Resonanzfrequenz zweischaliger Aufbauten

Eine Vorsatzschale vor einer Massivwand und ein schwimmender Estrich auf einer Massivdecke sehen im Schnitt völlig verschieden aus und sind akustisch derselbe Fall: eine leichte, bewegliche Schale, dahinter eine Feder, dahinter etwas Schweres, das sich nicht bewegt. Aus dieser Anordnung folgt eine einzige kennzeichnende Zahl — die Resonanzfrequenz —, und sie entscheidet über den Nutzen des ganzen Aufbaus. Unterhalb davon bringt er nichts, in ihrer Nähe verschlechtert er die Dämmung, und erst oberhalb arbeitet er.

Diese Seite rechnet f_R aus — und sie sagt zugleich, warum die dafür kursierenden Faustformeln verschiedene Vorfaktoren haben und keiner davon hier als der richtige ausgegeben wird.

Natürliche Erklärung

Ein zweischaliges Bauteil verhält sich in drei Frequenzbereichen verschieden, und die Beschreibung dafür ist in der Bauphysik seit Jahrzehnten dieselbe. Unterhalb der Resonanzfrequenz schwingen beide Massen, als wären sie starr gekoppelt — der Aufbau dämmt wie ein einschaliges Bauteil desselben Gewichts, die Feder dazwischen spielt keine Rolle. In der Nähe von f_R werden die Amplituden größer als die Anregung, und die Dämmwirkung bricht ein. Oberhalb werden die Amplituden kleiner als die Anregung, und die Verbesserung wächst mit zunehmendem Abstand immer weiter an.

Aus dieser Dreiteilung folgt die einzige Auslegungsregel, die man wirklich braucht: f_R muss an die untere Grenze des interessierenden Bereichs oder darunter. Für den Wohnungsbau ist diese Grenze bei 100 Hz angesetzt, weil die bewerteten Kennwerte den Sprachbereich abbilden. Für ein Heimkino ist sie zwei bis drei Oktaven tiefer, und damit wird aus einer erfüllbaren Forderung eine bauliche Herausforderung.

Warum ändert der Aufbau unterhalb von f_R gar nichts? Weil die Feder für langsame Bewegungen zu steif ist, um nachzugeben. Die Schale hat Zeit, der Anregung zu folgen, sie drückt die Luft oder die Dämmschicht nicht zusammen, und beide Massen wandern gemeinsam. Erst wenn die Anregung schneller wird als das System von sich aus schwingen würde, bleibt die Schale wegen ihrer Trägheit zurück, die Feder verformt sich, und genau darin besteht die Dämmwirkung. Dieselbe Mechanik in umgekehrter Absicht — Masse und Feder als Absorber statt als Trennung — nutzt der Plattenschwinger.

Warum es mehrere Vorfaktoren gibt

Wer nach dieser Formel sucht, findet 60, 50, 85, 160 und 225 und hält das für einen Widerspruch in der Literatur. Es sind zwei Fragen, die jede Quelle anders beantwortet, ohne es immer dazuzuschreiben.

Erste Frage: Wie viele Massen bewegen sich? Vor einer Massivwand bewegt sich praktisch nur die Schale; die Wand ist zwanzig- bis fünfzigmal schwerer, ihr Kehrwert verschwindet in der Summe. Bei einer Metallständerwand ohne massives Grundbauteil bewegen sich beide Schalen, und die Resonanz liegt um den Faktor √2 höher. Beide Fälle werden „zweischalig" genannt, und beide stehen mit demselben Formelbuchstaben in derselben Tabelle. Der frei stehende Doppelwand-Fall wird auf dieser Seite nicht durchgerechnet; er steht beim Massegesetz, zusammen mit der Frage, wie viel Dämmung eine Wand nach ihrem Gewicht überhaupt erwarten lässt.

Zweite Frage: Wird die Luft im Hohlraum beim Zusammendrücken wärmer? In einem leeren Hohlraum ja — die Verdichtung verläuft adiabat, die Luft wirkt steifer, und der Vorfaktor wird 60. Steckt Fasermaterial darin, nimmt es die Wärme auf, die Verdichtung nähert sich dem isothermen Fall, die Feder wird weicher, und aus 60 werden 50. Die Hohlraumdämmung senkt die Resonanz also messbar, und sie bedämpft zusätzlich den Einbruch bei f_R selbst.

