Massegesetz und Doppelschalen-Resonanz

Zwei Rechnungen beantworten die Frage, wie viel Schall eine Wand aufhält. Das Massegesetz sagt für die einschalige Wand, welche Dämmung ihr Gewicht bei welcher Frequenz erwarten lässt — und dass dieser Weg schnell an eine praktische Grenze stößt. Deshalb wird im Schallschutz meist zweischalig gebaut, und dafür liefert die zweite Rechnung die entscheidende Zahl: die Masse-Feder-Masse-Resonanz, unterhalb derer der Aufbau schlechter dämmt als eine einfache Wand gleichen Gewichts. Für ein Heimkino gehören beide Rechnungen zusammen, denn Filmton hat seine Energie genau dort, wo diese Resonanz bei unbedachten Aufbauten liegt.

Das Massegesetz geht auf Richard Berger zurück, der 1911 an der Technischen Hochschule München die Schalldurchlässigkeit von Wänden untersuchte; im deutschsprachigen Raum heißt es deshalb bis heute Bergersches Massegesetz.

Natürliche Erklärung

Eine Wand wird von der auftreffenden Schallwelle in Bewegung versetzt und strahlt auf der anderen Seite wieder ab. Wie stark sie sich bewegen lässt, entscheidet über alles Weitere, und dafür sind zwei Dinge zuständig: ihre Masse und die Frequenz. Beide wirken über dieselbe Mechanik — Trägheit. Eine schwere Platte ist träge, eine schnelle Anregung findet zu wenig Zeit, sie in Fahrt zu bringen. Deshalb steht im Massegesetz auch nicht die Masse allein, sondern das Produkt aus Masse und Frequenz: Eine doppelt so schwere Wand bei gleicher Frequenz und eine gleich schwere Wand bei doppelter Frequenz sind für die Rechnung derselbe Fall.

Aus dem Logarithmus folgt der unbequeme Teil. Verdoppelst Du m'', steigt 20 · lg(m'' · f) um 20 · lg 2 = 6,02 dB. Sechs Dezibel für die doppelte Masse, und zwar bei jeder Frequenz. Wer von 12,5 mm Gipskarton auf 25 mm geht, gewinnt sechs Dezibel; wer von dort auf 50 mm will, muss noch einmal so viel drauflegen wie der ganze bisherige Aufbau wiegt. Genauso funktioniert die Frequenzabhängigkeit: eine Oktave höher heißt doppelte Frequenz heißt sechs Dezibel mehr Dämmung. Umgekehrt gelesen ist das die eigentliche Aussage für ein Heimkino — jede Oktave abwärts kostet sechs Dezibel, und der Filmton hat seine größte Energie unten.

Der zweischalige Aufbau greift genau hier an. Zwei Platten mit Luftpolster dazwischen bilden ein schwingfähiges System: zwei Massen, eine Feder. Oberhalb der Eigenfrequenz dieses Systems entkoppelt die Feder die beiden Schalen, und die Dämmung steigt viel steiler als beim Massegesetz. Unterhalb der Eigenfrequenz passiert das Gegenteil: Die Feder ist relativ zur Anregung steif, beide Schalen bewegen sich gemeinsam, und der Aufbau verhält sich wie eine einzige Wand mit der Summe beider Massen — mehr nicht. Und bei f₀ selbst schwingt das System in Resonanz mit und dämmt deutlich schlechter als diese eine Wand.

Warum die Resonanz sinkt, wenn Du den Abstand vergrößerst, steht ebenfalls in der Formel: d steht im Nenner unter der Wurzel, also senkt der vierfache Abstand f₀ auf die Hälfte. Dasselbe leistet die vierfache Masse. Beides ist teuer, aber Abstand ist im Rohbau meist die billigere Währung als Gewicht — und das ist der Grund, warum ernsthafte Kinoräume innen kleiner sind, als der Grundriss vermuten lässt.

Eingangsgrößen und Einheiten

Was die flächenbezogene Masse ist, wie sie sich aus Rohdichte und Dicke ergibt und warum sie weder die Rohdichte noch das Gesamtgewicht der Wand ist, steht im Glossar. Für die Rechenbeispiele unten genügt der Anhaltspunkt: Eine Gipskartonplatte von 12,5 mm kommt auf etwa 10 kg/m², zwei Lagen auf 20 kg/m².

Der Schalenabstand d ist das lichte Maß des Hohlraums zwischen den Innenseiten der beiden Schalen, nicht die Gesamtdicke des Aufbaus. Bei einer Ständerkonstruktion ist er die Ständertiefe.

