Leitungskenngrößen: Wellenwiderstand, Beläge, Verkürzungsfaktor

Ein Kabeldatenblatt nennt selten alles. Meist stehen dort zwei Angaben — ein Wellenwiderstand in Ohm und ein Verkürzungsfaktor oder eine Kapazität je Meter —, und aus diesen zwei Angaben lässt sich der Rest ausrechnen. Der Grund ist ein geschlossenes Gleichungssystem: Wellenwiderstand und Ausbreitungsgeschwindigkeit folgen beide aus denselben zwei Belägen, und zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lassen sich in jede Richtung auflösen. Vier Schritte führen durch diesen Zusammenhang, dazu kommen die Bauform des Koaxialkabels und die beiden Nebengleichungen für Doppelleitung und Ableitungsbelag — samt der Frage, ab wann das Ganze in der Planung überhaupt eine Rolle spielt.

Natürliche Erklärung

Grundlage ist die Beschreibung einer Leitung durch vier längenbezogene Größen — Widerstands-, Induktivitäts-, Kapazitäts- und Ableitungsbelag —, die auf den britischen Autodidakten Oliver Heaviside zurückgeht; er arbeitete ab 1876 an den Problemen der Telegrafenkabel und entwickelte daraus die Leitungsgleichungen. Was die vier Beläge einzeln bedeuten, führen die Einträge zum Kapazitätsbelag und zu Induktivitäts- und Ableitungsbelag aus. Hier geht es um ihre Verrechnung.

Schritt 1 — Woher der Wellenwiderstand kommt

Läuft eine Welle die Leitung entlang, lädt sie fortlaufend die Kapazität zwischen den Leitern auf und baut zugleich das Magnetfeld um sie herum auf. Aus dem Verhältnis dieser beiden Vorgänge stellt sich ein festes Verhältnis von Spannung zu Strom ein — der Wellenwiderstand:

text Z₀ = √(L′ / C′)

Beide Beläge sind Meterwerte, und weil sie im Quotienten stehen, kürzt sich die Länge heraus. Ein Meter 75-Ohm-Koax hat 75 Ohm, hundert Meter haben ebenfalls 75 Ohm; Länge wirkt auf Dämpfung und Laufzeit, nicht auf Z₀. Die Gleichung ist der Grenzfall der vollständigen Beziehung für hohe Frequenzen — für tiefe Frequenzen gilt sie nicht, und der vollständige Ausdruck steht unter „Grenzen".

Schritt 2 — Geschwindigkeit und Verkürzungsfaktor

Dieselben zwei Beläge legen fest, wie schnell die Welle vorankommt. Diesmal stehen sie im Produkt:

text v = 1 / √(L′ · C′)

Für eine homogen gefüllte Leitung lässt sich dieses Produkt allein durch den Isolierstoff ausdrücken, denn dessen Dielektrizitätszahl εr sagt bereits, wie stark er die Ausbreitung verlangsamt:

text v = c / √εr VF = v / c = 1 / √εr

Massives Polyethylen mit εr ≈ 2,3 ergibt VF = 1/√2,3 = 0,659 — das sind die 0,66, die bei Koaxialkabeln mit massivem Dielektrikum immer wieder auftauchen. Geschäumtes Polyethylen ersetzt einen Teil des Materials durch Luft, εr sinkt auf rund 1,45, und der Verkürzungsfaktor steigt auf 1/√1,45 = 0,830. Mehr zur Herkunft dieser Werte und zur Längenmessung mit dem Kabeltester steht beim Verkürzungsfaktor.

Schritt 3 — Vom Datenblattwert zum Belag

Schritt 1 und Schritt 2 sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wer Z₀ und v kennt, kann sie nach L′ und C′ auflösen — und genau diese Richtung wird in der Praxis gebraucht, weil Datenblätter Ohm und Verkürzungsfaktor nennen und die Beläge oft weglassen:

text Z₀ · v = √(L′/C′) · 1/√(L′·C′) = 1 / C′ → C′ = 1 / (Z₀ · v)

Z₀ / v = √(L′/C′) · √(L′·C′) = L′ → L′ = Z₀ / v

Daraus folgt eine Einschränkung, die viele Kabelversprechen aushebelt: Bei einer Leitung, die einen bestimmten Wellenwiderstand einhalten muss, ist der Kapazitätsbelag keine frei wählbare Eigenschaft mehr. Wer ihn senken will, muss die Geschwindigkeit erhöhen, und das geht nur über den Isolierstoff. Frei wählbar bleibt er dort, wo keine Impedanz vorgegeben ist — bei Cinch-Verbindungen, Tonarmkabeln und Lautsprecherleitungen.

