Schallgeschwindigkeit über der Temperatur

Die Schallgeschwindigkeit in Luft hängt von einer einzigen Größe ab: der Temperatur. Wetterlage, Höhenlage und Luftfeuchte fallen praktisch heraus, und was übrig bleibt, ist eine Gerade, die Du im Kopf ausrechnen kannst. Diese Seite liefert die Gebrauchsformel, die Herleitung dahinter und die Größenordnung, ab der es sich lohnt, den Rechenwert 343 m/s durch einen eigenen zu ersetzen.

Natürliche Erklärung

Schall breitet sich aus, weil ein Stück Luft sein Nachbarstück anschiebt. Wie schnell diese Weitergabe läuft, entscheidet ein Kräftespiel aus zwei Eigenschaften: Wie stark wehrt sich die Luft gegen das Zusammendrücken, und wie träge ist sie dabei? Die Steifigkeit beschleunigt die Weitergabe, die Masse bremst sie. Genau dieses Verhältnis steht unter der Wurzel — im Zähler die Steifigkeit κ · p₀, im Nenner die Dichte ρ₀.

Der Adiabatenexponent κ = 1,4 im Zähler ist die berühmteste Korrektur der Akustikgeschichte. Isaac Newton rechnete 1687 ohne ihn und landete rund 15 Prozent zu niedrig; erst der französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace erkannte 1816, dass die Luft im Schallfeld ihre Verdichtungswärme nicht loswird und sich deshalb steifer verhält, als der reine Luftdruck vermuten lässt. Warum das im ganzen Hörbereich gilt, klärt der Eintrag zur adiabaten und isothermen Zustandsänderung.

Warum am Ende nur die Temperatur übrig bleibt

Die Wurzelform sieht aus, als bräuchte man ein Barometer: Luftdruck steht im Zähler, Dichte im Nenner. Für ein ideales Gas gilt aber p₀ / ρ₀ = R_s · T — steigt der Druck bei gleicher Temperatur, steigt die Dichte im selben Verhältnis mit. Beides kürzt sich gegeneinander weg, und zurück bleibt:

text c = √( κ · R_s · T )

Daraus folgt eine Aussage, die im Alltag oft überrascht: Ein Hochdruckgebiet ändert die Schallgeschwindigkeit nicht, und ein Raum in 1.500 m Höhe auch nicht. Was sich in der Höhe ändert, ist die Temperatur — und die wirkt dann über diese Formel.

Woher die Zahlen 331,3 und 0,606 kommen

Beide Werte fallen aus der Wurzelform heraus, sobald man sie an 0 °C anlegt. Der Achsenabschnitt ist die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C:

text c(0 °C) = √( 1,4 · 287,05 J/(kg·K) · 273,15 K ) = 331,3 m/s

Die Steigung ist die Änderung dieser Zahl je Grad. Weil c mit der Wurzel aus T wächst, ergibt sich für die Umgebung von 0 °C:

text Steigung = c(0 °C) / (2 · 273,15 K) = 331,3 / 546,3 = 0,606 m/(s·°C)

Die Gebrauchsformel ist damit die Tangente an die Wurzelkurve im Nullpunkt. Das erklärt zugleich ihre Grenze: Je weiter Du Dich von 0 °C entfernst, desto weiter läuft die Gerade über die Kurve hinaus.

Eingangsgrößen und Einheiten

Gemeint ist die Temperatur der Luft auf dem Schallweg. Im Wohnraum sind das die Bedingungen auf Ohrhöhe während des Hörens, und die liegen nach drei Stunden Betrieb mit vollem Sofa und laufendem Projektor über dem Wert, den das Thermostat an der Wand morgens anzeigt. Im Freien ist die Luft über einer besonnten Terrasse messbar wärmer als zwei Meter darüber — deshalb ist der Zahlenwert dort ohnehin eine Annahme über den Mittelwert entlang der Strecke.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Gerade ist im Wohn- und Studiobereich völlig ausreichend. Wie gut sie die Wurzelform trifft, zeigt der direkte Vergleich:

Zwischen 0 °C und 40 °C bleibt die Abweichung unter 1 m/s, also unter 0,25 Prozent. Erst weit außerhalb üblicher Umgebungsbedingungen wird die Gerade untauglich.

Damit steht auch fest, woher der Hauswert kommt: Bei 20 °C liefert die Wurzelform 343,2 m/s und die Gerade 343,4 m/s. Auf drei Stellen gerundet ergeben beide die 343 m/s, mit denen die Raumakustik-Seiten rechnen — die Rundung kostet also so wenig wie der Wechsel zwischen beiden Rechenwegen.

Die zweite Zahlenreihe ist die praktisch wichtigere: was die Temperatur gegenüber dem Rechenwert 343 m/s anrichtet.

Der übliche Wohnraumkorridor von 18 °C bis 26 °C spannt also gut anderthalb Prozent auf. Draußen wird daraus schnell das Vierfache.

Grenzen

Die erste Grenze ist die Gerade selbst. Sie ist eine Tangente und keine Kurve, und sie läuft mit wachsendem Abstand von 0 °C nach oben davon. Für Sauna, Motorraum oder Abgasstrecke gilt die Wurzelform.

Die zweite Grenze ist die Luftfeuchte. Wasserdampfmoleküle sind leichter als die Stickstoff- und Sauerstoffmoleküle, die sie verdrängen, also wird feuchte Luft mit steigender Feuchte leichter — und Schall in ihr etwas schneller. Im Wohnraum bleibt der Effekt klein gegenüber der Temperatur.

