Knickfrequenz von Vorsatzschalen

Oberhalb ihrer Resonanzfrequenz f₀ wird eine Vorsatzschale mit jeder Oktave um rund 12 Dezibel besser. Diese Gerade endet an der Knickfrequenz f_k: Darüber löst sich die gemessene Kurve von ihr und geht in eine Sättigung über. Die Formel auf dieser Seite rechnet f_k aus drei Angaben aus — der Resonanzfrequenz, dem Schalenabstand und dem Verhältnis der beiden flächenbezogenen Massen.

Damit beantwortet sie eine Frage, die keine andere Größe des Modells beantwortet: bis wohin der Zugewinn einer Vorsatzschale überhaupt wächst. Was f_k bedeutet und woher der Name kommt, steht im Glossareintrag zur Knickfrequenz.

Natürliche Erklärung

Die Gleichung setzt drei Hebel gegeneinander, und die vierte Wurzel dämpft alle drei gleich stark. Ein Faktor 16 in der Klammer bewegt f_k um den Faktor 2, also um eine Oktave. Zwischen den leichtesten und den schwersten Grundbauteilen der Messreihe liegt ein Massefaktor von 37 — und davon bleiben in der Frequenz rund 2,5 übrig.

Der Schalenabstand d steht im Nenner — und er geht zweimal ein. Über die Klammer senkt mehr Hohlraum f_k mit 1/⁴√d, und über f₀ noch einmal mit 1/√d. Zusammen fällt f_k mit 1/d^(3/4), also steiler als f₀ selbst: Der Arbeitsbereich zwischen beiden Grenzen rutscht zu tieferen Frequenzen und wird dabei schmaler. Für ein Heimkino ist das die richtige Richtung, denn dort liegt die Arbeit unten.

Die Masse der Schale m''_VS steht im Zähler. Eine zweite Plattenlage hebt den Klammerwert und senkt zugleich f₀ um 1/√2. Unterm Strich wandern beide Grenzen nach unten, die obere weniger weit als die untere.

Die Masse des Grundbauteils m''_GW steht im Nenner. Nach der gedruckten Gleichung knickt die Kurve vor einer schweren Wand früher ab als vor einer leichten. Genau an dieser Stelle widerspricht die Quelle sich selbst.

Was die Knickfrequenz in Dezibel bedeutet

Die interessantere Zahl ist selten f_k selbst, sondern die Verbesserung, die bis dorthin zusammenkommt. Sie folgt aus den beiden Gleichungen zusammen, weil die vierte Wurzel und der Faktor 40 sich gegeneinander kürzen:

text ΔR(f_k) = 40 · lg( f_k / f₀ ) = 40 · lg( Klammerwert^(1/4) ) = 10 · lg( 214 · d₀ / d · m''_VS / m''_GW ) in dB

f₀ fällt heraus. Die Deckelung des Zugewinns hängt damit allein am Schalenabstand und am Massenverhältnis — und sie folgt einer 3-dB-Regel, weil 10 · lg(2) = 3,01 ist:

• doppelte Masse der Vorsatzschale: +3 dB Deckelung
• doppelte Masse des Grundbauteils: −3 dB Deckelung
• doppelter Schalenabstand: −3 dB Deckelung, dafür beide Frequenzgrenzen deutlich tiefer

Eingangsgrößen und Einheiten

Beide Massen sind flächenbezogene Massen, und in der Gleichung stehen sie nur als Verhältnis zueinander — die Einheit kürzt sich weg, also darf gerechnet werden, solange beide Werte dieselbe haben. Die drei Grundbauteile der Messreihe wiegen 9, 90 und 335 kg/m²; die Schale davor bringt es auf 9.