Hier liegt allerdings der unsaubere Punkt, den keine der zugänglichen Darstellungen auflöst. Die deutschsprachigen Lehrtabellen führen die 60 für „Luftzwischenraum oder lose schallabsorbierende Einlage" — also für beide Zustände denselben Wert, obwohl die Herleitung für den bedämpften Fall die 50 ergibt. Eine locker eingelegte Dämmschicht ist weder das eine noch das andere; sie liegt zwischen den Grenzfällen, und wo genau, hängt am Strömungswiderstand des Materials und am Füllgrad. Der Unterschied zwischen 50 und 60 sind rund 20 % in der Frequenz, also etwa eine Drittel-Oktave. Für die Frage, ob ein Aufbau unterhalb von 40 Hz landet, ist das viel.

Das Grundbauteil verschwindet aus der Formel, aber nicht aus der Sache

Dass die schwere Wand aus der Rechnung herausfällt, sagt nur etwas über die Resonanzlage. Buchele und Weber vom Fraunhofer-Institut für Bauphysik haben dieselbe freistehende Vorsatzschale vor Grundbauteilen von 9, 90 und 335 kg/m² untersucht — die beiden schweren Fälle gemessen, den leichten aus einer Ständerwerkswand herausgerechnet — und einen deutlichen Einfluss gefunden. Er zeigt sich an der Knickfrequenz: Ab ihr steigt die Verbesserung durch die Schale nicht weiter an, und wo diese Grenze liegt, hängt an der Masse des Grundbauteils. Die Hintergründe des Effekts bezeichnen die Autoren ausdrücklich als noch unklar. Die Gleichung dazu und ihre Auswertung stehen bei der Knickfrequenz von Vorsatzschalen.

Für die Praxis heißt das: Was eine Schale bringt, hängt auch an dem Bauteil, vor dem sie steht — und f_R sagt darüber nichts.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die flächenbezogene Masse ist das Gewicht je Quadratmeter Schale, nicht das Gewicht des Bauteils und nicht die Rohdichte des Materials. Als Anhaltspunkt: 12,5 mm Gipskarton wiegen rund 9 kg je Quadratmeter, fünf Zentimeter Zementestrich rund 120.

Der Schalenabstand d ist das lichte Maß des Hohlraums zwischen den Innenseiten der Schalen, bei einer Ständerkonstruktion also die Ständertiefe. Beim schwimmenden Estrich entspricht ihm die Dicke der Dämmschicht — dort wird aber mit s' gerechnet, weil die Feder das Material ist und nicht die Luft.

Die dynamische Steifigkeit s' wird nach einem eigenen Prüfverfahren bestimmt und in Meganewton je Kubikmeter angegeben. Sie hängt an der Schichtdicke und ist deshalb ohne diese Angabe nicht zu lesen; warum sie außerdem größer ausfällt als die statische Steifigkeit derselben Schicht, steht im Glossareintrag.

Wo die beiden Formelfamilien zusammenlaufen

Die d-Form und die s'-Form beschreiben nicht zwei verschiedene Physiken. Auch in einer Dämmschicht ist Luft, und diese Luft federt mit. Rechnet man ihren Anteil isotherm aus, ergibt sich s_Luft = p₀/d — bei drei Zentimetern Trittschalldämmung also 101 325 / 0,03 = 3,4 MN/m³. Eine Mineralwolle-Trittschalldämmung liegt je nach Klasse zwischen etwa 10 und 30 MN/m³. Die Luft im Porenraum steuert damit einen spürbaren, aber nicht bestimmenden Anteil bei, und das Fasergerüst gibt den Ausschlag. Im Hohlraum einer Vorsatzschale kehrt sich das um: Dort gibt es kein Gerüst, und die Luft ist die ganze Feder.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist eine biegeweiche Schale, die sich als Ganzes bewegt. Oberhalb ihrer eigenen Plattenresonanzen und erst recht oberhalb der Koinzidenzgrenzfrequenz verformt sie sich stattdessen, und dann beschreibt das Modell die Sache nicht mehr.

Vorausgesetzt ist weiter, dass das Grundbauteil stillsteht. Bei einer 24er Massivwand hinter einer Gipskartonschale ist die Annahme gut erfüllt. Bei einer Holzbalkendecke unter einem schwimmenden Estrich ist sie es nicht — die Decke ist dort selbst ein Schwinger mit eigenen Eigenfrequenzen, oft im selben Bereich, und dann greifen zwei Systeme ineinander.

Die Luft im Zwischenraum muss sich als Feder verhalten und noch nicht als Welle. Das setzt einen Hohlraum voraus, der gegenüber der Wellenlänge bei f_R verschwindet — zehn Zentimeter Ständertiefe gegen die knapp sechs Meter, die eine 60-Hz-Welle lang ist. Im Bauwesen ist diese Bedingung praktisch immer erfüllt. Zu höheren Frequenzen hin stellen sich im Hohlraum dann doch stehende Wellen ein und flachen den Anstieg ab; auch deshalb wird er mit Fasermaterial gefüllt.

