Dynamische Steifigkeit

Die dynamische Steifigkeit gibt an, welche Kraft nötig ist, um ein elastisches Element unter schneller Wechselbelastung um einen bestimmten Weg zusammenzudrücken. Sie ist die Federkonstante, mit der eine elastische Lagerung tatsächlich arbeitet — und bei Gummi, Schaum und Fasermatten ist sie größer als die Steifigkeit, die man beim langsamen Draufdrücken misst.

Ausführliche Erklärung

Steifigkeit ist zunächst nur Kraft geteilt durch Weg. Bei einer Stahlfeder ist dieses Verhältnis eine feste Größe aus Werkstoff und Bauform und ändert sich nicht, ob man langsam oder schnell drückt. Elastomere, Schäume und Fasermatten verhalten sich anders: Sie sind viskoelastisch, also zum Teil Feder und zum Teil zäher Fluss. Unter langsamer Last haben die Molekülketten Zeit, aneinander abzugleiten, und das Material gibt weit nach. Unter schneller Wechselbelastung fehlt diese Zeit, die Verformung fällt kleiner aus — das Material reagiert steifer.

Für die Akustik ist dieser Unterschied keine Feinheit: Körperschall ist eine Wechselbelastung mit vielen Lastwechseln je Sekunde, und die Feder, mit der eine Lagerung dabei tatsächlich arbeitet, ist die dynamische. Die Eigenfrequenz einer elastischen Lagerung steigt mit der Wurzel der Steifigkeit, und weil die dynamische Steifigkeit über der statischen liegt, liegt auch die tatsächliche Eigenfrequenz über der berechneten.

Warum die Einfederungsregel nur eine untere Schranke liefert

Die im Alltag nützlichste Abschätzung einer Eigenfrequenz kommt ohne Datenblatt aus: Man misst, wie weit das Element unter der Last einfedert, und rechnet daraus f₀. Das funktioniert, weil sich die Masse in der Rechnung herauskürzt — nachzulesen auf der Formelseite. Es funktioniert allerdings nur, solange die Steifigkeit, die man da verwendet, die richtige ist. Gemessen wird beim Einfedern die statische Steifigkeit, gebraucht wird die dynamische.

Bei Stahlfedern stimmen beide praktisch überein, und die Regel ist dort genau. Bei Gummi- und Schaumelementen fällt die tatsächliche Eigenfrequenz höher aus als gerechnet — teils deutlich. Der gerechnete Wert markiert damit die günstigste Möglichkeit und nicht das Ergebnis, und die Auslegungsreserve muss diese Differenz auffangen. Deshalb steht auf der Formelseite der Faktor 3 als Faustregel für den Abstand zwischen Eigenfrequenz und dem Bereich, der abgehalten werden soll: Er lässt Luft für genau diese Versteifung.

Die flächenbezogene Form s'

In der Bauakustik zählt man keine einzelnen Federn, sondern rechnet mit einer Schicht unter einer ganzen Fläche. Die dafür zuständige Größe ist die flächenbezogene dynamische Steifigkeit s' — die Federsteifigkeit je Quadratmeter Dämmschicht. Bestimmt wird sie nach DIN EN 29052-1 an einer Probe der Schicht, und sie ist der Wert, der auf Datenblättern von Trittschalldämmschichten tatsächlich steht.

text f₀ ≈ 160 · √( s' / m'' )

f₀ = Eigenfrequenz des Aufbaus in Hz s' = flächenbezogene dynamische Steifigkeit in MN/m³ m'' = flächenbezogene Masse der aufliegenden Schale in kg/m²

Die Einheit irritiert auf den ersten Blick: Meganewton je Kubikmeter, obwohl von einer Fläche die Rede ist. Sie folgt aber direkt aus der Definition — eine Steifigkeit (N/m), bezogen auf eine Fläche (m²), ergibt N/m³.

Der praktisch wichtigste Punkt kommt dagegen aus dem Federbild: s' hängt an der Dicke der Schicht. Eine dickere Schicht ist eine längere Feder — dieselbe Dämmschicht in doppelter Dicke wirkt wie zwei Federn in Reihe und hat näherungsweise die halbe flächenbezogene Steifigkeit, was die Eigenfrequenz senkt — näherungsweise, weil eine weitere Feder in Reihe mitläuft, die mit der Dicke gar nicht wächst. Ein s'-Wert ohne Dickenangabe ist deshalb nur die halbe Auskunft, genauso wie ein Strömungswiderstand ohne Dicke.

