Modendichte und Modenabstand

Die Modendichte schätzt ab, wie viele Eigenfrequenzen eines Raums auf ein Hertz entfallen. Ihr Kehrwert, der mittlere Modenabstand, sagt dasselbe in Hertz: wie weit zwei benachbarte Moden im Schnitt auseinanderliegen. Beide beantworten genau eine Frage — ob in einem Frequenzbereich einzelne Ereignisse wirken oder ein Mittelwert.

Das Hauptglied der Rechnung ist ein Satz der reinen Mathematik: Der Göttinger Mathematiker Hermann Weyl zeigte 1911, dass die Zahl der Eigenwerte eines Schwingungsraums für große Ordnungen allein von seinem Volumen bestimmt wird, unabhängig von seiner Form. Erst die Akustik hat ihn später auf Wohnräume angewendet.

Natürliche Erklärung

Jede Mode eines Quaderraums gehört zu einem Zahlentripel (n_x, n_y, n_z), und die Rayleigh-Gleichung übersetzt dieses Tripel in eine Frequenz. Zeichnet man alle erlaubten Tripel als Gitterpunkte in einen Raum ein, dessen Achsen n_x/L, n_y/B und n_z/H sind, dann liegen alle Moden unterhalb einer Frequenz f in einer Achtelkugel mit dem Radius 2f/c. Die Zahl der Moden ist also das Volumen dieser Achtelkugel, geteilt durch das Volumen, das ein einzelner Gitterpunkt beansprucht — und dabei fallen die drei Kantenlängen heraus und lassen nur ihr Produkt stehen, das Raumvolumen. Deshalb hängt die Dichte allein am Volumen und nicht an den Proportionen.

Die beiden Exponenten sagen, wie stark jede der Größen wirkt. Die Frequenz steht im Quadrat: Eine Oktave nach oben vervierfacht die Dichte und viertelt den Abstand. Das Volumen steht nur in der ersten Potenz, wirkt also schwächer — dafür über den ganzen Frequenzbereich gleichmäßig, weil es die Kurve als Ganzes anhebt. Ein Kellerraum von 28 m³ und ein Wohnzimmer von 90 m³ unterscheiden sich bei jeder Frequenz um mehr als das Dreifache in der Dichte.

Warum ist der Abstand die entscheidende Zahl und nicht die Dichte selbst? Weil er sich mit einer zweiten Größe vergleichen lässt, die derselbe Raum mitbringt. Eine Mode ist eine Resonanz mit endlicher Breite, und diese Breite folgt aus der Dämpfung: B ≈ 2,2 / T mit der Abklingzeit T in Sekunden. Sie steht in einem eigenen Eintrag; hier zählt nur, dass sie mit der Frequenz nicht wächst. In einem Raum mit 0,35 s Abklingzeit ist jede Mode rund 6,3 Hz breit, unten wie oben. Solange der Abstand größer ist als diese Breite, steht jede Mode für sich. Sobald er kleiner wird, überlappen sie und mitteln sich zum diffusen Feld.

Woher der Faktor 2000 der Schroeder-Frequenz kommt

Genau dieser Vergleich liefert die Schroeder-Frequenz, und die Modendichte ist die Hälfte der Herleitung. Manfred Schroeder setzte die Grenze dort an, wo rund drei Moden in eine Modenbandbreite fallen:

text dN/df · B = 3 mit B = 2,2 / T

4 · π · V · f² / c³ = 3 · T / 2,2

f = √( 3 · c³ · T / (8,8 · π · V) ) = 2093 · √(T / V)

Die berühmte Konstante fällt also aus Schallgeschwindigkeit, Überlappungskriterium und dem Zusammenhang zwischen Bandbreite und Abklingzeit heraus. Dass dabei 2093 herauskommt und nicht die geläufigen 2000, macht keine der beiden Zahlen falsch. Die 2093 gelten für c = 343 m/s und für genau drei Moden je Bandbreite, und beide Vorgaben sind selbst gesetzt — die Grenze von drei Moden ist eine Konvention und keine gemessene Schwelle. Die 2000 sind die eingeführte Fassung derselben Überlegung, und ihr Abstand von gut vier Prozent liegt weit unter der Unsicherheit der Eingangsgrößen, allen voran der Nachhallzeit. Wer die Schroeder-Frequenz benutzt, benutzt damit die Modendichte, ob er sie ausrechnet oder nicht. Was die Zahl dann bedeutet, welche Nachhallzeit einzusetzen ist und warum daneben eine Variante mit 4000 kursiert, steht auf der Seite zur Schroeder-Frequenz.