Schritt 4 — Die Koaxialgeometrie

Beim Koaxialkabel lässt sich der Wellenwiderstand bis auf die Bauform zurückrechnen. Es zählen nur zwei Dinge: das Verhältnis der Durchmesser und der Isolierstoff dazwischen.

text Z₀ = (138 Ω / √εr) · log₁₀(D / d)

Die 138 Ω sind keine willkürliche Konstante. Sie entstehen aus dem Freiraumwellenwiderstand √(µ0/ε0) = 376,7 Ω geteilt durch 2π, also 59,96 Ω, umgerechnet vom natürlichen auf den dekadischen Logarithmus (Faktor ln 10 = 2,3026): 59,96 · 2,3026 = 138,1. Wer die Formel mit dem natürlichen Logarithmus führt, rechnet mit 60 Ω statt 138 Ω — dieselbe Gleichung in anderer Schreibweise.

Bemerkenswert ist, was nicht in der Gleichung steht: keine Länge und keine Frequenz. Daraus folgt die praktische Konsequenz, die auf jeder Baustelle zählt: Der Wert wird beim Ziehen des Kabels festgelegt. Eine Quetschung im Leerrohr, ein zu enger Bogen oder ein fest angezogener Kabelbinder verschiebt D örtlich und drückt das Dielektrikum — und macht aus einer gleichförmigen Leitung eine Leitung mit einer Stoßstelle darin. Wie groß der Anteil ist, der an einer solchen Stelle zurückläuft, rechnet der Reflexionsfaktor aus.

Nebengleichung 1 — Der Induktivitätsbelag der Doppelleitung

Für die symmetrische Doppelleitung, also für jedes Lautsprecher- und Zwillingskabel, gibt es einen geschlossenen Ausdruck für den Induktivitätsbelag:

text L′ = (µ0 / π) · arcosh(s / d) mit arcosh(x) = ln(x + √(x² − 1))

µ0/π ist dabei glatt 4 · 10⁻⁷ H/m, was die Rechnung im Kopf erlaubt. Der Abstand steht im Logarithmus, und deshalb folgt der Belag der Geometrie gedämpft: Bei einem Leiterdurchmesser von 1,8 mm ergibt ein Mittenabstand von 3,5 mm rund 0,51 µH/m, ein doppelt so großer Abstand von 7,0 mm rund 0,81 µH/m. Der doppelte Abstand hebt den Wert also um rund 58 Prozent und nicht aufs Doppelte.

Nach unten hin begrenzt die Bauform: s kann den Leiterdurchmesser nicht unterschreiten, weil sich bei s/d = 1 die blanken Leiter berühren würden, und die Aderisolierung hält ohnehin einen Mindestabstand ein. In dem Fenster, das dazwischen bleibt, verschiebt eine besondere Litzenführung den Induktivitätsbelag um einige Zehntel µH/m. Was das im Hörbereich wert ist, rechnet das dritte Rechenbeispiel gegen den Leiterwiderstand derselben Leitung auf.

Nebengleichung 2 — Der Ableitungsbelag

Der vierte Belag beschreibt den Verlust quer durch den Isolierstoff. Er hängt an der Kapazität, am Verlustfaktor des Werkstoffs und — entscheidend — an der Frequenz:

text G′ = 2 · π · f · C′ · tan δ

An der Proportionalität zur Frequenz hängt die ganze Geschichte der Reichweitengrenzen bei Kupferstrecken. Über einen Meter Leitung gerechnet liegt der Querwiderstand bei 20 kHz in der Größenordnung eines Gigaohm, bei drei Gigahertz noch bei einem einstelligen Kilo-Ohm-Wert — beides ist im vierten Rechenbeispiel vorgerechnet. Das ist der physikalische Grund für die Längenangaben bei HDMI, HDBaseT und Ethernet.

