nur etwas über die Zahl, nicht über die Verteilung und nichts über die Stärke. Fallen mehrere Moden auf dieselbe Frequenz, steigt die Dichte im Mittel genauso, während der Raum akustisch schlechter wird, weil daneben eine Lücke klafft. Deshalb bewerten Kriterien wie das von Bonello nicht die Dichte selbst, sondern ihren Verlauf über der Frequenz.

Nicht zu verwechseln mit

• Modenbandbreite: die Breite einer einzelnen Mode, bestimmt von ihrer Dämpfung. Der Modenabstand ist der Platz zwischen zwei Moden. Erst beide zusammen sagen, ob sich Moden überlappen.
• Schroeder-Frequenz: eine Frequenz in Hertz, oberhalb derer das Verhältnis von Bandbreite zu Abstand kippt. Sie ist das Ergebnis, die Modendichte eine der Eingangsgrößen.
• Bonello-Kriterium: ein Bewertungsmaßstab für Kantenverhältnisse, der die Modenzahl je Terzband auswertet. Er benutzt die Größe, er ist sie nicht.
• Modendichte einer Platte: In der Bauakustik hat auch eine Wand oder Scheibe eigene Biegewellenmoden mit eigener Dichte. Gleicher Begriff, anderes Schwingungssystem.

In der Planung

Ein Kunde will ein Heimkino im Keller einrichten und stellt die Frage, die fast immer zuerst kommt: welcher Subwoofer. Der Raum ist 4,10 m lang, 3,00 m breit und 2,30 m hoch, also gut 28 m³. Bei diesem Volumen liegt die Schroeder-Frequenz je nach Dämpfung bei 200 Hz und darüber — der gesamte Bass und ein Teil der Grundtöne liegen im Modalbereich. Die erste Mode sitzt bei rund 42 Hz, darunter ist der Raum akustisch stumm, und darüber folgen die nächsten in unregelmäßigen Abständen zwischen wenigen und rund fünfzehn Hertz — mal klafft eine Lücke, mal stehen zwei fast aufeinander.

Deshalb kommt das Gerät später: In diesem Raum ist nicht zu klären, welcher Subwoofer tiefer spielt, sondern wie ein Frequenzbereich beherrscht wird, in dem der Raum jede einzelne Mode einzeln durchstellt. Der Weg dahin ist klar — Aufstellung und Hörplatz zuerst, dann mehrere Quellen zur Vergleichmäßigung, dann tief wirksame Absorption mit echtem Bauvolumen, und erst danach Entzerrung. Welches Gerät das umsetzt, ist die letzte Frage der Kette, nicht die erste.

Die Modendichte beantwortet dabei genau eine Frage, und man sollte ihr keine zweite stellen: ob in einem Frequenzbereich Einzelereignisse wirken oder ein Mittelwert. Alles Weitere — Stärke, Nachschwingen und Ort einer Mode — steht auf einem anderen Blatt und ist bei der Raummode und beim modalen Ausschwingen nachzulesen.

Verknüpfte Inhalte

Was eine Raummode überhaupt ist, steht bei der Raummode; wie sich die einzelnen Eigenfrequenzen eines Quaderraums ausrechnen, auf der Rayleigh-Formelseite. Die Schroeder-Frequenz führt den Übergang zum diffusen Feld aus, die Modenbandbreite die Gegengröße zum Abstand und das modale Ausschwingen dieselbe Größe von der Seite der Zeit her. Warum Häufungen und Lücken in der Verteilung schaden und welche Kantenverhältnisse sie erzeugen, behandeln die degenerierten Moden und die Wissensseite zu Raumproportionen und Modenverteilung.

Quellen

Das asymptotische Wachstum der Modenzahl mit Volumen und Frequenz sowie der mittlere Modenabstand folgen der Standardliteratur zur Raumakustik; das Überlappungskriterium von rund drei Moden je Bandbreite geht auf Schroeder zurück.