Grenzfrequenz aus Quellwiderstand und Kabelkapazität

Jede Leitung hat eine Kapazität, und jede Kapazität bildet mit dem Widerstand des Ausgangs davor einen Tiefpass: f_g = 1/(2·π·R_q·C_ges). Oberhalb dieser Grenzfrequenz fällt der Pegel ab, die Höhen fehlen. Die Kapazität steuert die Strecke bei, die Grenze setzt der Ausgang am Anfang der Strecke — und deshalb ist dieselbe Leitung an einem niederohmigen Gerät unauffällig und an einem hochohmigen der begrenzende Faktor. Diese Seite rechnet beide Fälle vor und zeigt, wie sich daraus eine zulässige Länge ergibt.

Natürliche Erklärung

Zwei Leiter mit einem Isolierstoff dazwischen sind ein Kondensator. Wie groß dieser Kondensator je Meter ausfällt, beschreibt der Kapazitätsbelag — eine von vier längenbezogenen Größen, mit denen der englische Elektroingenieur Oliver Heaviside in den 1880er Jahren die Telegrafenleitung beschrieben hat. Wie sich der Belag aus Geometrie und Dielektrikum ergibt und warum er bei einem Kabel mit vorgegebenem Wellenwiderstand keine frei wählbare Größe ist, steht dort und bei den Leitungskenngrößen; diese Seite setzt den Wert als bekannt voraus.

Interessant wird er erst im Zusammenspiel. Ein Kondensator lässt hohe Frequenzen leichter durch als tiefe. Sitzt er quer im Signalweg — vom Signalleiter zum Rückleiter, genau das tut die Leitungskapazität —, dann leitet er die hohen Anteile ab, bevor sie am Ende ankommen. Wie viel dabei verloren geht, hängt daran, wie leicht der Ausgang davor nachliefern kann. Genau das misst der Quellwiderstand, den ein Datenblatt als Ausgangsimpedanz führt.

Warum genau dieser Wert? Ein Ausgang mit wenigen Ohm Quellwiderstand liefert den Strom, den der Kondensator zieht, praktisch ohne Spannungsverlust nach — der Höhenanteil bleibt stehen. Ein Ausgang mit zehn Kiloohm kann das nicht; jeder Strom in die Kapazität erzeugt an diesem Widerstand einen Spannungsabfall, und was am Widerstand abfällt, fehlt hinten. Die Leitungskapazität wirkt damit wie ein Belastungstest für den Ausgang: Sie macht sichtbar, wie kräftig er wirklich ist.

Damit steht die praktisch wichtigste Aussage fest, und sie löst zugleich die verbreitete Kabeldebatte auf: Die Kapazität ist ein Problem der Quelle am Anfang der Strecke. Die Leitung liefert nur die Zahl, die eingesetzt wird. Wer eine hörbare Höhenschwäche auf einer langen Line-Strecke am Kabel zu beheben versucht, arbeitet am falschen Ende der Kette.

Was welcher Quellwiderstand bedeutet

Für 25 Meter Leitung mit 100 pF/m — also 2,5 nF, der ungünstige Rand des üblichen Bereichs von rund 40 bis 100 pF/m — ergeben sich über den Quellwiderstand diese Grenzfrequenzen und Pegelabfälle bei 20 kHz:

Die Tabelle rechnet den Quellwiderstand durch, ohne ihm ein Gerät zuzuordnen — der Wert steht im Datenblatt des sendenden Geräts und sonst nirgends. Ein Fall lässt sich trotzdem allgemein angeben, weil er sich aus der Schaltung selbst ergibt: Ein Potentiometer als Lautstärkesteller hat den Quellwiderstand x·(1−x)·R, wobei x die Stellung zwischen 0 und 1 bezeichnet. Der größte Wert liegt in Mittelstellung und beträgt ein Viertel des Gesamtwiderstands. Ein 10-kΩ-Steller kommt damit auf 2,5 kΩ, ein 100-kΩ-Steller auf 25 kΩ — die beiden unteren Zeilen der Tabelle. Deshalb ist der passive Lautstärkesteller vor einer langen Strecke der Klassiker unter den Höhenverlusten, und deshalb liegt sein schlechtester Punkt ausgerechnet in der Mitte des Regelwegs.

