Koinzidenzgrenzfrequenz

Jede einschalige Wand hat einen Frequenzbereich, in dem sie deutlich schlechter dämmt, als ihr Gewicht vermuten lässt. Wo dieser Bereich liegt, hängt an zwei Eigenschaften der Platte — wie schwer sie ist und wie steif. Diese Seite rechnet die Grenzfrequenz aus, ab der der Einbruch beginnt, und macht damit die Frage entscheidbar, die im Trockenbau ständig auftaucht: eine dicke Lage oder zwei dünne?

Natürliche Erklärung

Der Rechenweg wird durchsichtig, wenn man die Formel rückwärts liest. Gesucht ist die Frequenz, bei der die Biegewelle in der Platte genauso schnell läuft wie der Luftschall — 343 m/s. Warum ausgerechnet dieser Gleichlauf die Dämmung einbrechen lässt, steht beim Koinzidenzeffekt; hier interessiert nur, woraus die Frequenz folgt.

Die Biegewellengeschwindigkeit wächst mit der Wurzel der Frequenz, und zwar umso langsamer, je schwerer die Platte im Verhältnis zu ihrer Steifigkeit ist. Genau dieses Verhältnis steht unter der Wurzel: m'' oben, B' unten. Eine schwere, weiche Platte bleibt lange unter 343 m/s und schiebt ihre Grenzfrequenz nach oben. Eine leichte, steife Platte erreicht die Marke früh, und ihr Einbruch liegt tief.

Daraus folgt der Zielkonflikt, um den es im Trockenbau geht. Masse ist erwünscht, weil das Massegesetz sechs Dezibel je Massenverdopplung liefert. Steifigkeit ist unerwünscht, weil sie f_c nach unten zieht. Eine dickere Platte bringt aber beides gleichzeitig mit — und weil h in B' in der dritten Potenz steckt und in m'' nur linear, gewinnt die Steifigkeit. Deshalb steht am Ende die einfache Proportionalität f_c ∼ 1/h, und deshalb ist die dicke Einzelplatte im Schallschutz die schlechtere Wahl.

Warum zwei dünne Lagen das umgehen und eine vollflächige Verklebung es wieder zunichtemacht, steht im Glossareintrag. Diese Formel liefert dazu die Größe des Unterschieds, und die ist unbequem groß: Zwischen „geschraubt" und „verklebt" liegt bei sonst gleichem Aufbau eine ganze Oktave.

Aus derselben Formel folgt, warum es im Schallschutz schwere, biegeweiche Folien gibt. Eine Bleifolie bringt schon bei einem Millimeter Dicke rund 11 kg/m² auf die Fläche — Masse, für die man bei Gipskarton anderthalb Zentimeter braucht. Und weil f_c umgekehrt proportional zur Dicke ist, landet die Grenzfrequenz dieses einen Millimeters weit oberhalb des hörbaren Bereichs; einen Koinzidenzeinbruch hat die Folie damit praktisch nicht. Ihr etwas niedrigeres c_L gegenüber Bauplatten hilft zusätzlich, entscheidend ist aber die Kombination aus viel Masse und wenig Dicke.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die flächenbezogene Masse ist dieselbe Größe wie im Massegesetz und steht dort im Glossar erklärt. Neu ist hier die Biegesteifigkeit B': Sie wird je Meter Plattenbreite angegeben und hat deshalb die Einheit Newtonmeter, nicht Newton pro Quadratmeter. Wer sie mit dem Elastizitätsmodul verwechselt, rechnet um Zehnerpotenzen daneben — E ist eine Werkstoffeigenschaft, B' eine Eigenschaft der konkreten Platte einschließlich ihrer Dicke.

Der Faktor 1/(1 − ν²) in B' ist eine Korrektur dafür, dass eine breite Platte sich beim Biegen nicht seitlich zusammenziehen kann, ein schmaler Balken aber schon. Bei ν = 0,3 macht er rund 10 Prozent aus, unter der Wurzel also gut 5 Prozent in f_c — spürbar, aber nicht entscheidend. Wer ν nicht kennt, liegt mit 0,25 für Bauplatten in der richtigen Gegend.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel setzt eine dünne Platte voraus: Ihre Dicke muss klein sein gegen die Biegewellenlänge bei f_c. Diese Bedingung ist bequemer, als sie klingt, denn bei f_c ist die Biegewellenlänge gerade so lang wie die Luftschallwellenlänge, und ihr Verhältnis zur Plattendicke hängt dann nur noch vom Werkstoff ab — es beträgt π·c_L/(√3·c), für Gipskarton rund 10 und für Beton rund 20. Eine dicke Betondecke erfüllt die Annahme bei ihrer eigenen Grenzfrequenz also sogar besser als eine dünne Gipskartonplatte bei ihrer.

