Modale Abklingzeit

Die Rayleigh-Gleichung sagt, bei welchen Frequenzen ein Raum Eigenschwingungen hat. Sie sagt nicht, wie lange eine davon nachklingt — und genau das ist der Teil, den Hörer beschreiben, wenn sie einen Raum „schwammig" nennen oder sagen, ein Ton wummere über allem. Diese Formel schließt die Lücke: Aus dem Gütefaktor einer Mode und ihrer Frequenz wird eine Zeit in Sekunden.

Sie steht in dieser Form als Gleichung 1 bei Bruno Fazenda, Matthew Stephenson und Andrew Goldberg, die 2015 im Journal of the Acoustical Society of America Wahrnehmungsschwellen für modales Ausschwingen veröffentlichten. Der Zusammenhang selbst ist älter und gilt für jeden gedämpften Schwinger; die Arbeit ist hier die Quelle, weil sie ihn zusammen mit den Schwellen benutzt, gegen die man rechnen will.

Natürliche Erklärung

Der Gütefaktor beschreibt, wie verlustarm eine Resonanz ist. Je höher Q, desto weniger Energie verliert das schwingende System pro Periode, desto schärfer der Ausschlag im Frequenzgang und desto länger das Nachschwingen. Für eine Raummode heißt „verlustarm": Die Wände reflektieren fast alles zurück, es gibt kaum Absorption bei dieser Frequenz.

Warum die Frequenz im Nenner steht, wird über die Perioden klar. Q sagt im Kern, über wie viele Schwingungen sich der Vorgang hinzieht — und wie lange das dauert, hängt davon ab, wie lange eine Schwingung braucht. Bei 32 Hz dauert eine Periode 31 Millisekunden, bei 125 Hz nur 8. Dieselbe Güte ergibt deshalb unten eine deutlich längere Zeit als oben, und genau das erklärt, warum das Nachschwingen im Tiefbass das hartnäckigste Problem ist.

Die zweite Schreibweise ist die aufschlussreichere. Weil Q = f / Δf ist, kürzt sich die Frequenz heraus, und übrig bleibt T = 2,2 / Δf. Die Abklingzeit hängt also allein an der Breite der Überhöhung, nicht an ihrer Lage. Eine Mode, die im Messschrieb als schmale Nadel steht, klingt lang nach; eine breite, flache Erhebung klingt kurz nach — und zwar unabhängig davon, ob sie bei 40 Hz oder bei 120 Hz sitzt. Das ist die praktischste Lesart der ganzen Formel, weil sich die Breite einer Überhöhung aus einer Messung ablesen lässt, ohne dass man Q kennt.

Und daraus folgt eine Warnung, die im Bass regelmäßig ignoriert wird: Eine schmale Spitze im Frequenzgang ist kein kosmetisches Problem, sondern die Anzeige einer langen Abklingzeit. Wer sie mit einem ebenso schmalen Filter glattzieht, hat den Frequenzgang begradigt und das Nachschwingen möglicherweise nicht angetastet.

Eingangsgrößen und Einheiten

Q ist hier der Gütefaktor einer Raumresonanz, nicht der eines Lautsprechergehäuses und nicht der eines Filters. Die Größe ist dieselbe, der Gegenstand ein anderer — Verwechslungen entstehen leicht, weil in derselben Planung alle drei vorkommen.

Der Wert lässt sich nicht aus den Raummaßen rechnen. Anders als die Modenfrequenz, die aus Länge, Breite und Höhe folgt, hängt Q an der Absorption bei genau dieser Frequenz, an der Bauart der Wände und daran, wie viel Energie über mitschwingende Flächen abfließt. Q kommt deshalb immer aus einer Messung oder aus einer begründeten Annahme — und diese Formel macht aus ihm eine Zahl, mit der sich weiterarbeiten lässt.

