Eigenfrequenz und Einfügedämmung elastischer Lagerung

Sobald eine Masse auf einem federnden Element steht, entsteht ein Schwinger mit einer einzigen kennzeichnenden Zahl: seiner Eigenfrequenz. Diese Zahl entscheidet über alles Weitere — unterhalb davon ändert die Lagerung nichts, in ihrer Nähe macht sie es schlimmer, und erst oberhalb dämmt sie. Diese Seite rechnet f₀ auf drei Wegen aus und sagt, wie viel Dämmung oberhalb tatsächlich herauskommt.

Natürliche Erklärung

Ein Masse-Feder-System hat eine Frequenz, bei der es von selbst schwingen will. Regt man es genau dort an, schaukelt es sich auf: Die Bewegung der Masse ist größer als die Bewegung des Untergrunds, und die Lagerung überträgt mehr Kraft, als eine starre Verbindung es täte. Regt man es weit oberhalb an, kommt die Masse wegen ihrer Trägheit schlicht nicht mehr mit — die Feder verformt sich, die Masse bleibt näherungsweise stehen, und genau darin besteht die Dämmwirkung.

Der Umschlagpunkt liegt nicht bei f₀, sondern beim √2-Fachen davon, also rund beim 1,4-Fachen. Zwischen f₀ und 1,4·f₀ ist die Übertragung noch größer als ohne Lagerung; erst oberhalb wird sie kleiner. Das ist der Grund für die Auslegungsregel, die überall wiederholt wird: Die Eigenfrequenz muss deutlich unter den Bereich, den man abhalten will — nicht knapp darunter.

Oberhalb geht es dann schnell. Weil die Übertragung mit dem Quadrat der Frequenz fällt, gewinnt jede Verdopplung des Abstands zur Eigenfrequenz rund 12 dB dazu:

Die Zeile bei f/f₀ = 1 enthält bewusst keine Zahl. Ohne Dämpfung wäre die Überhöhung dort unendlich; real begrenzt sie die innere Dämpfung des Elements. Und hier liegt der unbequeme Teil: Dieselbe Dämpfung, die die Resonanzspitze zähmt, verringert die Dämmung weit oberhalb. Ein stark gedämpftes Elastomer ist im Resonanzbereich gutmütig und weit darüber schlechter als eine Stahlfeder; eine Stahlfeder dämmt oben hervorragend und ist bei ihrer Eigenfrequenz gefährlich. Beides ist eine Entscheidung und kein Qualitätsunterschied.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die dynamische Steifigkeit ist nicht dieselbe wie die statische. Ein Elastomer verhält sich unter schneller Wechselbelastung steifer als beim langsamen Zusammendrücken, und zwar deutlich. Die Rechnung aus der Einfederung liefert deshalb bei Gummi- und Schaumelementen eine zu niedrige Eigenfrequenz — sie ist eine untere Schranke, kein Messwert. Bei Stahlfedern stimmen statische und dynamische Steifigkeit dagegen praktisch überein, und dort ist die Einfederungsregel genau. Woher der Unterschied kommt, welche Größen ihn beeinflussen und warum ein Datenblattwert immer zu einer Prüfbedingung gehört, steht im eigenen Glossareintrag.

Die flächenbezogene Größe s' ist dieselbe Steifigkeit, bezogen auf einen Quadratmeter Dämmschicht; sie stammt aus der Bauakustik, wird nach DIN EN 29052-1 bestimmt und in Meganewton je Kubikmeter angegeben (MN/m³). Mit ihr und der flächenbezogenen Masse der Schale rechnet man denselben Zusammenhang für schwimmende Estriche und entkoppelte Vorsatzschalen, ohne einzelne Federn zu zählen — dass sie an der Schichtdicke hängt und deshalb nie ohne diese Angabe zu lesen ist, steht bei der dynamischen Steifigkeit.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist eine starre Masse auf einem unnachgiebigen Untergrund. Die zweite Bedingung fällt in Wohngebäuden am häufigsten durch: Eine Holzbalkendecke ist keine feste Bezugsebene, sondern selbst ein Schwinger mit eigenen Eigenfrequenzen, oft im selben Bereich wie die Lagerung darüber. Dann greifen zwei Systeme ineinander, und diese Rechnung beschreibt die Sache nicht mehr. Auf einer Massivdecke ist die Annahme dagegen gut erfüllt.