Eingangsgrößen und Einheiten

V ist das lichte Innenvolumen, gerechnet von Innenkante zu Innenkante. Der Hohlraum über einer abgehängten Decke gehört nicht dazu; er ist akustisch ein eigenes Volumen. Ein offener Durchgang zum Nebenraum dagegen vergrößert das wirksame Volumen um einen Betrag, den die Formel nicht kennt — bei einer breiten Öffnung liegt die tatsächliche Dichte deutlich höher als die gerechnete.

Für c gilt wie auf den übrigen Formelseiten 343 m/s bei 20 °C. Weil c in der dritten Potenz im Nenner steht, wirkt eine Abweichung hier stärker als sonst: Über die Spanne von 15 °C bis 25 °C ändert sich c um knapp 2 %, die Dichte damit um rund 5 %. Für eine Größenordnungsabschätzung ist das bedeutungslos.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist ein geschlossener Raum mit schallharten Flächen. Die Formel selbst kennt seine Form nicht, und das ist ihre Stärke und ihre Schwäche zugleich: Sie gilt für den Quader wie für den Raum mit Dachschräge, gibt dafür aber über beide nur dieselbe Auskunft.

Brauchbar wird das Ergebnis erst, wenn im betrachteten Bereich genug Moden liegen, dass ein Mittelwert überhaupt etwas beschreibt. Ein Wohnraum erreicht das grob ab der Gegend seiner Schroeder-Frequenz. Darunter ist die Auskunft der Formel unbrauchbar, und zwar in einem Bereich, der akustisch gerade der wichtigste ist.

Zwei Räume mit gleichem Volumen bekommen dieselbe Zahl. Ob ihre Moden gleichmäßig verteilt stehen oder sich zu dritt auf einer Frequenz häufen und daneben eine Lücke lassen, unterscheidet die Rechnung nicht. Die Kantenverhältnisse entscheiden über diese Verteilung, und dafür sind die Proportionskriterien zuständig.

Grenzen

Die Formel ist eine asymptotische Näherung für große Modenzahlen. Am Beispielraum von 5,60 × 4,20 × 2,50 m — 58,8 m³, 96,0 m² Oberfläche, 49,2 m Kantenlänge — lässt sich der Fehler beziffern, weil die Moden dort einzeln ausgezählt vorliegen:

Bei 125 Hz zählt das Volumenglied allein halb so viele Moden, wie tatsächlich da sind; mit den beiden hinteren Gliedern trifft die Rechnung dort auf einen Zähler. So genau bleibt sie aber nicht über den ganzen Bereich: Bei 200 Hz zählt die vollständige Reihe vier Moden zu viel, bei 50 Hz liegt sie mit 3,3 gegen 2 um gut die Hälfte darüber. Die beiden Zusatzglieder schieben die Grenze der Brauchbarkeit nach unten, sie heben sie nicht auf.

Dasselbe Bild beim Abstand. Bei 50 Hz nennt die verkürzte Form rund 22 Hz, die vollständige rund 7,8 Hz — und die drei tiefsten Moden dieses Raums liegen tatsächlich rund 10 Hz auseinander. Brauchbar ist damit keine der beiden Zahlen, die verkürzte führt nur weiter in die Irre: Wer mit 22 Hz plant, hält den Bereich für dünner besetzt, als er ist.

Und der Mittelwert selbst versagt dort, wo es darauf ankommt. Unterhalb von 50 Hz enthält dieser Raum zwei Moden, bei 30,6 Hz und bei 40,8 Hz. Ein mittlerer Abstand über zwei Ereignisse beschreibt nichts — die dritte Mode folgt bei 51,0 Hz, und diese drei Zahlen sagen über den Raum mehr aus als jede Dichteangabe. Im Modalbereich zählt man deshalb aus, statt zu schätzen; das leistet die Rayleigh-Gleichung.