Das T dieser Rechnung ist nicht die Nachhallzeit des Raums. Es gilt für eine einzelne Mode und beschreibt einen ganz anderen Frequenzbereich als die Nachhallzeit nach Sabine oder Eyring, die oberhalb der Schroeder-Frequenz zu Hause sind. Beide Zahlen haben die Einheit Sekunde und dieselbe 60-dB-Konvention, sind aber nicht ineinander umrechenbar.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel setzt eine Mode voraus, die sich als einzelner Schwinger beschreiben lässt. Das trifft im modalen Bereich unterhalb der Schroeder-Frequenz zu, solange die Moden weit genug auseinanderliegen. Rücken sie dicht zusammen — nach oben hin wächst ihre Zahl mit der dritten Potenz der Frequenz —, überlagern sich die Abklingvorgänge und lassen sich nicht mehr sauber trennen. Oberhalb der Schroeder-Frequenz ist die Einzelbetrachtung ohnehin gegenstandslos; dort beschreibt die Nachhallzeit das Verhalten.

Vorausgesetzt ist außerdem ein exponentieller Abfall, im Pegeldiagramm also eine Gerade. Fällt eine gemessene Abklingkurve geknickt aus, sitzen mindestens zwei Vorgänge übereinander, und ein einzelnes Q beschreibt sie nicht mehr.

Nicht enthalten ist die Anregung. Q sagt, wie lange eine Mode nachschwingt, wenn sie erst einmal angeregt ist — nicht, ob und wie stark der Lautsprecher sie überhaupt anregt. Eine Mode mit hohem Q, die kein Subwoofer trifft, ist kein Problem. Welche Moden angeregt werden, entscheidet die Position von Quelle und Hörplatz relativ zu den Druckmaxima; das steht bei der Rayleigh-Gleichung.

Grenzen

Die Formel rechnet um, sie misst nicht. Wer Q nicht kennt, bekommt keine Zahl heraus, und Q kennt man erst nach einer Messung. Ihr Nutzen liegt deshalb nicht in der Vorhersage, sondern in der Übersetzung: Sie macht Messgrößen und Wahrnehmungsschwellen vergleichbar, die sonst in verschiedenen Einheiten nebeneinanderstehen.

Zweitens sagt sie nichts über Hörbarkeit. Eine lange Abklingzeit ist nicht automatisch ein hörbares Problem — dafür gibt es gemessene Schwellen, und die hängen stark von der Frequenz ab. Sie stehen unten im Rechenbeispiel, mit den Einschränkungen, die ihre Autoren selbst nennen.

Und drittens ist sie eine Einzahlangabe für einen Vorgang, der am Hörplatz mit anderen zusammenwirkt. Ob ein Raum im Bass überzeugt, entscheidet sich aus dem Zusammenspiel von Pegelverteilung zwischen den Sitzplätzen, Ausschwingen und Anregung. Diese Formel deckt davon genau einen Teil ab.

Rechenbeispiel

Teil 1 — was Q in Sekunden bedeutet. Derselbe multifunktionale Raum wie auf den anderen Formelseiten, 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m. Seine erste axiale Längsmode liegt bei 30,6 Hz, die zweite bei 61,3 Hz.

text Mode 30,6 Hz, Q = 30: T = 2,2 · 30 / 30,6 = 2,16 s Mode 30,6 Hz, Q = 10: T = 2,2 · 10 / 30,6 = 0,72 s Mode 61,3 Hz, Q = 20: T = 2,2 · 20 / 61,3 = 0,72 s Mode 61,3 Hz, Q = 10: T = 2,2 · 10 / 61,3 = 0,36 s

Der Vergleich mit dem Raum als Ganzem macht die Größenordnung greifbar. Derselbe Raum kommt im Rechenbeispiel zur Sabine-Formel nach der Bedämpfung auf eine Nachhallzeit von 0,35 s im 1-kHz-Band. Eine Mode bei 61,3 Hz mit Q = 20 klingt also doppelt so lange nach wie der gesamte Raum im Mittelton — und das ist genau der Eindruck, den Hörer als „der Bass hängt hinterher" beschreiben: Der Bass ist dann nicht zu laut, sondern zu lange da.

Teil 2 — gegen die Wahrnehmungsschwellen gerechnet. Fazenda, Stephenson und Goldberg haben Schwellen bestimmt, ab denen modales Ausschwingen bemerkt wird. Rechnet man sie mit derselben Formel in Güten zurück, wird der Zusammenhang sichtbar:

Die vier Schwellen liegen in Sekunden weit auseinander — Faktor 7,5 zwischen der obersten und der untersten —, in Güten dagegen alle zwischen 13 und 16. Das passt zu einem älteren Befund, den Fazenda et al. referieren: Avis und Kollegen fanden eine absolute Schwelle bei Q = 16, unterhalb derer Resonanzen unhörbar blieben — wobei Fazenda et al. die Belastbarkeit dieses Befunds selbst einschränken, weil in den Avis-Versuchen die Güte aller Moden gleichzeitig verändert wurde und offen bleibt, worauf die Probanden ihre Entscheidung stützten.