Die Kontaktsteifigkeit

Die Feder, die mit der Dicke nicht wächst, sitzt an den Grenzflächen der Schicht. Zwischen Dämmplatte und Untergrund bleiben mikroskopische Unebenheiten und eingeschlossene Luftpolster stehen; diese Kontaktschicht federt selbst mit, und in keinem Datenblatt taucht sie auf. Hartmut Schröder hat sie am Fraunhofer-Institut für Bauphysik 2004 getrennt gemessen. An nicht elastifizierten Polystyrol-Platten lag die Kontaktsteifigkeit bei 95 MN/m³, wenn ein Gleitmittel die Unebenheiten ausfüllte, und bei 26 MN/m³ trocken eingebaut; der Materialanteil derselben Proben betrug 78 MN/m³, auf 100 mm Dicke bezogen. Trocken eingebaut liegt die unsichtbare Feder damit in derselben Größenordnung wie die Dämmschicht, um die es eigentlich geht.

Zusammengerechnet werden beide Anteile wie Federn in Reihe: Die Kehrwerte der Steifigkeiten addieren sich. Die Rechenform dazu und ein durchgerechneter zweilagiger Aufbau stehen bei scheinbarer und wahrer dynamischer Steifigkeit nach EN 29052-1.

Zwei Folgen hat das für die Auslegung. Die weichste Lage bestimmt das Ergebnis stärker als alle anderen — eine steife Lage lässt sich durch eine weiche daneben retten, umgekehrt geht das nicht. Und die Dickenregel gilt nur für den Materialanteil: Verdoppelte Dicke halbiert diesen einen Summanden, der Kontaktanteil bleibt, wo er war, und der Gesamtwert fällt um weniger als die Hälfte. Wie sich aus derselben Mechanik ein mehrlagiger Aufbau bauen lässt, der hohe Verkehrslast und eine tiefe Eigenfrequenz zugleich schafft, steht bei Holzbau und Basswiedergabe.

Der Luftanteil in offenporigen Schichten

Bei offenporigen Schichten federt noch eine zweite unsichtbare Feder mit: die Luft in den Poren. Sie wirkt parallel zum Fasergerüst — beim Zusammendrücken muss sie ausweichen, und wo ihr das versperrt ist, drückt sie zurück. Im Prüfaufbau ist es ihr nicht versperrt. Die Probe ist handtellergroß und hat vier offene Ränder, an denen die Luft seitlich entweicht; unter einer durchgehenden Estrichfläche gibt es diesen Weg nicht mehr. Der gemessene Wert fällt damit zu günstig aus, und die eingebaute Schicht arbeitet steifer, als ihr Datenblatt angibt.

Die Differenz holt DIN EN 29052-1 mit einem eigenen Summanden für die Luft nach. Ob er hinzukommt, entscheidet der längenbezogene Strömungswiderstand der Schicht — und zwar als Zuordnung eines Rechenwegs, nicht als Materialgrenze: Über den Werkstoff sagt diese Einteilung nichts. Die Fallunterscheidung, die Formel für den Luftanteil und ein durchgerechnetes Beispiel stehen auf der Formelseite zu scheinbarer und wahrer dynamischer Steifigkeit nach EN 29052-1; dort liegt der Aufschlag bei einer 30 mm dicken Schicht bei gut einem Drittel des angenommenen Katalogwerts, und bei dünneren Schichten wächst er weiter.

Häufiges Missverständnis

„Weicher ist besser" ist der Satz hinter vielen Fehlauslegungen — und er stimmt in der Richtung, nur eben nicht als Materialaussage. Weich im Sinne der dynamischen Steifigkeit ist besser; weich im Sinne des Handgefühls sagt darüber wenig. Ein Schaumstoff, der sich zwischen den Fingern eindrücken lässt, kann unter einer Lastfrequenz von 50 Hz um ein Mehrfaches steifer sein, als sein Handgefühl vermuten lässt. Der Griff prüft die statische Steifigkeit — über die dynamische, auf die es ankommt, sagt er wenig.

Der zweite Irrtum betrifft den Datenblattwert selbst. Er gilt für eine Prüfbedingung — eine bestimmte Vorlast, ein bestimmtes Verfahren, eine bestimmte Schichtdicke — und nicht für jeden Einbaufall. Ein Element weit außerhalb seines vorgesehenen Lastbereichs arbeitet an einer anderen Steifigkeit als der angegebenen: zu gering belastet federt es kaum ein, überlastet geht es auf Anschlag und ist dann keine Feder mehr, sondern eine Schallbrücke aus eigenem Material.

