Adiabate und isotherme Zustandsänderung der Luft

Wird Luft zusammengedrückt, wird sie warm; entspannt sie sich, kühlt sie ab. Adiabat heißt eine Verdichtung, bei der diese Wärme dort bleibt, wo sie entsteht — es fehlt schlicht die Zeit oder der Weg, sie abzugeben. Isotherm heißt der Gegenfall, bei dem sie vollständig abfließt und die Temperatur überall gleich bleibt. Weil im ersten Fall die Erwärmung den Druck zusätzlich hochtreibt, wehrt sich dieselbe Luft gegen dieselbe Verdichtung um den Faktor 1,4 stärker.

Ausführliche Erklärung

Beide Wörter benennen eine Bedingung des Vorgangs und keine Eigenschaft der Luft: Sie sagen, was mit der Wärme geschieht, die beim Zusammendrücken entsteht. Die Zustandsgleichung eines Gases verknüpft Druck, Volumen und Temperatur; ob man beim Verdichten die Temperatur festhält oder die Wärme einsperrt, entscheidet, welchen Zusammenhang zwischen Druck und Volumen man bekommt.

Das Ergebnis ist ein einziger Zahlenunterschied, der überall wieder auftaucht: der Kompressionsmodul der Luft, also ihre Steifigkeit als Feder.

text K_isotherm = p₀ = 101 325 Pa ≈ 1,01 · 10⁵ Pa K_adiabat = κ · p₀ = 141 855 Pa ≈ 1,42 · 10⁵ Pa

p₀ = statischer Luftdruck auf Meereshöhe κ = Adiabatenexponent der Luft, 1,4 (zweiatomige Gase)

Verhältnis der Steifigkeiten: 1,4 Verhältnis der Frequenzen: √1,4 = 1,18 → rund 18 Prozent

Der Adiabatenexponent selbst ist eine Stoffkonstante, keine Planungsgröße: Er sagt, wie viel der Erwärmung beim Verdichten in zusätzlichen Druck umschlägt, und für Luft ist er 1,4. Zu entscheiden ist an ihm nichts. Die eigentliche Frage lautet, welcher der beiden Fälle in einer konkreten Situation vorliegt — und die Antwort darauf ist weit weniger frei wählbar, als die zwei Wörter vermuten lassen.

Warum Schall im freien Feld immer der adiabate Fall ist

Damit eine Verdichtung isotherm abläuft, muss die Wärme aus dem verdichteten Bereich heraus in einen kälteren gelangen, und zwar schneller, als die nächste Verdichtung kommt. Im freien Schallfeld liegen die kälteren Bereiche eine halbe Wellenlänge entfernt — bei 100 Hz also gut anderthalb Meter. Wärmeleitung in Luft ist dafür um Größenordnungen zu langsam. Selbst bei 20 Hz hat sie keine Chance, und zu höheren Frequenzen wird der Abstand zwar kleiner, die verfügbare Zeit aber im selben Maß auch. Im ganzen Hörbereich gibt es deshalb keinen Übergang: Schall in freier Luft ist adiabat, und daran ändert weder die Frequenz noch der Pegel etwas.

Diese Einsicht ist die berühmteste Korrektur der Akustikgeschichte. Isaac Newton rechnete 1687 in den Principia die Schallgeschwindigkeit erstmals aus Luftdruck und Dichte aus und nahm dabei gleichbleibende Temperatur an. Sein Ergebnis lag rund 15 Prozent unter dem gemessenen Wert, und über ein Jahrhundert lang suchte man den Fehler in der Messung. Erst der französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace erkannte 1816, dass die Verdichtung ohne Wärmeaustausch abläuft, und ergänzte den Faktor √κ. Damit stimmte die Rechnung:

text c_isotherm = √( p₀ / ρ₀ ) = √( 101 325 / 1,20 ) ≈ 290 m/s c_adiabat = √( κ · p₀ / ρ₀ ) = √( 141 855 / 1,20 ) ≈ 343 m/s

Die Schallgeschwindigkeit von rund 343 m/s bei 20 °C ist also selbst schon ein Beleg für den adiabaten Fall — wäre die Verdichtung isotherm, käme Schall spürbar langsamer voran.