Für d gilt dasselbe lichte Maß wie in der Resonanzfrequenz: von der Innenseite der Schale bis zur Oberfläche des Grundbauteils, bei einem Ständerwerk also die Ständertiefe. Wer dort schon gerechnet hat, setzt denselben Wert hier noch einmal ein.

m''_GW meint das Grundbauteil allein, ohne die Schale davor. Bei einer Trennwand mit beidseitiger Vorsatzschale wird für jede Seite getrennt gerechnet, weil jede Schale ihr eigenes Grundbauteil sieht.

Gültiger Bereich und Annahmen

Belegt ist die Gleichung durch 24 Datensätze. Die dokumentierte Messreihe dahinter arbeitet mit einer freistehenden Schale aus 12,5 mm Gipskarton, 50 mm Schalenabstand und 40 mm Mineralwolle im Hohlraum, vor Grundbauteilen zwischen 9 und 335 kg/m². Alles, was von diesem Zuschnitt weit abweicht — sehr große Hohlräume, sehr schwere Schalen, abgehängte statt freistehende Konstruktionen —, wird von der Gleichung extrapoliert und ist an Messwerten nicht abgesichert.

Der leichteste der drei Fälle ist außerdem keine eigene Messung desselben Aufbaus: Die Autoren gewinnen ihn rechnerisch, indem sie eine Gipskarton-Ständerwerkswand als Vorsatzschalenkonstruktion lesen und davon eine einzelne Platte abziehen. Sie sagen das ausdrücklich dazu.

Vorausgesetzt sind zwei wirklich getrennte Schalen. Jede starre Verbindung überbrückt die Feder und entwertet die Rechnung; welche Formen das annimmt, steht bei der Schallbrücke. Die Gleichung kommt ohne diese Größe aus und liefert trotzdem ihren Wert.

Für schwimmende Estriche ist die Übertragbarkeit offen. Resonanzfrequenz und Frequenzbereiche gelten dort genauso, die Quelle behandelt aber ausschließlich Vorsatzschalen.

Grenzen

Oberhalb von f_k sagt die Gleichung nichts mehr. Sie liefert die Stelle, an der der Anstieg endet, und keinen Verlauf dahinter. Der Nachfolgebeitrag von 2008 beschreibt den vierten Bereich als Sättigung, in der ΔR gleich bleibt oder wieder abnimmt, und ordnet ihn als bislang nur teilweise verstanden ein. Wer über f_k hinaus rechnen will, hat dafür kein Modell.

Die Unsicherheit von f₀ steht als Faktor davor. Für die Luftfeder kursieren die Vorfaktoren 50 und 60, und zwischen ihnen liegen rund 20 % in der Frequenz. Dieselben 20 % stecken unverändert in f_k, weil f₀ dort linear eingeht. Eine auf zwei Stellen ausgerechnete Knickfrequenz ist deshalb Scheingenauigkeit.

Die Wirkrichtung der Grundbauteil-Masse ist eine begründete Lesart. Das ist die härteste Einschränkung dieser Rechnung: Gleichung, Abbildung und Folgesatz der Quelle ergeben die eine Richtung, ein Satz ihres Fließtexts die andere. Für die Planung heißt das: Der Rechenweg ordnet Aufbauten der Größe nach richtig ein, solange man sie untereinander vergleicht; eine einzelne Zahl gegen eine Anforderung zu stellen, geht über das hinaus, was der Beleg zulässt.

Und ΔR ist eine Differenz und kein Ergebnis. Ein großer Zugewinn vor einer leichten Wand endet auf einem niedrigeren Gesamtwert als ein kleiner Zugewinn vor einer schweren. Was im Nachbarraum ankommt, entscheidet die Summe aus Grundbauteil und Schale — die Rechnung hier liefert davon nur den zweiten Summanden.