Wann der Wellenwiderstand überhaupt zählt

Er zählt, sobald die Leitung gegenüber dem Signal elektrisch lang wird — sobald also die Laufzeit auf ihr in die Größenordnung der Signalflanken kommt. Der Verkürzungsfaktor aus Schritt 2 ist die Größe, die aus einer Länge eine Laufzeit macht: Bei VF = 0,66 legt ein Signal 0,198 m je Nanosekunde zurück, also rund 20 cm/ns.

Die Werte, die vorkommen — und ihre Beläge

Die Nennwellenwiderstände sind Bauvorschriften aus den jeweiligen Schnittstellennormen und keine Qualitätsstufen. Was Schritt 3 dazu beisteuert: Zu jedem Nennwert gehört bei gegebener Geschwindigkeit ein fester Satz Beläge. Die folgenden Werte sind mit einem einheitlich angenommenen Verkürzungsfaktor von 0,66 gerechnet, damit sie untereinander vergleichbar bleiben — ein reales Kabel mit geschäumtem Dielektrikum liegt bei der Kapazität entsprechend niedriger.

Die beiden rechten Spalten zeigen, was ein höherer Nennwert an Belägen bedeutet: Von 50 auf 120 Ω fällt der Kapazitätsbelag von 101 auf 42 pF/m, während der Induktivitätsbelag von 0,25 auf 0,61 µH/m steigt. In Z₀ = √(L′/C′) wirken beide Änderungen in dieselbe Richtung — jede für sich ergäbe nur rund den Faktor 1,55, zusammen ergeben sie die 2,4-fache Impedanz. Warum zwei frei geführte Adern gerade diese Beläge haben und welche Steckverbinder zu welchem Wert gehören, steht beim Wellenwiderstand; warum ausgerechnet 50 und 75 Ohm zu Normwerten wurden, beim Koaxialkabel.

Eingangsgrößen und Einheiten

In der Koaxialgleichung stehen D und d als Verhältnis, deshalb ist die Einheit dort gleichgültig — Millimeter oder Zoll ergeben denselben Wert, solange beide dieselbe Einheit haben. Für den Kapazitätsbelag ist die gebräuchliche Angabe pF/m, für den Induktivitätsbelag µH/m; in die Gleichungen gehen sie als F/m und H/m ein.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Gleichungen der Schritte 1 bis 3 gelten für die verlustarme Leitung, also dann, wenn der Widerstandsbelag klein gegenüber ω·L′ und der Ableitungsbelag klein gegenüber ω·C′ ist. Bei allen Frequenzen, bei denen der Wellenwiderstand überhaupt gebraucht wird — von einigen hundert Kilohertz aufwärts —, ist das erfüllt.

Vorausgesetzt ist außerdem ein nichtmagnetischer Isolierstoff, was auf jeden in der AV-Technik verwendeten Kunststoff zutrifft, und eine über die Länge gleichförmige Leitung. Die Koaxialgleichung setzt zusätzlich voraus, dass der Raum zwischen den Leitern homogen gefüllt ist.

Für verdrillte Adernpaare gilt der Zusammenhang VF = 1/√εr nur eingeschränkt, weil das Feld teils im Aderisolator und teils in der Luft zwischen den Adern liegt. Der wirksame Wert ergibt sich aus der Mischung und wird deshalb gemessen statt gerechnet; er liegt bei üblichen Installationskabeln zwischen etwa 0,65 und 0,72. Die Umrechnungen aus Schritt 3 bleiben davon unberührt — sie brauchen nur v, gleich woher es stammt.