Die Biegetheorie kippt statt dessen oberhalb von f_c: Dort wird die Biegewellenlänge immer kürzer, und sobald sie in die Größenordnung einiger Plattendicken kommt, mischen sich Schubverformung und Rotationsträgheit ein, die in der einfachen Theorie nicht vorkommen. Bei einer 20 cm dicken Betondecke passiert das im oberen Mittelton — für die f_c-Rechnung selbst ist es folgenlos, für den Verlauf der Dämmkurve darüber nicht.

Sie setzt außerdem einen homogenen Werkstoff voraus. Für einlagige Platten aus einem Material stimmt das. Für Sandwichplatten, Wabenkerne und mehrlagige Verbunde stimmt es nicht: Dort folgt B' nicht mehr aus Dicke und E-Modul; es gehört gemessen oder aus der Verbundtheorie hergeleitet. Das ist der Grund, warum ausgerechnet leichte Sandwichbauteile mit hervorragender Steifigkeit akustisch regelmäßig enttäuschen — sie haben eine sehr tiefe Grenzfrequenz.

Und die Formel liefert eine Kante, keine Kurve. Sie sagt, wo der Einbruch anfängt; wie tief er wird und über wie viele Terzen er sich zieht, hängt an der inneren Dämpfung des Werkstoffs und an der Befestigung, die beide nicht vorkommen. Gipskarton hat eine vergleichsweise hohe innere Dämpfung und einen entsprechend flachen Einbruch; Glas und Metall haben eine niedrige und einen sehr scharfen.

Zwei Richtungen, zwei Grenzfrequenzen

Die Herleitung dieser Formel behandelt die Platte als in jeder Richtung gleich steif. Für Gipsfaser, Beton und Floatglas stimmt das. Für drei häufig verbaute Beplankungen stimmt es nicht: Gipskarton, OSB und Sperrholz sind orthotrop, ihr Elastizitätsmodul hängt davon ab, in welcher Richtung der Fläche gebogen wird.

Bei OSB liegt der Grund offen zutage. Die Späne der Deckschichten sind längs ausgerichtet, und die Deckschichten haben beim Biegen den größten Hebel. Die Bemessungswerte nach DIN EN 12369-1 nennen deshalb 4.930 N/mm² längs gegen 1.980 N/mm² quer — Faktor 2,5. Bei Gipskarton ist die Ursache weniger sichtbar und der Unterschied kleiner: Die Biegesteifigkeit kommt vom Karton an beiden Oberflächen, und der ist in Herstellrichtung fester. DIN 18180 fordert 2.800 N/mm² längs und 2.200 N/mm² quer.

In B' steht damit je nach Laufrichtung der Biegewelle ein anderes E, und die Formel liefert zwei Ergebnisse. Weil f_c umgekehrt proportional zu c_L und damit zur Wurzel aus E ist, folgt der Abstand der beiden Frequenzen der Wurzel des E-Verhältnisses: Aus Faktor 2,5 im Elastizitätsmodul des OSB werden Faktor 1,58 in der Frequenz, aus den 1,27 des Gipskartons werden 1,13.

text Platte f_c längs f_c quer Abstand Gipskarton GKB 12,5 mm 2.480 Hz 2.790 Hz 0,17 Oktaven Sperrholz F 20/10 E 40/20, 15 mm 1.620 Hz 2.290 Hz 0,50 Oktaven OSB/3 15 mm (E_mean) 1.460 Hz 2.310 Hz 0,66 Oktaven

Gerechnet mit dem Elastizitätsmodul für Plattenbeanspruchung, ν = 0,25 sowie 680 kg/m³ für Gipskarton nach DIN 18180 und 600 kg/m³ für OSB und Sperrholz. Gipsfaser hat mit rund 2.760 Hz tatsächlich nur eine Grenzfrequenz — die Platte ist homogen und kennt keine Vorzugsrichtung. Für Beton und Floatglas gilt dasselbe: Bei beiden hängt der Elastizitätsmodul nicht davon ab, in welcher Richtung der Fläche gebogen wird, und die Formel liefert deshalb einen einzigen Wert.