Daraus folgt die praktische Regel, und sie ist unbequem: Je tiefer die Frequenz, desto toleranter ist das Gehör gegenüber langem Nachschwingen. Bei 32 Hz sind fast neun Zehntelsekunden zulässig, bei 250 Hz nur noch gut ein Zehntel. Unterhalb von etwa 50 Hz ist deshalb das Ortsproblem — der Pegelunterschied zwischen den Sitzplätzen — fast sicher das größere Thema als das Zeitproblem. Der Aufwand gegen Nachschwingen lohnt vor allem im oberen Modalbereich, grob zwischen 60 Hz und der Schroeder-Frequenz.

Und die Zahlen selbst sind mit Vorsicht zu lesen. Die Versuche liefen über Kopfhörer mit auralisierten Signalen, mit 17 beziehungsweise 10 Probanden, letztere ausdrücklich ein Expertenpanel; der Musikteil konvergierte in der ursprünglichen Methodik gar nicht und erforderte ein abgewandeltes Verfahren. Die Werte sind gute Größenordnungen für Optimierungsziele, keine Abnahmekriterien.

Teil 3 — rückwärts, für die Planung. Interessanter als eine Zeit auszurechnen ist meist die Frage, wie schmal eine Überhöhung sein darf. Über T = 2,2 / Δf:

text Ziel T = 0,50 s → Δf = 2,2 / 0,50 = 4,4 Hz Ziel T = 0,30 s → Δf = 2,2 / 0,30 = 7,3 Hz Ziel T = 0,20 s → Δf = 2,2 / 0,20 = 11,0 Hz

Eine Überhöhung, die in einer Messung nur zwei bis drei Hertz breit ist, klingt also 0,7 bis 1,1 Sekunden nach — unabhängig davon, bei welcher Frequenz sie sitzt. Das ist ein Kriterium, das sich beim Blick auf eine Messkurve direkt anwenden lässt.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge bleibt dieselbe wie bei allen Bassthemen und beginnt nicht beim Absorber. Zuerst die Konzeptfrage: Ist das Problem an diesem Hörplatz ein Pegelproblem zwischen den Sitzen oder ein Zeitproblem? Die Antwort steht in der Messung, und diese Formel übersetzt sie in eine Zahl, die sich gegen die Schwellen halten lässt. Dann die Verfahrensfrage — die Maßnahmen-Reihenfolge von Aufstellung über mehrere Bassquellen bis zur passiven Absorption steht beim Glossareintrag zur Raummode. Erst danach geht es um Geräte und Bauteile, denn ein Absorber, der vor dieser Klärung gekauft wird, ist teuer und trifft das Problem womöglich gar nicht.

Verknüpfte Inhalte

Wo die Moden eines Raums liegen, rechnen die Seiten zu den axialen Raummoden und zur Rayleigh-Gleichung — diese Seite ist deren Gegenstück im Zeitbereich und setzt sie voraus. Was eine Raummode überhaupt ist, steht im gleichnamigen Glossareintrag; das Ausschwingen und der modale Gütefaktor bekommen dort einen eigenen Eintrag. Wo die Einzelbetrachtung endet, klärt die Schroeder-Frequenz; darüber übernehmen die Nachhallformeln nach Sabine und Eyring. Wie eine Abklingkurve gemessen wird, steht bei der Raummessung. Die Maßnahmen behandeln Bassabsorber und Raumkorrektur, die Auslegung eines Plattenschwingers die zugehörige Formelseite.

Quellen

Die Gleichung steht als Gleichung 1 bei Fazenda et al. 2015; die Schwellenwerte stammen aus derselben Arbeit, ebenso die referierten Vorgängerstudien. Die Autorenfassung wurde für diese Seite im Volltext gelesen. Die Herleitung der Konstante 2,2 aus dem exponentiellen Abfall ist oben ausgeführt. Messverfahren für Abklingkurven stehen in ISO 3382.