Betrachtet wird nur die vertikale Bewegung. Ein Gerät auf vier weichen Füßen kann außerdem kippen und rollen, und diese Bewegungsformen haben eigene, meist tiefere Eigenfrequenzen. Bei einem hohen, schmalen Standlautsprecher auf sehr weichen Elementen ist das kein akademischer Einwand, sondern eine Standsicherheitsfrage.

Nach unten begrenzt die Praxis: Sehr tiefe Eigenfrequenzen verlangen große Einfederungen. Für 3 Hz sind es rund 2,8 cm — mit Stahlfedern erreichbar, mit einem Elastomerlager nicht mehr. Für 1 Hz wären es knapp 25 cm, und dort hört der Federstahl auf und die Luftfeder fängt an. Nach oben verliert die Lagerung ihren Sinn, sobald f₀ in den Bereich rutscht, der abgehalten werden soll.

Grenzen

Die Formel nennt eine Frequenz und einen Dämmungsverlauf. Was sie nicht abbildet, entscheidet in gebauten Situationen oft mehr.

Schallbrücken stehen nicht in der Rechnung. Jede starre Verbindung neben dem Federelement legt einen zweiten Pfad, und über den läuft die Kraft ungedämmt weiter — die Rechnung weiß davon nichts und liefert trotzdem ihren Wert. Welche Ausführungsfehler das in der Praxis sind und warum eine einzige Brücke den Aufwand daneben entwertet, steht im eigenen Eintrag; wozu Entkopplung insgesamt gebaut wird, bei der Entkopplung.

Die Dämmung gilt für die Kraft in den Untergrund, nicht für den Pegel im Raum darunter. Wie viel von der eingeleiteten Kraft dort als hörbarer Schall ankommt, hängt an der Decke, am Raum und an der Anregungsart. Eine Einfügedämmung von 20 dB ist deshalb keine Zusage über 20 dB weniger Dröhnen beim Nachbarn.

Luftschall bleibt außen vor. Ein entkoppelter Subwoofer strahlt weiterhin Luftschall ab, und der geht durch die Decke, wie es das Massegesetz beschreibt. Entkopplung schließt einen Weg, nicht beide.

Rechenbeispiel

Teil 1 — derselbe Subwoofer, zwei Unterlagen. Ein Subwoofer von 32 kg steht auf vier Elementen, also 8 kg je Element. Einmal drücken die Elemente unter dieser Last 4 mm ein, einmal 0,2 mm — ein hartes Gummipad, wie es in Elektronikläden verkauft wird.

text weiches Lager: f₀ = 15,8 / √4 = 15,8 / 2,000 = 7,9 Hz hartes Pad: f₀ = 15,8 / √0,2 = 15,8 / 0,447 = 35,3 Hz

Und nun dieselbe Frage an beide: Was passiert bei 30 Hz, also mitten im Arbeitsbereich des Subwoofers?

text weiches Lager: f/f₀ = 30 / 7,9 = 3,80 D = 20 · log₁₀ |3,80² − 1| = 20 · log₁₀ 13,4 = 22,6 dB Dämmung

hartes Pad: f/f₀ = 30 / 35,3 = 0,85 D = 20 · log₁₀ |0,85² − 1| = 20 · log₁₀ 0,28 = −11,1 dB also 11 dB VERSTÄRKUNG

Die beiden Aufbauten unterscheiden sich äußerlich kaum und in der Wirkung um mehr als 30 dB — mit umgekehrtem Vorzeichen. Beim harten Pad liegt der Umschlagpunkt bei 1,4 · 35,3 = 50 Hz; unterhalb davon, also im gesamten Tiefton, überträgt es mehr als der starre Aufbau ohne Pad. So entsteht der verbreitete Eindruck, untergelegte Füße brächten nichts: Sie haben etwas bewirkt, nur in die falsche Richtung.