Zwei weitere Aussagen liegen außerhalb dessen, was die Größe hergibt. Sie sagt nichts über die Stärke einer Mode, die von Dämpfung und Anregung abhängt. Und sie sagt nichts darüber, ob ein Lautsprecher an seiner Position eine bestimmte Mode überhaupt anregt. Eine hohe Dichte ist damit kein Freibrief: Fallen mehrere Moden auf dieselbe Frequenz, steigt die Dichte im Mittel genauso, während daneben eine Lücke klafft.

Rechenbeispiel

Derselbe multifunktionale Raum wie auf den anderen Formelseiten: 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m, also V = 58,8 m³. Mit c = 343 m/s ist c³ = 40.353.607 m³/s³.

Die Dichte bei 100 Hz:

text dN/df = 4 · π · 58,8 · 100² / 40.353.607 = 12,566 · 58,8 · 10.000 / 40.353.607 = 7.388.808 / 40.353.607 = 0,183 Moden je Hz

Und daraus der mittlere Abstand:

text δf = 1 / 0,183 = 5,5 Hz

Über den Frequenzgang aufgetragen, jeweils mit dem Volumenglied allein:

Die Zeile mit 30 Hz ist die lehrreichste, und zwar wegen ihrer Unbrauchbarkeit: 61 Hz mittlerer Abstand hieße, dass in diesem Raum bis weit über 60 Hz hinaus überhaupt nichts passiert. Tatsächlich sitzt dort die tiefste Längsmode, und die nächste folgt zehn Hertz später. Bei 30 Hz zeigt die Rechnung damit nur noch an, dass sie hier ihre Gültigkeit verlassen hat.

Jetzt der Vergleich mit der Modenbandbreite. Nach der Bedämpfung liegt die Abklingzeit dieses Raums bei 0,35 s, jede Mode ist also rund 6,3 Hz breit:

text 50 Hz: Abstand 22 Hz ≫ Breite 6,3 Hz → jede Mode steht für sich 100 Hz: Abstand 5,5 Hz ≈ Breite 6,3 Hz → sie beginnen zu überlappen 200 Hz: Abstand 1,4 Hz ≪ Breite 6,3 Hz → rund viereinhalb Moden überlappen, diffuses Feld

Die Grenze von drei überlappenden Moden liegt dazwischen, bei rund 161 Hz. Mit dem geläufigen 2000er-Faktor kommt man für diesen Raum auf 154 Hz, gut vier Prozent tiefer. Beide Zahlen sind eine Abschätzung und keine Messgröße — schon eine um 0,05 s längere Nachhallzeit verschiebt das Ergebnis stärker als der Unterschied der beiden Faktoren.

Was daraus für die Planung folgt, hängt am Volumen. In diesem Raum liegen Bass und untere Grundtöne im Modalbereich, also entscheidet zuerst die Geometrie: Hörplatz und Bassquellen relativ zu den ausgezählten Moden. Erst danach steht die Frage nach dem Verfahren — mehrere Bassquellen, tief wirksame Absorption oder Entzerrung —, und die Gerätewahl ist die letzte der drei. Ein kleinerer Raum von 28 m³ verschiebt diese Reihenfolge nicht, er verschärft sie: Seine Dichte ist bei jeder Frequenz nur halb so hoch, sein modaler Bereich reicht entsprechend weiter nach oben.

Verknüpfte Inhalte

Wo die einzelnen Moden dieses Raums liegen, rechnet die Rayleigh-Gleichung aus; unterhalb der Schroeder-Frequenz ist sie die zuständige Rechnung. Die Gegengröße zum Abstand, die Modenbandbreite, folgt aus der modalen Abklingzeit. Wohin der Vergleich beider führt, steht bei der Schroeder-Frequenz. Was Modendichte und Modenabstand begrifflich bedeuten und womit sie verwechselt werden, erklärt der Glossareintrag zur Modendichte; warum Häufungen und Lücken in der Verteilung schaden, die degenerierten Moden und die Wissensseite zu Raumproportionen.

Quellen

Das asymptotische Wachstum der Modenzahl mit Volumen und Frequenz geht auf Weyls Arbeit zur Eigenwertverteilung zurück und steht mit Flächen- und Kantenglied in der Standardliteratur zur Raumakustik; das Überlappungskriterium von rund drei Moden je Bandbreite auf Schroeder. Die ausgezählten Modenzahlen des Beispielraums bis 125 Hz stammen aus der Modenliste der Rayleigh-Seite; die Zahl bis 200 Hz ist mit derselben Gleichung über diese Liste hinaus ausgezählt.