Und die Rechnung setzt zwei wirklich getrennte Schalen voraus. Jede starre Verbindung überbrückt die Feder: durchgeschraubte Ständer, ein Mörtelrest in der Randfuge, eine Fliese über der Trennung. Solche Schallbrücken kommen in der Formel nicht vor, und sie liefert trotzdem ihren Wert.

Grenzen

Die Formel liefert eine Frequenz und keine Dämmung. Das ist die härteste Einschränkung, und sie ist belegt: Buchele und Weber haben dreizehn Rechenmodelle für die frequenzabhängige Verbesserung durch Vorsatzschalen an Messergebnissen erprobt — physikalisch-mathematische, statistische und semiempirische — und kommen zu dem Schluss, dass keines davon für die praktische akustische Auslegung geeignet ist. Wer f_R ausrechnet, weiß, wo die Schwachstelle liegt. Wie viele Dezibel der Aufbau darüber bringt, weiß er damit nicht.

Wie tief der Einbruch bei f_R ausfällt, hängt an der Dämpfung und ist schwer vorhersehbar. Aus 95 ausgewerteten Datensätzen ergaben sich für die Verschlechterung bei der Resonanzfrequenz Mittelwerte von −2,6 ± 1,7 dB bei freistehenden Schalen und −7,2 ± 3,3 dB bei Verbundsystemen, also bei vollflächig mit dem Grundbauteil verklebten Dämmschichten. Die Streuung ist größer als der halbe Mittelwert.

Beim schwimmenden Estrich hat die Rechnung ein bekanntes Eigenleben. Das sogenannte Estrichdröhnen tritt unterhalb von 160 Hz und schwerpunktmäßig unterhalb von 100 Hz auf, ist wegen der zweischichtigen Bauweise bauartbedingt nicht zu verhindern, und die Resonanzfrequenz lässt sich rechnerisch nicht exakt bestimmen — auch die Raumabmessungen wirken mit. Der Rechenwert ist dort eine Orientierung und keine Prognose.

Und die Auslegung endet nicht am Bauteil. Selbst ein fehlerfrei ausgeführter Aufbau hat Wege um sich herum — beim Estrich über den eigenen Rand in die aufgehende Wand, bei der Wand über die anschließenden Bauteile. Was davon bleibt, behandelt die Flankenübertragung.

Rechenbeispiel

Teil 1 — die übliche Vorsatzschale, und was die Vorfaktoren auseinanderbringt. Vor einer Massivwand steht ein Ständerwerk mit 50 mm Schalenabstand, beplankt mit einer Lage GKB von 12,5 mm und 9 kg/m²; der Hohlraum ist mit Mineralwolle gefüllt.

text m' · d = 9 · 0,05 = 0,45 √0,45 = 0,6708

adiabat: f_R = 60 / 0,6708 = 89,4 Hz isotherm: f_R = 50 / 0,6708 = 74,5 Hz

Für eine freistehende Vorsatzschale dieser Bauart nennen Buchele und Weber eine gemessene Resonanz von rund 80 Hz. Der Messwert liegt also zwischen den beiden gerechneten Werten, und das ist der ganze Grund, warum diese Seite keinen der Vorfaktoren auswählt: Beide sind Grenzfälle, und der bedämpfte Hohlraum liegt dazwischen.

Was der Abstand bringt, zeigt dieselbe Schale mit mehr Hohlraum (gerechnet mit dem ungünstigeren Vorfaktor 60):

text d = 0,05 m: f_R = 60 / √0,45 = 89,4 Hz d = 0,10 m: f_R = 60 / √0,90 = 63,2 Hz d = 0,20 m: f_R = 60 / √1,80 = 44,7 Hz

Weil m' und d unter derselben Wurzel im Produkt stehen, wirken sie genau gleich stark: Eine zweite Plattenlage auf 5 cm Abstand landet bei denselben 63,2 Hz wie eine einzelne Lage auf 10 cm. Und für eine Halbierung von f_R braucht es das Vierfache — vier mal so viel Abstand oder vier mal so viel Gewicht. Das ist die Rechnung hinter der Beobachtung, dass ernsthafte Kinoräume innen deutlich kleiner sind, als der Grundriss vermuten lässt.