Teil 2 — schwimmender Estrich. Fünf Zentimeter Zementestrich wiegen rund 120 kg/m². Darunter liegt eine Trittschalldämmschicht mit einer dynamischen Steifigkeit von 10 MN/m³:

text f₀ = 160 · √(10 / 120) = 160 · √0,0833 = 160 · 0,289 = 46,2 Hz

Für Trittschall ist das brauchbar: Bei 100 Hz liegt f/f₀ schon bei 2,2, was rund 11 dB ergibt, und darüber wird es schnell mehr. Der Frequenzbereich, in dem Trittschall überhaupt bewertet wird, steht bei Trittschall. Für einen Subwoofer im Raum darüber ist es das nicht: Dessen Energie liegt zwischen 20 und 60 Hz und damit unter oder direkt an der Eigenfrequenz des Estrichs. Ein Estrich, der Schritte gut abhält, hält Tiefton nicht ab und kann ihn im Bereich um 46 Hz sogar anheben.

Weicher und schwerer verschiebt das nach unten:

text s' = 5 MN/m³, m'' = 150 kg/m²: f₀ = 160 · √(5 / 150) = 160 · 0,183 = 29,2 Hz

Auch das liegt noch im Arbeitsbereich eines Subwoofers. Damit ist die Aussage der Rechnung eindeutig und unbequem: Gegen Tiefton in den Raum darunter ist mit Bodenaufbauten allein wenig auszurichten. Der Hebel liegt woanders — bei der Pegelplanung, beim Aufstellort und bei der Frage, ob im Raum darunter überhaupt jemand sitzt.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge ist immer dieselbe. Zuerst die Konzeptfrage: Welcher Weg ist hier der wirksame — Luftschall durch die Decke oder Körperschall in den Boden? Woran sich das unterscheiden lässt, steht bei Entkopplung. Dann die Verfahrensfrage: Welche Frequenz soll abgehalten werden, und wo muss f₀ folglich liegen? Als Faustregel taugt der Faktor 3 — er bringt rund 18 dB und lässt Luft für die dynamische Versteifung des Materials. Erst danach die Gerätefrage, und die lautet nicht „welches Lager", sondern „welches Lager bei dieser Last", denn ausgewählt wird über die Einfederung im Betriebspunkt. Ein Element, das für 40 kg gebaut ist, federt unter 8 kg kaum ein und arbeitet damit an einer ganz anderen Eigenfrequenz als der, für die es gerechnet wurde.

Verknüpfte Inhalte

Was Entkopplung ist, wo sie eingesetzt wird und woran sie in der Praxis scheitert, steht beim Glossareintrag Entkopplung — diese Seite setzt das voraus und wiederholt es nicht. Welche Wege Körperschall nimmt, erklärt Körperschall, sein Sonderfall mit eigenem Prüfverfahren steht bei Trittschall. Warum ein Masse-Feder-System überhaupt eine bevorzugte Frequenz hat, klärt Resonanz. Für den Luftschallweg durch dasselbe Bauteil rechnet das Massegesetz, und die gleiche Mechanik in umgekehrter Absicht — Masse und Feder als Absorber statt als Trennung — nutzt der Plattenschwinger.

Quellen

Grundform und Dämmungsverlauf sind Standard der technischen Akustik; die flächenbezogene Form mit der Konstante 160 stammt aus der Bauakustik und ergibt sich aus (1/2π)·√(10⁶) = 159,2. Die Bestimmung der dynamischen Steifigkeit ist in DIN EN 29052-1 geregelt.