Die dritte Grenze betrifft den Luftdruck, und sie ist eine Entwarnung: Er fällt aus der Rechnung heraus. Wo eine Höhenlage die Schallgeschwindigkeit verändert, geschieht das über die Temperatur der dortigen Luft.

Die vierte Grenze ist das Medium. Die Zahlen dieser Seite gelten ausschließlich für Luft. In Wasser läuft Schall mit rund 1.480 m/s, in Beton mit mehreren tausend Metern pro Sekunde. Für Körperschall in Bauteilen ist die Größenordnung dieser Seite schlicht falsch.

Und schließlich sagt diese Formel nur, wie schnell Schall läuft. Wie stark er unterwegs leiser wird, ist eine andere Frage — dort wirken Temperatur und Feuchte weit stärker und in eine ganz andere Richtung, gerechnet nach ISO 9613-1.

Rechenbeispiel

Der multifunktionale Raum der anderen Formelseiten ist 5,60 m lang. Seine tiefste axiale Längsmode liegt bei f = c / (2 · 5,60 m). Was macht die Temperatur damit?

text 18 °C: c = 331,3 + 0,606 · 18 = 342,2 m/s f = 342,2 / 11,2 = 30,55 Hz

26 °C: c = 331,3 + 0,606 · 26 = 347,1 m/s f = 347,1 / 11,2 = 30,99 Hz

Acht Grad Unterschied verschieben die Mode um 0,44 Hz, also um 1,4 Prozent. Bei der dritten Ordnung um 91 Hz sind es schon 1,3 Hz — der Prozentwert bleibt derselbe, die absolute Verschiebung wächst mit der Frequenz.

Was 1,4 Prozent bedeuten, wird an einer anderen Umrechnung greifbar: Dieselbe Modenverschiebung bekämst Du, wenn der Raum acht Zentimeter länger wäre.

text 5,60 m · 1,4 % = 0,078 m ≈ 8 cm

Acht Zentimeter sind im Wohnraum die Dicke einer Fußleiste mit Vorhang davor. Für die Modenrechnung heißt das: Die Temperatur steht in derselben Größenordnung wie die Frage, ob Du bis zur Wand oder bis zur Gardine gemessen hast — und deutlich unter dem, was Aufstellung und Möblierung im Bass ausmachen.

Dieselbe Rechnung für die Schalllaufzeit auf 5 m Hörabstand:

text 18 °C: t = 5,00 / 342,2 = 0,01461 s = 14,61 ms 26 °C: t = 5,00 / 347,1 = 0,01441 s = 14,41 ms

0,20 ms Unterschied. Das liegt unterhalb der Schrittweite, in der die meisten Prozessoren Distanzen überhaupt annehmen, und weit unterhalb eines sauberen Maßbandfehlers.

Im Freien kippt die Abwägung. Eine Beschallung auf 30 m Strecke, einmal am Frostmorgen und einmal am heißen Nachmittag:

text −5 °C: c = 331,3 − 0,606 · 5 = 328,3 m/s t = 30 / 328,3 = 91,39 ms

35 °C: c = 331,3 + 0,606 · 35 = 352,5 m/s t = 30 / 352,5 = 85,10 ms

Über 6 ms Unterschied auf derselben Strecke, allein durch das Wetter. Wer eine Delay-Linie über einen Garten oder eine Terrasse spannt, rechnet deshalb mit der Temperatur des Einsatztags und nicht mit dem Wohnraumwert — oder legt die Einstellung auf die Bedingungen, unter denen die Anlage überwiegend läuft.

Daraus wird die Planungsreihenfolge. Zuerst die Konzeptfrage, ob die Anwendung überhaupt temperaturempfindlich ist: Raumakustik im geheizten Wohnraum ist es nicht, eine Laufzeitkette über 30 m im Freien schon. Dann die Verfahrensfrage, ob eine feste Annahme reicht oder eine Messung der Umgebungstemperatur dazugehört. Erst danach geht es um das Gerät und darum, ob es überhaupt eine Eingabe für die Schallgeschwindigkeit anbietet.

Verknüpfte Inhalte

Was die Größe selbst bedeutet und womit sie verwechselt wird, klärt der Glossareintrag zur Schallgeschwindigkeit; warum unter der Wurzel κ steht, die adiabate und isotherme Zustandsänderung.

Der hier gerechnete Wert geht anschließend in jede Formel ein, die c enthält: in die Wellenlänge, in die Schalllaufzeit, in die axialen Raummoden und die Rayleigh-Gleichung, in die Lage der Kammfilter-Auslöschungen und in das Abschirmmaß nach Maekawa. Alle sechs rechnen mit 343 m/s bei 20 °C; wer eine andere Temperatur ansetzt, ersetzt dort genau diese eine Zahl.

Quellen

Die Wurzelform c = √(κ · R_s · T) ist Standardstoff der technischen Akustik und folgt aus der adiabaten Zustandsgleichung der Luft; der Faktor √κ geht auf Laplaces Korrektur an Newtons Rechnung zurück. Die Zahlenwerte für Adiabatenexponent, spezifische Gaskonstante und Dichte sind Tabellenwerte der Luft. Achsenabschnitt und Steigung der Gebrauchsformel sind hier aus der Wurzelform nachgerechnet und nicht aus einer Fundstelle übernommen.