Grenzen

Die verlustarme Näherung ist ein Grenzfall. Vollständig lautet der Wellenwiderstand Z₀ = √((R′ + jωL′) / (G′ + jωC′)). Bei tiefen Frequenzen dominiert R′ über ωL′, und der Wellenwiderstand wird komplex und deutlich größer als der Nennwert — auf einer Telefonader sind bei einigen hundert Hertz einige hundert Ohm die Folge. Für die Zahlenwerte dieser Seite ist das ohne Belang, weil dort niemand mit Wellenwiderstand plant. Wer die Näherung aber auf niederfrequente Strecken anwendet, rechnet falsch.

Der Wert ist eine Bauangabe und keine Messgröße im Feld. Ein Ohmmeter schickt Gleichstrom durch die Leitung und findet den Schleifenwiderstand, nie Z₀. Wer den Wert prüfen will, braucht ein Verfahren mit einer Welle: Zeitbereichsreflektometrie oder eine Messung im Frequenzbereich. Der Wellenwiderstand führt das aus.

εr und tan δ sind selbst frequenzabhängig. Beide Werte gelten für den Frequenzbereich, in dem sie erhoben wurden, und ändern sich zudem mit der Temperatur. Eine Rechnung mit einem einzigen Zahlenwert über mehrere Dekaden hinweg liefert eine Größenordnung und keine Auslegungsgrundlage.

Die Doppelleitungsgleichung liefert nur die äußere Induktivität. Der Anteil, der aus dem Magnetfeld im Leiterinneren stammt, fehlt darin. Bei tiefen Frequenzen kommt er hinzu, bei hohen verschwindet er mit dem Stromdrang an die Leiteroberfläche. Für Audiofrequenzen liegt der Fehler in der Größenordnung weniger Prozent und damit unter der Streuung der Geometrie selbst.

Der Nennwert gilt für die Strecke, nicht für die Kabeltrommel. Ein 100-Ohm-Installationskabel mit sorglos aufgelegten Modulen ergibt keine 100-Ohm-Strecke, sondern eine Kette von Stoßstellen. Die Gleichungen beschreiben ein gleichförmiges Kabel; was an den Übergängen passiert, gehört zum Reflexionsfaktor.

Rechenbeispiel

Beispiel 1 — Aus zwei Datenblattangaben alle vier Größen. Ein 75-Ohm-Koaxialkabel mit geschäumtem Polyethylen, Verkürzungsfaktor laut Datenblatt 0,83:

text Schritt 1 — Geschwindigkeit: v = VF · c = 0,83 · 3,0 · 10⁸ m/s = 2,49 · 10⁸ m/s

Schritt 2 — Kapazitätsbelag: C′ = 1 / (Z₀ · v) = 1 / (75 Ω · 2,49 · 10⁸ m/s) = 5,35 · 10⁻¹¹ F/m = 53,5 pF/m ≈ 54 pF/m

Schritt 3 — Induktivitätsbelag: L′ = Z₀ / v = 75 Ω / 2,49 · 10⁸ m/s = 3,01 · 10⁻⁷ H/m = 0,30 µH/m

Gegenprobe: √(L′/C′) = √(3,01 · 10⁻⁷ / 5,35 · 10⁻¹¹) = √5626 = 75,0 Ω ✓ 1/√(L′·C′) = 1/√(1,61 · 10⁻¹⁷) = 2,49 · 10⁸ m/s ✓

Dasselbe Verfahren für ein 50-Ohm-Kabel mit massivem Polyethylen (VF = 0,66, v = 1,98 · 10⁸ m/s) ergibt C′ = 101 pF/m und L′ = 0,25 µH/m. Der Unterschied zwischen beiden Kabeln liegt fast vollständig im Dielektrikum: Das geschäumte Material ist schneller und deshalb kapazitätsärmer.

Beispiel 2 — Welches Durchmesserverhältnis ergibt 75 Ohm? Die Koaxialgleichung nach D/d aufgelöst, für geschäumtes Polyethylen mit εr = 1,45 (das zu VF = 0,83 gehört):

text 138 Ω / √1,45 = 138 / 1,204 = 114,6 Ω

log₁₀(D/d) = 75 Ω / 114,6 Ω = 0,654 → D/d = 10^0,654 = 4,5

Probe mit d = 1,0 mm und D = 4,5 mm: Z₀ = 114,6 Ω · log₁₀(4,5) = 114,6 · 0,653 = 74,9 Ω ≈ 75 Ω ✓

Für 50 Ohm mit massivem Polyethylen (εr = 2,3) lautet dieselbe Rechnung 138/1,517 = 91,0 Ω und log₁₀(D/d) = 0,549, also D/d = 3,5. Und derselbe Aufbau mit D/d = 4,5, aber massivem statt geschäumtem Dielektrikum ergäbe 91,0 · 0,653 = 59,4 Ω — der Isolierstoff verschiebt den Wert um mehr als 20 Prozent.