Wann der isotherme Grenzfall in Reichweite kommt

Wärme muss nicht bis zur nächsten Verdünnung laufen, wenn eine Oberfläche in der Nähe steht. Ein Faserbündel, eine Porenwand oder eine Kanalwand hat eine riesige Wärmekapazität gegenüber der Luft daneben und hält ihre Temperatur praktisch fest. Um jede solche Fläche liegt eine dünne Zone, in der die Luft ihre Verdichtungswärme sofort loswird — die thermische Grenzschicht, das Gegenstück zur viskosen Grenzschicht und bei Luft rund ein Fünftel dicker als diese. Auch sie wird mit steigender Frequenz dünner, weil der Wärme weniger Zeit bleibt.

Daraus wird ein Vergleich zweier Längen, und der entscheidet alles:

• Ist der Porendurchmesser groß gegen die thermische Grenzschicht, erreicht die Wand nur einen Randstreifen der Luft. Der Rest verdichtet sich adiabat.
• Ist er klein dagegen, füllt die Grenzschicht den Porenraum aus. Praktisch die gesamte Luft steht dann in Wärmekontakt mit dem Fasergerüst, und die Verdichtung nähert sich dem isothermen Fall.

Weil die Grenzschicht zu tiefen Frequenzen hin dicker wird, liegt der isotherme Fall ausgerechnet dort, wo die Bauakustik rechnet. In einem mit Mineralwolle gefüllten Hohlraum beginnt der Übergang unterhalb einiger hundert Hertz und ist im Bereich der typischen Doppelschalen-Resonanz weitgehend vollzogen; zum Hochton hin verhält sich dieselbe Füllung wieder zunehmend adiabat. Der leere Hohlraum bleibt dagegen über den ganzen Bereich adiabat, weil zwei Wände im Abstand mehrerer Zentimeter für die Wärme dasselbe sind wie keine.

Ein zweiter Weg zum isothermen Fall ist die Wärmekapazität selbst. Deshalb heißt die Bedingung „Dämmstoff im Hohlraum" und nicht „irgendein Material": Fasern und offenporige Schäume bieten sehr viel Oberfläche bei wenig Masse und verteilen sich über das ganze Volumen. Eine glatte Blechplatte an der Rückwand ändert nichts, weil sie nur eine Fläche hinzufügt und keine Millionen.

Wo der Unterschied in den Rechnungen sichtbar wird

Überall dort, wo ein Luftpolster als Feder wirkt, steckt der Kompressionsmodul im Vorfaktor der Formel — und weil es zwei Kompressionsmoduln gibt, gibt es zwei Vorfaktoren:

Jeder dieser Vorfaktoren ist nichts anderes als √K/2π, ausgerechnet für die jeweilige Feder — der Rechenweg steht bei der Resonanzfrequenz zweischaliger Aufbauten, die planerische Bedeutung beim Massegesetz. Zwischen 60 und 50 liegt dabei keine Unsicherheit zweier Quellen: Beide Zahlen stimmen, sie gehören zu den beiden physikalischen Grenzfällen desselben Aufbaus.

Auch der Druckkammereffekt rechnet mit dem Adiabatenexponenten: Ein Fahrzeuginnenraum ist gegenüber einer Wellenlänge im Tiefton winzig, aber gegenüber der thermischen Grenzschicht riesig — die Luft darin verdichtet sich also adiabat, obwohl sie eingeschlossen ist.

Häufiges Missverständnis

Der verbreitetste Kurzschluss lautet: schnell gleich adiabat, langsam gleich isotherm — und daraus folgt scheinbar, dass tiefe Töne isotherm verlaufen und hohe adiabat. Das Gegenteil stimmt eher. Entscheidend ist die Zeit im Verhältnis zum Weg, den die Wärme zurücklegen müsste, und niemals die Zeit für sich genommen. Im freien Feld ist dieser Weg immer eine halbe Wellenlänge, und weil er mit sinkender Frequenz genauso wächst wie die verfügbare Zeit, bleibt es bei jeder Frequenz adiabat. Steht dagegen eine Faser in Bruchteilen eines Millimeters Abstand, ist der Weg kurz — und dann hilft ausgerechnet die längere Zeit tiefer Frequenzen dabei, den isothermen Fall zu erreichen.