Der Mittelwert ist hier die schlechteste aller Angaben. Er benennt eine Frequenz, bei der die Platte gerade keine ausgezeichnete Eigenschaft hat, und verdeckt dabei beide Kanten. Für 15 mm OSB käme er auf rund 1.890 Hz — eine Zahl, die einzeln plausibel aussieht und trotzdem an keiner Stelle beschreibt, was die Platte tut. Für orthotrope Platten gehört deshalb ein Bereich in jede Ergebnisangabe. Sperrholz braucht dafür zusätzlich seine Klasse: Das Verhältnis längs zu quer reicht nach DIN V 20000-1 von 1,2 : 1 bis 9 : 1, und die Klasse steht auf der CE-Kennzeichnung.

Für die Planung zählt zuerst die untere Kante, denn dort beginnt der Einbruch. Eine 15-mm-OSB-Platte fängt bei 1.460 Hz an nachzugeben und nicht erst bei den 2.310 Hz, die eine Rechnung mit dem Querwert verspräche — das sind zwei Drittel einer Oktave tiefer, mitten im Bereich der Sprachverständlichkeit. Was zwischen den beiden Kanten mit der Dämmkurve passiert, steht beim Koinzidenzeffekt; diese Seite rechnet nur aus, wo die Kanten liegen.

Grenzen

Die Formel sagt, wo der Einbruch liegt, aber nicht, ob er stört. Ob eine hohe oder eine tiefe Grenzfrequenz besser ist, hängt daran, welche Frequenzen zurückgehalten werden sollen. Bei Sprache und Fernsehton ist ein Einbruch im oberen Mittelton ein echter Schaden. Bei Filmton mit kräftigem Bass ist er zweitrangig gegenüber der Resonanzlage des zweischaligen Aufbaus, die das Massegesetz rechnet. Die Reihenfolge bleibt also: erst das Ziel, dann der Aufbau, zuletzt diese Rechnung.

Die Materialkennwerte sind die eigentliche Unsicherheit. Die Formel selbst ist geschlossen und nachrechenbar; ihr Ergebnis hängt aber vollständig an E, ρ und ν, und diese Werte streuen zwischen Herstellern und Produktvarianten erheblich. Eine f_c-Angabe ohne die zugehörigen Materialdaten ist wertlos.

Der zweite Einbruch fehlt. Eine reale Platte hat unterhalb des Massegesetz-Bereichs auch noch ihre eigenen Eigenschwingungen aus Abmessung und Einspannung. Die Koinzidenz begrenzt das Massegesetz nach oben, jene nach unten — gerechnet wird hier nur die obere Kante.

Rechenbeispiel

Teil 1 — eine Gipskartonplatte, Schritt für Schritt. Zuerst die Grundform, damit die Größenordnungen sichtbar werden. Angenommen für eine 12,5 mm starke Platte: E = 2,5 · 10⁹ Pa, ρ = 750 kg/m³, ν = 0,30.

text m'' = 750 · 0,0125 = 9,375 kg/m² B' = 2,5·10⁹ · 0,0125³ / (12 · (1 − 0,09)) = 2,5·10⁹ · 1,953·10⁻⁶ / 10,92 = 447,1 N·m

f_c = (343² / 2π) · √(9,375 / 447,1) = 18.724 · √0,02097 = 18.724 · 0,1448 = 2.711 Hz

Über die zweite Form geht dieselbe Rechnung schneller:

text c_L = √( 2,5·10⁹ / (750 · 0,91) ) = √(3,663·10⁶) = 1.914 m/s

f_c ≈ 65.360 / (1.914 · 0,0125) = 65.360 / 23,92 = 2.732 Hz

Die kleine Abweichung — 2.711 gegen 2.732 Hz — stammt allein aus dem gerundeten Vorfaktor 1,8 gegenüber dem exakten π/√3 = 1,814. Für die Planung ist das ohne Belang.

Teil 2 — die Materialreihe. Dieselbe Rechnung für verschiedene Bauteile, alle mit angenommenen Kennwerten:

text Bauteil E [Pa] ρ [kg/m³] ν h [mm] c_L [m/s] f_c Gipskarton 12,5 mm 2,5·10⁹ 750 0,30 12,5 1.914 2.730 Hz Gipskarton 25,0 mm 2,5·10⁹ 750 0,30 25,0 1.914 1.370 Hz Gipsfaser 12,5 mm 3,5·10⁹ 1.200 0,25 12,5 1.764 2.960 Hz OSB 15 mm 4,0·10⁹ 620 0,30 15,0 2.663 1.640 Hz Floatglas 6 mm 7,0·10¹⁰ 2.500 0,22 6,0 5.424 2.010 Hz Beton 200 mm 3,0·10¹⁰ 2.300 0,20 200,0 3.686 89 Hz Bleifolie 1 mm 1,6·10¹⁰ 11.340 0,44 1,0 1.323 49.000 Hz

Die Querkontraktionszahl steht als eigene Spalte darin, weil sie je Werkstoff verschieden angesetzt ist — ohne sie ließen sich die c_L-Werte nicht nachrechnen.