Was eine Quetschung anrichtet. Wird der Außenleiter an einer Stelle von 4,5 auf 4,0 mm zusammengedrückt, während der Innenleiter bei 1,0 mm bleibt:

text Z₀ = 114,6 Ω · log₁₀(4,0) = 114,6 · 0,602 = 69,0 Ω

Aus 75 Ohm werden 69 Ohm auf wenigen Zentimetern. Was das für das Signal bedeutet, rechnet die Seite zum Reflexionsfaktor aus.

Beispiel 3 — Der Induktivitätsbelag einer Lautsprecherleitung. Eine Zwillingsleitung mit 2,5 mm² je Ader hat einen Leiterdurchmesser von rund 1,8 mm; der Mittenabstand betrage 3,5 mm:

text s / d = 3,5 / 1,8 = 1,944

arcosh(1,944) = ln(1,944 + √(1,944² − 1)) = ln(1,944 + 1,668) = ln(3,612) = 1,284

L′ = 4 · 10⁻⁷ H/m · 1,284 = 5,14 · 10⁻⁷ H/m ≈ 0,51 µH/m

Zehn Meter Leitung: L = 0,51 µH/m · 10 m = 5,1 µH

Blindwiderstand bei 20 kHz: X_L = 2 · π · f · L = 2 · π · 20.000 Hz · 5,1 · 10⁻⁶ H = 0,64 Ω

Zum Vergleich der Schleifenwiderstand derselben Strecke: 2,5 mm² über 10 m einfache Länge ergeben nach den Norm-Höchstwerten rund 0,16 Ω (siehe Schleifenwiderstand). Gleich groß sind beide Anteile bei rund 5 kHz; darunter bestimmt der Leiterwiderstand, darüber die Induktivität. Auf den Pegel wirkt sich trotzdem der Widerstand stärker aus, weil er über den ganzen Frequenzbereich anliegt: An einer 8-Ohm-Last kostet der induktive Anteil bei 20 kHz rund 0,03 dB, der Schleifenwiderstand rund 0,17 dB durchgehend. Daraus folgt die Planungsregel für Lautsprecherleitungen: Der Querschnitt entscheidet, die Geometrie nicht.

Beispiel 4 — Der Ableitungsbelag über der Frequenz. Ein Kabel mit C′ = 100 pF/m in Polyethylen, Verlustfaktor tan δ = 10⁻⁴:

text Bei f = 20 kHz: G′ = 2 · π · 2,0 · 10⁴ · 1,0 · 10⁻¹⁰ · 1,0 · 10⁻⁴ = 1,26 · 10⁻⁹ S/m Querwiderstand über einen Meter: 1/(G′ · 1 m) = 8,0 · 10⁸ Ω ≈ 0,8 GΩ

Bei f = 3 GHz: G′ = 2 · π · 3,0 · 10⁹ · 1,0 · 10⁻¹⁰ · 1,0 · 10⁻⁴ = 1,89 · 10⁻⁴ S/m Querwiderstand über einen Meter: 1/(G′ · 1 m) = 5,3 · 10³ Ω ≈ 5,3 kΩ

Der Bezug auf einen Meter ist dabei kein Belag: Ableitungen liegen parallel, also verzehnfacht sich bei zehn Metern der Leitwert und der Querwiderstand sinkt auf ein Zehntel — anders als beim Leiterwiderstand, der mit der Länge wächst.

Fünf Zehnerpotenzen zwischen beiden Zahlen, und sie sind der Grund, warum derselbe Isolierstoff im Hörbereich niemand interessiert und im Gigahertzbereich die bestimmende Verlustquelle ist.