Der zweite Irrtum steckt im Wort „adiabat" selbst: Es wird oft so gelesen, als würde dabei keine Wärme entstehen. Es entsteht sehr wohl welche, und die Luft wird messbar wärmer — sie gibt diese Wärme nur nicht ab. Isotherm ist der Fall, in dem sie ebenso viel Wärme erzeugt und sofort wieder loswird. Wer das verwechselt, sucht die Erklärung für den weicheren Hohlraum beim Dämmstoff als Schallschlucker, obwohl sie in seiner Wärmekapazität liegt: Die Hohlraumdämmung wirkt zweimal, einmal als Absorber und einmal als Wärmereservoir, und der zweite Effekt verschiebt die Resonanzfrequenz auch dann, wenn kaum etwas absorbiert wird.

Nicht zu verwechseln mit

• Adiabatenexponent κ: die Stoffkonstante 1,4, die zwei Wärmekapazitäten der Luft ins Verhältnis setzt. Sie beschreibt das Material, während „adiabat" den Vorgang beschreibt.
• Isobare und isochore Zustandsänderung: dieselbe Wortfamilie für gleichbleibenden Druck beziehungsweise gleichbleibendes Volumen. In der Akustik kommen beide nicht vor, weil dort Druck und Volumen gerade die schwingenden Größen sind.
• Viskose Grenzschicht: die Zone mit Reibungsverlust an einer Wand. Sie sitzt am selben Ort wie die thermische Grenzschicht und wird oft mit ihr zusammen als thermoviskoser Verlust gerechnet, beschreibt aber Reibung statt Wärmeaustausch.
• Powerkompression: die Erwärmung einer Schwingspule unter Leistung, die den Wirkungsgrad eines Lautsprechers absenkt. Gleiches Stichwort Wärme, aber ein Bauteil statt der Luft.

In der Planung

Eine Vorsatzschale vor der Nachbarwand soll den Trittschall aus dem Nebenraum abhalten, 12,5 mm Gipskarton auf einem 50 mm tiefen Ständerwerk. Zu klären ist zuerst die Resonanz und noch nicht das Material: Unterhalb welcher Frequenz verschlechtert der Aufbau die Dämmung, statt sie zu verbessern? Genau dort sitzt der Einbruch, den die Doppelschalen-Resonanz erzeugt.

Rechnest Du beide Grenzfälle, bekommst Du einen Korridor statt eines Werts: rund 89 Hz für den leeren Hohlraum und rund 75 Hz für den vollständig bedämpften. Der reale Aufbau mit locker eingelegter Mineralwolle liegt dazwischen, und wo genau, hängt an Füllgrad und Strömungswiderstand des Materials. Gerade darin liegt die planerische Auskunft: Der gesamte Korridor muss unterhalb des Bereichs liegen, auf den es ankommt. Bei Heimkino-Tiefton ab 30 Hz ist das keine Selbstverständlichkeit — dann wird der Schalenabstand vergrößert oder die Schale schwerer, bis der ganze Korridor tief genug sitzt.

Bei der Ausführung schlägt die Unterscheidung dann ein zweites Mal durch. Die Hohlraumdämmung verschiebt die Resonanz nach unten und bedämpft den Einbruch zugleich, und beides zusammen macht den leeren Hohlraum in einer Trennwand zur schlechteren Lösung, die obendrein nichts spart. Vollständig ausstopfen hilft dagegen nicht mehr weiter als die übliche Teilfüllung: Ist die Grenzschicht einmal in Wärmekontakt mit dem Fasergerüst, ist der isotherme Grenzfall erreicht, und mehr Material verändert diese eine Größe nicht mehr.

Verknüpfte Inhalte

Warum die Luft überhaupt mit 343 m/s statt mit 290 m/s schwingt, steht bei der Schallgeschwindigkeit; das Gegenstück zur thermischen Grenzschicht behandelt die viskose Grenzschicht. Gerechnet wird der Unterschied bei der Resonanzfrequenz zweischaliger Aufbauten, beim Massegesetz und beim Plattenschwinger. Was ein Luftpolster im geschlossenen Raum sonst noch anstellt, klärt der Druckkammereffekt; die Bauteile, an denen der Korridor aus zwei Vorfaktoren praktisch wird, sind die Vorsatzschale und der Bassabsorber.

Quellen

Dass Schall im freien Feld eine adiabate Zustandsänderung ist und die Schallgeschwindigkeit deshalb den Faktor √κ enthält, ist Standardstoff der technischen Akustik und geht auf die Korrektur von Laplace an Newtons Rechnung zurück. Der Übergang zum isothermen Grenzfall im Porenraum eines Dämmstoffs ist in der Literatur zu porösen Absorbern beschrieben, wo er zusammen mit der Reibung als thermoviskoser Verlust gerechnet wird.