Drei Zeilen dieser Reihe zeigen eine Zahl, wo zwei hingehören: Bei Gipskarton, OSB und Sperrholz ist der Einzelwert die isotrope Vereinfachung, die den Rechenweg vorführt. Was mit belegten Elastizitätsmoduln je Richtung daraus wird, steht im Abschnitt „Zwei Richtungen, zwei Grenzfrequenzen".

Drei Dinge fallen an dieser Reihe auf, und alle drei sind Planungsaussagen. Der Sprung von 12,5 auf 25 mm Gipskarton halbiert die Grenzfrequenz exakt, wie es die Proportionalität verlangt. Beton liegt mit rund 90 Hz so tief, dass praktisch das gesamte Hörspektrum oberhalb seiner Grenzfrequenz liegt; massive Wände haben ihren Koinzidenzbereich gleich am Anfang des Hörspektrums. Und Blei hat, wie oben beschrieben, gar keinen im hörbaren Bereich.

Teil 3 — die eigentliche Entscheidung. Ein Kunde will eine Trennwand mit rund 19 kg/m² Beplankung. Zwei Wege führen dorthin:

text Variante A: eine Lage 25 mm Gipskarton → 18,8 kg/m², f_c ≈ 1.370 Hz Variante B: zwei Lagen 12,5 mm, geschraubt → 18,8 kg/m², f_c ≈ 2.730 Hz

Nach dem Massegesetz sind beide gleichwertig — dieselbe Masse, dieselbe Dämmung. Der Unterschied steckt allein in der Lage des Einbruchs, und er ist erheblich: Variante A setzt ihn mitten in den Bereich, in dem Konsonanten über die Sprachverständlichkeit entscheiden, Variante B fast eine Oktave höher, wo ohnehin weniger Energie ankommt. Nach der Formel ist es genau eine Oktave, weil beide Aufbauten dieselbe Einzellagendicke verhältnis-gleich verdoppeln. Dass Gipskarton zwei Grenzfrequenzen hat, ändert an diesem Vergleich nichts: Beide Varianten bestehen aus demselben Werkstoff, also wandert der ganze Bereich um dieselbe Oktave.

Die Betonung liegt auf geschraubt. Werden die beiden Lagen vollflächig verklebt, entsteht rechnerisch eine 25-mm-Platte, und Variante B fällt auf Variante A zurück — bei höherem Aufwand. Was eine dauerelastische Zwischenschicht darüber hinaus leistet, steht im Glossareintrag; für diese Rechnung zählt nur, dass sie f_c nicht verschiebt.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge ist dieselbe wie beim Massegesetz: erst der Ziel-Pegel und die zu haltenden Frequenzen, dann alle Übertragungswege gemeinsam, erst danach das Bauteil. Diese Rechnung gehört in den letzten Schritt und beantwortet dort genau eine Frage — wie die vorgesehene Masse auf Lagen zu verteilen ist. Ihre Antwort lautet fast immer: mehrere dünne Lagen, geschraubt, Stöße versetzt.

Verknüpfte Inhalte

Was beim Koinzidenzeffekt physikalisch passiert, warum der Einbruch als breites Tal und nicht als schmale Spitze erscheint und welche Missverständnisse sich daran hängen, steht im Eintrag zum Koinzidenzeffekt — diese Seite setzt ihn voraus und liefert nur die Rechnung dazu. Der Bereich unterhalb von f_c gehört dem Massegesetz, das dort auch die Resonanz zweischaliger Aufbauten behandelt; zusammen decken beide Seiten die Dämmkurve einer Wand ab. Die Wellenart, um die es geht, erklärt der Eintrag zu den Biegewellen, die Eingangsgröße die flächenbezogene Masse. Dass dieselbe schwingende Platte auch gewollt eingesetzt wird, zeigt die Plattenschwinger-Resonanz; das Gesamtbild aus Masse, Entkopplung und Dichtheit steht bei der Schalldämmung.

Quellen

Grundform und Plattenform folgen der Standardliteratur zur technischen Akustik und zum Körperschall; die geschlossene Behandlung geht auf Cremer zurück. Sichtbar wird der Einbruch in Dämmkurven nach ISO 10140, bewertet nach ISO 717-1.