Beispiel 5 — Laufzeit einer Datenstrecke. Der Verkürzungsfaktor macht aus einer Länge eine Zeit. Für 100 m Installationskabel:

text VF = 0,65: t = 100 m / (0,65 · 3,0 · 10⁸ m/s) = 5,13 · 10⁻⁷ s = 513 ns VF = 0,72: t = 100 m / (0,72 · 3,0 · 10⁸ m/s) = 4,63 · 10⁻⁷ s = 463 ns

Die Verkabelungsnormung setzt für den Kanal eine Höchstlaufzeit von 555 ns bei 10 MHz an. Rückwärts gerechnet entspricht das bei 100 m Kanallänge einem Verkürzungsfaktor von 100 / (555 · 10⁻⁹ · 3,0 · 10⁸) = 0,60 — die Norm lässt also Reserve gegenüber den 0,65 bis 0,72, die übliche Installationskabel erreichen. Der zweite Grenzwert, die Laufzeitdifferenz zwischen dem schnellsten und dem langsamsten Paar, liegt bei 45 ns je 100 m Kabel; gegenüber rund 500 ns Gesamtlaufzeit sind das etwa 9 Prozent Unterschied in der wirksamen Drahtlänge zwischen zwei Paaren desselben Kabels. Warum die Paare überhaupt verschieden lang sind, klärt der Verkürzungsfaktor.

Verknüpfte Inhalte

Was der Wellenwiderstand bedeutet, warum er kein Bauteilwiderstand ist und welche Steckverbinder zu welchem Nennwert gehören, führt der Wellenwiderstand aus; die Bauform, an der sich die Rechnung am besten zeigt, das Koaxialkabel, und die symmetrische Gegenform das Twisted Pair. Die einzelnen Beläge haben eigene Einträge: Kapazitätsbelag sowie Induktivitäts- und Ableitungsbelag. Die Laufzeitseite der Sache steht beim Verkürzungsfaktor.

Zwei Rechnungen setzen unmittelbar hier an. Wie viel Signal an einer Stoßstelle zurückläuft und wie daraus die Rückflussdämpfung wird, steht beim Reflexionsfaktor und der Rückflussdämpfung. Was der Kapazitätsbelag zusammen mit der Quellimpedanz an Grenzfrequenz erzeugt — die Rechnung für lange unsymmetrische Line-Strecken —, steht beim Kabeltiefpass. Die niederfrequente Schwester dieser Seite, bei der statt Wellen der schlichte Gleichstromwiderstand zählt, ist der Schleifenwiderstand; wie beides in die Auslegung langer Wege eingeht, zeigt Kabeldimensionierung für lange Wege.

Quellen

Die Beschreibung der Leitung über vier längenbezogene Beläge und die daraus folgenden Beziehungen für Wellenwiderstand und Ausbreitungsgeschwindigkeit gehen auf Heavisides Leitungsgleichungen zurück und sind Lehrbuchwissen; eine Primärfundstelle wurde für diese Seite nicht eingesehen. Die Nennwellenwiderstände stammen aus den jeweiligen Schnittstellennormen (AES3 und AES3id, IEC 60958-3, ISO/IEC 11801 und ANSI/TIA-568, SMPTE-Reihe für SDI), die Grenzwerte für Laufzeit und Laufzeitdifferenz aus Herstellerunterlagen zur Messtechnik mit dem oben genannten Vorbehalt. Der Verkürzungsfaktor 0,66 für massives Polyethylen stammt aus sekundär zusammengestellten Kabeldaten; die 0,83 für geschäumtes Polyethylen sind ein runder Datenblattwert aus dem Bereich 0,81 bis 0,85, den der Eintrag zum Verkürzungsfaktor nennt, und hier als Rechenannahme gesetzt. Die zugehörigen Dielektrizitätszahlen 2,3 und 1,45 sind daraus zurückgerechnet. Sämtliche Zahlenwerte dieser Seite sind aus den genannten Gleichungen selbst gerechnet und weder gemessen noch aus Datenblättern übernommen.