Rechenbeispiel

Teil 1 — der vermessene Aufbau. Eine freistehende Vorsatzschale aus 12,5 mm Gipskarton mit 9 kg/m² steht mit 50 mm Abstand vor einer Kalksandsteinwand mit 335 kg/m², der Hohlraum ist mit 40 mm Mineralwolle gefüllt. Für diese Schale nennt die Quelle eine gemessene Resonanz von rund 80 Hz.

text 214 · d₀ / d = 214 · 1 m / 0,05 m = 4 280 m''_VS / m''_GW = 9 / 335 = 0,0269 Klammerwert = 4 280 · 0,0269 = 115,0

⁴√115,0 = √( √115,0 ) = √10,72 = 3,27

f_k = 80 Hz · 3,27 = 262 Hz ΔR(f_k) = 10 · lg(115,0) = 20,6 dB

Aus der Abbildung der Quelle abgelesen: rund 200 bis 250 Hz. Der Rechenwert liegt damit knapp darüber, und mehr ist von einer Anpassung an 24 Datensätze auch nicht zu erwarten — der Aufbau selbst gehört zu den Datensätzen.

Teil 2 — dieselbe Schale vor einem leichten Grundbauteil. Steht hinter der Schale nur eine einzelne Gipskartonplatte mit ebenfalls 9 kg/m², wird das Massenverhältnis 1. Weil dann beide Schalen gleich schwer sind und sich beide bewegen, liegt f₀ um den Faktor √2 höher, also bei rund 113 Hz.

text Klammerwert = 4 280 · 1 = 4 280 ⁴√4 280 = √65,42 = 8,09

f_k = 113 Hz · 8,09 = 914 Hz ΔR(f_k) = 10 · lg(4 280) = 36,3 dB

Abgelesen sind rund 800 Hz und rund 35 dB. Der Abstand zwischen beiden Fällen ist der eigentliche Befund: Die gerechneten Knickfrequenzen liegen um den Faktor 3,5 auseinander, die abgelesenen — je nachdem, wo man im Bereich 200 bis 250 Hz abliest — um 3,2 bis 4,0. Davon kommen 2,5 aus dem Massenverhältnis unter der vierten Wurzel und der Rest aus f₀.

Teil 3 — was der Schalenabstand macht. Wieder vor der Kalksandsteinwand, mit derselben einlagigen Beplankung. f₀ ist hier mit dem ungünstigeren Luftfeder-Vorfaktor gerechnet, also mit f₀ = 60 / √(m''·d) — deshalb steht in der ersten Zeile 293 Hz statt der 262 Hz aus Teil 1, die auf der gemessenen Resonanz beruhen. Vergleichbar sind hier die Zeilen untereinander, nicht ihre Absolutwerte:

text d = 0,05 m: f₀ = 89,4 Hz Klammer 115,0 f_k = 293 Hz ΔR(f_k) = 20,6 dB d = 0,10 m: f₀ = 63,2 Hz Klammer 57,5 f_k = 174 Hz ΔR(f_k) = 17,6 dB d = 0,20 m: f₀ = 44,7 Hz Klammer 28,7 f_k = 104 Hz ΔR(f_k) = 14,6 dB

Der Arbeitsbereich zwischen f₀ und f_k schrumpft dabei von 1,7 über 1,5 auf 1,2 Oktaven, und die Deckelung sinkt je Verdopplung um 3 Dezibel. Der tiefe Aufbau arbeitet also über einen kürzeren Frequenzabschnitt und erreicht am Ende weniger — er fängt dafür fast eine Oktave tiefer an zu arbeiten. Für Filmton ist das der Tausch, auf den es ankommt, denn dort liegt die Energie unten.