Teil 2 — der schwimmende Estrich, und was die Dämmstoffwahl kostet. Fünf Zentimeter Zementestrich mit rund 120 kg/m² liegen auf einer Trittschalldämmschicht. Gerechnet wird einmal mit einer dynamischen Steifigkeit von 30 MN/m³ und einmal mit 10 MN/m³ — die beiden Größenordnungen, zwischen denen die üblichen Trittschalldämmschichten liegen.

text s' = 30 MN/m³: f_R = 160 · √(30 / 120) = 160 · 0,500 = 80,0 Hz s' = 10 MN/m³: f_R = 160 · √(10 / 120) = 160 · 0,289 = 46,2 Hz

Der Sprung von der Standarddämmung zur empfohlenen ist damit beziffert: Er senkt die Resonanz um beinahe eine Oktave, und das für einen Aufbau, der von außen identisch aussieht. Er reicht trotzdem nicht aus dem kritischen Bereich heraus — 46 Hz liegen weiterhin unter der 100-Hz-Marke und mitten im Arbeitsbereich eines Subwoofers. Schwerer wird es kaum besser: Ein Estrich von 6,5 cm mit 150 kg/m² kommt auf 41,3 Hz, weil auch hier die Wurzel bremst.

Damit ist die unbequeme Aussage für das Heimkino zweimal dieselbe. Im Wandaufbau lässt sich f_R über den Schalenabstand weit genug nach unten bringen, wenn man bereit ist, den Raum dafür herzugeben. Im Bodenaufbau gibt es diesen Hebel nicht: d ist durch die zulässige Zusammendrückbarkeit und die Aufbauhöhe festgelegt, s' durch die Nutzlast begrenzt, und m' wächst nur linear unter einer Wurzel. Der Bassanteil eines Kinos wird deshalb über die Entkopplung der Quellen gelöst, über Masse an den richtigen Stellen und im Ernstfall über einen Raum-im-Raum-Aufbau.

In der Planung. Wand und Boden verlangen dieselben drei Fragen in derselben Folge. Am Anfang steht das Spektrum: In welchen Oktaven muss dieses Bauteil dichter werden — Sprache oder Filmton? Bei Sprache ist die Aufgabe mit einem Standardaufbau erledigt, bei Filmton fängt sie dort erst an. Danach kommt der verfügbare Hebel, und der unterscheidet die beiden Fälle: an der Wand der Schalenabstand, am Boden die dynamische Steifigkeit. Ganz zuletzt die Produktwahl, der unkritischste Teil des Ganzen — ob die Beplankung aus Gipskarton oder Gipsfaser besteht, verschiebt f_R um wenige Prozent; ob die Schale freisteht oder durchgeschraubt ist, entwertet die Rechnung ganz.

Verknüpfte Inhalte

Die Bauform an der Wand mit ihren Auslegungshebeln, ihren Messwerten und dem Einfluss der Befestigung steht bei der Vorsatzschale, das Pendant am Boden beim schwimmenden Estrich — beide Einträge benennen f_R als die entscheidende Größe und verweisen für die Rechnung hierher. Den freistehenden Doppelwand-Fall mit zwei beweglichen Schalen rechnet das Massegesetz, zusammen mit der Luftschalldämmung einer einschaligen Wand. Für ein einzelnes Gerät auf Federelementen gilt derselbe Gedanke punktförmig statt flächig; das rechnet Eigenfrequenz und Einfügedämmung elastischer Lagerung, und dort steht auch, wie viel Dämmung oberhalb der Eigenfrequenz herauskommt. Dieselbe Masse-Feder-Mechanik als Absorber im Raum nutzt der Plattenschwinger.

Die Eingangsgrößen erklären die flächenbezogene Masse und die dynamische Steifigkeit. Warum ein System überhaupt eine bevorzugte Frequenz hat, klärt die Resonanz; warum eine einzige starre Verbindung die Rechnung entwertet, die Schallbrücke; wozu das Ganze gebaut wird, die Entkopplung und die Schalldämmung.

Quellen

Die Dreiteilung des Frequenzverhaltens und die Forderung, f_R an die untere Grenze des relevanten Bereichs zu legen, stehen im Bauphysik-Vorlesungsskript von Hans-Peter Leimer an der HAWK Hildesheim, das für diese Seite im Volltext eingesehen wurde; dort sind Metallständerwand, Vorsatzschale und schwimmender Estrich ausdrücklich als derselbe Systemtyp geführt. Die Messwerte zur Verschlechterung bei f_R, die gemessenen Resonanzlagen, der Einfluss des Grundbauteils über die Knickfrequenz und der Befund zu den dreizehn geprüften Rechenmodellen stammen aus dem DAGA-Beitrag von Andreas Buchele und Lutz Weber vom Fraunhofer-Institut für Bauphysik, ebenfalls im Volltext gelesen. Das semiempirische Rechenmodell dahinter geht auf Karl Gösele zurück, dessen Aufsatz zur Berechnung der Luftschalldämmung doppelschaliger Bauteile 1980 in der Zeitschrift Acustica erschien.

Die Herleitung des Feder-Masse-Modells und die Umrechnung der Federsteifigkeiten in die Vorfaktoren sind Lehrbuchwissen und oben Schritt für Schritt nachgerechnet.