Beim Schalldämm-Maß R lohnt der Blick auf die Bezeichnung: Im Labor gemessen heißt es R, am gebauten Objekt mit allen Nebenwegen R', und die bewertete Einzahlangabe Rw beziehungsweise R'w fasst eine ganze Kurve zu einer Zahl zusammen. Diese Formel liefert weder das eine noch das andere, sondern einen Rechenwert je Frequenz. Was die Kennwerte bedeuten, steht bei der Schalldämmung.

Gültiger Bereich und Annahmen

Das Massegesetz gilt für biegeweiche einschalige Bauteile in einem Frequenzband, das nach beiden Seiten begrenzt ist. Nach unten begrenzen es die Eigenschwingungen der Platte selbst — eine große, dünne Fläche hat ihre erste Resonanz im Bassbereich, und darunter rechnet die Formel an der Wirklichkeit vorbei. Nach oben begrenzt es der Koinzidenzeffekt: Oberhalb einer bauteilabhängigen Grenzfrequenz koppelt die Platte besonders gut an die auftreffende Welle an, und die Dämmung bricht in einem breiten Bereich ein. Bei üblichen Gipskartonplatten liegt diese Grenze im oberen Mittelton — also mitten im Sprachbereich. Warum die Grenzfrequenz mit der Plattendicke sinkt und warum deshalb mehrere dünne Lagen einer dicken vorzuziehen sind, steht im Glossareintrag; ausgerechnet wird sie auf der Seite zur Koinzidenzgrenzfrequenz aus Biegesteifigkeit und flächenbezogener Masse.

Die Doppelschalen-Formel setzt zwei wirklich getrennte Schalen voraus. Jede starre Verbindung — durchlaufende Ständer, Schrauben durch beide Lagen, ein durchgehender Estrich, eine steife Randanschlussfuge — überbrückt die Feder und macht den Rechenwert wertlos. Die Formel sagt nichts darüber, wie schlecht ein Aufbau mit Brücken wird; sie beschreibt den Fall ohne sie.

Außerdem gilt sie nur, solange der Hohlraum klein gegen die Wellenlänge bei f₀ ist. Bei 50 Hz sind das rund 6,9 m Wellenlänge gegen 10 cm Hohlraum — die Bedingung ist im Bauwesen praktisch immer erfüllt. Oberhalb von f₀ entstehen im Hohlraum dagegen eigene stehende Wellen, die den Dämmungsanstieg abflachen; auch das ist ein Grund, den Hohlraum mit Fasermaterial zu füllen.

Grenzen

Die wichtigste Grenze steht nicht in der Formel: Sie beschreibt eine geschlossene, ideale Fläche, aber ein realer Raum hat Fugen, Steckdosen, Lüftungsdurchlässe und eine Tür, und schon eine dieser Undichtigkeiten drückt das Ergebnis auf einen Wert, den kein Massenzuschlag mehr rettet. Ebenso fehlen die Nebenwege, über die Körperschall das Bauteil umgeht. Warum Dichtheit und Flankenübertragung am Ende über das Ergebnis entscheiden, steht ausführlich beim Eintrag zur Schalldämmung — für diese Seite zählt nur, dass beides in keiner der beiden Rechnungen vorkommt.

Die zweite Grenze betrifft die Zahlen selbst. Das Massegesetz sagt 6 dB pro Massenverdopplung und 6 dB pro Oktave voraus. Reale Messkurven fallen in beiden Fällen flacher aus, weil Biegesteifigkeit, innere Dämpfung und Einspannung mitspielen.

Und schließlich sagt keine der beiden Rechnungen, wie viel Dämmung Du brauchst. Das ist keine physikalische, sondern eine Zielfrage — und in Deutschland teilweise eine normative und rechtliche.

Rechenbeispiel

Teil 1 — was Masse leistet. Eine einschalige Wand mit 20 kg/m², also zwei Lagen 12,5 mm Gipskarton:

text f = 125 Hz: R = 20 · lg(20 · 125) − 47 = 20 · lg 2500 − 47 = 67,96 − 47 = 21,0 dB f = 500 Hz: R = 20 · lg 10000 − 47 = 33,0 dB f = 2000 Hz: R = 20 · lg 40000 − 47 = 45,0 dB

Von 125 Hz auf 2000 Hz sind das vier Oktaven und 24 dB — genau die sechs Dezibel je Oktave. Verdoppelst Du bei 125 Hz die Masse auf 40 kg/m², kommst Du auf 27,0 dB. Für die nächsten sechs Dezibel bräuchtest Du 80 kg/m², für die übernächsten 160 kg/m². Zum Vergleich: eine 20 cm dicke Betonwand bringt rund 460 kg/m² auf und käme bei 125 Hz rechnerisch auf 48 dB.