Teil 4 — die zweite Plattenlage. Dieselbe Wand, derselbe Abstand von 50 mm, aber zwei Lagen Gipskarton mit zusammen 18 kg/m²:

text f₀ = 60 / √(18 · 0,05) = 60 / 0,9487 = 63,2 Hz Klammerwert = 4 280 · 18 / 335 = 230,0 ⁴√230,0 = √15,17 = 3,89

f_k = 63,2 Hz · 3,89 = 246 Hz ΔR(f_k) = 10 · lg(230,0) = 23,6 dB

Gegenüber der einlagigen Beplankung wandert f₀ von 89 auf 63 Hz, f_k von 293 auf 246 Hz, und die Deckelung steigt um die erwarteten 3 Dezibel. Die zweite Lage kauft also unten Frequenz und oben Pegel, und sie kostet keine Bautiefe — deshalb kommt sie überall dort in Frage, wo der Schalenabstand nicht wachsen kann. Auch dieser Fall liegt außerhalb der dokumentierten Messreihe, die mit einer einzelnen 12,5-mm-Platte arbeitet; ob unter den 24 Datensätzen zweilagige Schalen sind, steht in der Quelle nicht.

In der Planung. Vor einer massiven Trennwand steht ein Kinoraum, und der Trockenbauer legt zwei Systeme mit verschiedenen ΔR_w-Kennwerten vor. Die erste Frage gilt dem Frequenzbereich: In welchen Oktaven muss diese Wand dichter werden? Bei Filmton liegt die Arbeit unter 100 Hz, und dort entscheidet f₀ — Schalenabstand und Masse der Schale. Erst danach kommt f_k ins Spiel, und zwar als Ausschlusskriterium: Unterscheiden sich zwei Systeme erst oberhalb der Stelle, an der beide in die Sättigung gehen, unterscheiden sie sich an dieser Wand nicht. Zuletzt die Ausführung, denn eine einzige starre Verbindung zwischen Schale und Wand macht die ganze Rechnung wertlos.

Verknüpfte Inhalte

Die untere Grenze desselben Arbeitsbereichs rechnet die Resonanzfrequenz zweischaliger Aufbauten — sie liefert das f₀, das hier als Faktor vorne steht, und erklärt, warum für die Luftfeder mehrere Vorfaktoren kursieren. Wie viel Dämmung eine Wand nach ihrem Gewicht überhaupt erwarten lässt, steht beim Massegesetz.

Was hinter dem Namen f_k steckt, wie die Messreihe zustande kam und welches Missverständnis sich daran am häufigsten festmacht, steht im Glossareintrag zur Knickfrequenz. Die Bauform selbst mit ihren Auslegungshebeln beschreibt die Vorsatzschale, das Pendant am Boden der schwimmende Estrich.

Die Eingangsgrößen erklärt die flächenbezogene Masse; warum ein System überhaupt eine bevorzugte Frequenz hat, die Resonanz. Wie tief der Einbruch bei f₀ ausfällt, hängt an der Dämpfung, warum eine einzelne Platte oberhalb einer eigenen Grenzfrequenz schlechter dämmt, steht beim Koinzidenzeffekt, und warum eine starre Verbindung die ganze Rechnung entwertet, bei der Schallbrücke.

Quellen

Die Gleichung für f_k samt der Festlegung d₀ = 1 m, ihre Herkunft aus 24 Datensätzen, der Anstieg ΔR = 40·lg(f/f₀) mit 12 Dezibel je Oktave, die Bauart und die Massen der Messreihe sowie die gemessene Resonanzlage von rund 80 Hz stammen aus dem DAGA-Beitrag von Andreas Buchele und Lutz Weber vom Fraunhofer-Institut für Bauphysik aus dem Jahr 2007. Die Einteilung in vier Frequenzbereiche, die Sättigung oberhalb f_k und die Einordnung des Effekts als nur teilweise verstanden stehen im Nachfolgebeitrag derselben Autoren von 2008; dort steht auch der Befund, dass die Verbesserung des bewerteten Kennwerts mit besserer Grundwand abnimmt. Die Bezeichnung selbst geht auf die bauphysikalische Entwurfslehre von Fasold, Sonntag und Winkler von 1986 zurück, die für diese Seite nicht vorlag.

Die Umformung von ΔR(f_k) auf 10·lg des Klammerwerts, die 3-dB-Regel und sämtliche Zahlen der Rechenbeispiele sind hier selbst gerechnet und Schritt für Schritt aufgeschrieben.