Nicht zu verwechseln mit

• Statische Steifigkeit: Dieselbe Größe unter langsamer Last. Bei Stahlfedern gleich, bei Elastomeren kleiner — und genau diese Differenz ist der Inhalt dieses Eintrags.
• Flächenbezogene Masse m'': Kilogramm je Quadratmeter. Sie steht in derselben Formel wie s', ist aber die Trägheit der Schale und nicht die Feder darunter. In der Rechnung wirken beide gegenläufig: mehr Masse senkt die Eigenfrequenz, mehr Steifigkeit hebt sie.
• Biegesteifigkeit B': Der Widerstand einer Platte gegen Verbiegen, in N·m. Sie beschreibt das Bauteil, nicht das Federelement, und geht in die Biegewellen ein.
• Elastizitätsmodul: Ein Materialkennwert ohne Bezug auf Dicke und Fläche des Bauteils. Aus ihm folgt die Steifigkeit erst mit der Geometrie.
• Verlustfaktor: Die Dämpfung desselben Elements. Steifigkeit bestimmt, wo die Eigenfrequenz liegt, Dämpfung, wie hoch die Überhöhung dort ausfällt.

In der Planung

Unter einem Subwoofer soll ein Lagerelement liegen, und im Angebot stehen zwei Produkte: eines mit Datenblatt und angegebener dynamischer Steifigkeit, eines ohne, dafür günstiger und „nachweislich weicher".

Was hier zuerst feststehen muss: Welche Frequenz soll gar nicht erst in den Baukörper gelangen? Bei einem Subwoofer beginnt der Arbeitsbereich bei rund 20 Hz, und daraus folgt eine Zielvorgabe für die Eigenfrequenz, die sehr tief liegt.

Die Verfahrensfrage ist dann die nach der Nachweisbarkeit. Beim Produkt mit Datenblatt lässt sich f₀ vorab rechnen und die Auslegung begründen. Beim Produkt ohne bleibt nur die Einfederungsregel — und die liefert bei einem Elastomer eine zu niedrige Zahl. Damit ist das günstigere Element nicht ausgeschlossen, aber es braucht mehr Reserve und eine Kontrolle am Objekt: Einfederung unter Betriebslast messen und prüfen, ob das Element im vorgesehenen Lastbereich arbeitet.

Erst danach kommt die Gerätefrage — ausgewählt wird über die Einfederung im Betriebspunkt, wie es die Formelseite vorrechnet.

Verknüpfte Inhalte

Wo die Eigenfrequenz einer konkreten Lagerung liegt und wie viel oberhalb davon ankommt, rechnet die Formelseite zu Eigenfrequenz und Einfügedämmung elastischer Lagerung vor; dieser Eintrag liefert ihr die Eingangsgröße und die Warnung dazu. Wie aus dem Datenblattwert der Wert der eingebauten Schicht wird — Luftanteil, Fallunterscheidung, mehrere Lagen in Reihe —, rechnet scheinbare und wahre dynamische Steifigkeit nach EN 29052-1. Wozu elastische Lagerungen überhaupt gebaut werden und woran sie in der Praxis scheitern, steht bei der Entkopplung und bei der Schallbrücke. Die zweite Größe in der flächenbezogenen Rechnung erklärt die flächenbezogene Masse. Warum ein Masse-Feder-System überhaupt eine bevorzugte Frequenz hat, klärt die Resonanz; wie stark die Überhöhung dort ausfällt, der Verlustfaktor. Der Anwendungsfall mit eigenem Prüfverfahren ist der Trittschall.

Quellen

Definition und Bestimmung der flächenbezogenen dynamischen Steifigkeit folgen DIN EN 29052-1; ihre Verwendung im Rechenmodell für schwimmende Estriche folgt DIN EN 12354-2 beziehungsweise DIN 4109. Wo die Norm den Luftanteil aufschlägt und wie sie ihn bestimmt, führt die Formelseite mit Abschnitt und Gleichungsnummer der international identischen Fassung ISO 9052-1:1989. Das viskoelastische Verhalten von Elastomeren und die daraus folgende dynamische Versteifung sind Standard der technischen Akustik und der Schwingungstechnik. Die Messwerte zur Kontaktsteifigkeit und die Reihenschaltung mehrerer Lagen stammen aus der IBP-Mitteilung 439 von Hartmut Schröder, Fraunhofer-Institut für Bauphysik, 2004.