Teil 2 — wo die Doppelschale ihre Schwachstelle hat. Vier Varianten, beide Schalen jeweils gleich schwer, Hohlraum bedämpft (Konstante 50):

text A m₁'' = m₂'' = 20 kg/m², d = 0,05 m f₀ = 50 · √( 40 / (400 · 0,05) ) = 50 · √2,00 = 70,7 Hz

B m₁'' = m₂'' = 20 kg/m², d = 0,10 m f₀ = 50 · √( 40 / (400 · 0,10) ) = 50 · √1,00 = 50,0 Hz

C m₁'' = m₂'' = 20 kg/m², d = 0,20 m f₀ = 50 · √( 40 / (400 · 0,20) ) = 50 · √0,50 = 35,4 Hz

D m₁'' = m₂'' = 40 kg/m², d = 0,20 m f₀ = 50 · √( 80 / (1600 · 0,20) ) = 50 · √0,25 = 25,0 Hz

Variante A ist die übliche Vorsatzschale aus dem Trockenbau. Ihre Resonanz liegt bei 70,7 Hz — mitten in dem Bereich, in dem ein Actionfilm seine Energie hat. Dort dämmt dieser Aufbau schlechter als eine einzelne Wand mit 40 kg/m², die nach Massegesetz bei 70 Hz auf 20 · lg(2800) − 47 = 21,9 dB käme. Der Nachbar hört also ausgerechnet das, was am meisten stört, durch eine Konstruktion, die auf dem Papier gut aussieht: Ihr bewertetes Schalldämm-Maß fällt hoch aus, weil die Bewertung den Sprachbereich gewichtet und den Tiefton kaum.

Von A nach B kostet fünf Zentimeter Raumtiefe je Wand und bringt die Resonanz auf 50 Hz. Von B nach C kostet weitere zehn Zentimeter und bringt 35 Hz. Variante D verdoppelt zusätzlich die Beplankung auf beiden Seiten und landet bei 25 Hz — unterhalb dessen, was ein Heimkino üblicherweise mit Pegel bespielt.

Bliebe der Hohlraum leer, läge dieselbe Variante D nicht bei 25,0 Hz, sondern bei 30,0 Hz, und Variante A statt bei 70,7 Hz bei 84,9 Hz. Die Hohlraumdämmung ist damit der billigste Schritt in dieser ganzen Liste.

Was daraus für die Planung folgt. Die Planungsreihenfolge im Schallschutz — erst Ziel-Pegel und zulässige Immission, dann alle Übertragungswege gemeinsam, erst danach der konkrete Aufbau — steht beim Eintrag zur Schalldämmung und gilt hier unverändert. Die beiden Rechnungen dieser Seite sind das Werkzeug für den letzten Schritt: Sie übersetzen die Zielvorgabe in Schalenmasse und Schalenabstand. Ab einer gewissen Anforderung gehört diese Übersetzung in die Hände eines Bauakustikers, weil Fehler im Rohbau nachträglich kaum zu korrigieren sind.

Verknüpfte Inhalte

Was Schalldämmung von Absorption unterscheidet, welche Kennwerte es gibt und warum Dichtheit über alles entscheidet, steht im Eintrag zur Schalldämmung — diese Seite setzt ihn voraus und wiederholt ihn nicht. Die beiden Übertragungswege behandeln Luftschall und Körperschall, die Pegelrechnung steht bei Dezibel. Dass dieselbe Masse-Feder-Mechanik auch im Raum als Absorber genutzt wird, zeigt die Formelseite zur Plattenschwinger-Resonanzfrequenz; die Bauformen dazu stehen beim Bassabsorber. Warum ein zweischaliges System überhaupt eine Eigenfrequenz hat, erklärt der Eintrag zur Resonanz. Die obere Gültigkeitsgrenze dieser Seite rechnet die Koinzidenzgrenzfrequenz aus — mit ihr zusammen ist die Dämmkurve einer Wand nach beiden Seiten abgesteckt.

Quellen

Das Massegesetz geht auf Bergers Arbeit von 1911 zurück und steht in jeder bauakustischen Standardliteratur; die Masse-Feder-Masse-Resonanz zweischaliger Aufbauten ebenso. Die Zahlenkonstanten 50 und 60 sind oben aus dem Kompressionsmodul der Luft hergeleitet und in der deutschsprachigen Fachliteratur in dieser Form verbreitet. Messverfahren und Einzahlangaben stehen in ISO 10140 und ISO 717-1, die Nebenwege in ISO 12354.