Eingangsgrößen und Einheiten

Zwei Umrechnungen kommen in jeder Rechnung vor: 1 pF sind 10⁻¹² F, und 1 nF sind 1000 pF. Eine Strecke von 25 m mit 100 pF/m ergibt 2500 pF und damit 2,5 nF.

C' ist ein Wert je Meter, C_ges eine Summe — und in dieser Summe steckt neben der Länge auch C_E. Bei kurzen Strecken ist die Eingangskapazität des empfangenden Geräts oft der größere der beiden Anteile; welcher Wert im Datenblatt steht und wogegen er gemessen wurde, klärt der Kapazitätsbelag.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel behandelt die Leitung als einen einzigen Kondensator und den Ausgang als einen einzigen Widerstand. Diese konzentrierte Ersatzschaltung gilt, solange die Leitung gegenüber der Wellenlänge des Signals kurz ist. Bei 20 kHz liegt die Wellenlänge auf einer üblichen Leitung bei rund zehntausend Metern; eine Wohnraumstrecke von 25 m ist davon ein Vierhundertstel und damit unbedenklich kurz. Für Video-, Daten- und HF-Strecken stimmt das nicht mehr — dort zählen Wellenwiderstand und Anpassung.

Angenommen wird außerdem, dass der Eingang des empfangenden Geräts hochohmig gegenüber R_q ist. Bei Line-Verbindungen mit einigen Kiloohm Eingangswiderstand gegen einige hundert Ohm Quellwiderstand ist das der Normalfall; die Pegelkonventionen ordnen ein, warum diese Spanne so aussieht. Läuft die Verbindung dagegen in eine niederohmige Last, kommt zum Höhenabfall ein Pegelverlust über den gesamten Frequenzbereich hinzu; den rechnet der Spannungsteiler aus Quelle und Last und nicht diese Formel.

Für C_ges zählt die Kapazität, die zur Verbindungsart passt. Bei einer unsymmetrischen Verbindung ist es die des Signalleiters gegen den Schirm, weil der Schirm hier der Rückleiter ist; bei einer symmetrischen Verbindung wirkt die Kapazität zwischen den beiden Signaladern. Datenblätter geben je nach Hersteller die eine, die andere oder eine dritte Bezugsgröße an, und die Werte desselben Kabels unterscheiden sich erheblich.

Grenzen

f_g ist der −3-dB-Punkt und keine Wand. Ein Tiefpass erster Ordnung fällt mit 6 dB je Oktave ab, und der Abfall beginnt schon deutlich unterhalb der Grenzfrequenz. Die dritte Spalte der Tabelle oben zeigt das: Bei einer Grenzfrequenz von 25,5 kHz — rechnerisch oberhalb des Hörbereichs — fehlen bei 20 kHz bereits 2,1 dB. Wer die Grenzfrequenz an den Rand des Hörbereichs legt, hat den Höhenabfall längst im Hörbereich.

Ob der Abfall stört, steht hier nicht. Herauskommt ein Pegelwert bei einer Frequenz. Ob 0,4 dB weniger bei 20 kHz für einen Hörer eine Rolle spielen, entscheidet eine Hörschwelle und keine Rechnung.

Beim MM-Tonabnehmer gilt sie nicht. Dort bildet die Induktivität des Abtastsystems mit derselben Kapazität einen Schwingkreis, dessen Resonanz am oberen Ende des Hörbereichs liegt und sich nur platzieren, nicht wegkonstruieren lässt. Zu wenig Kapazität ist dort ebenso ein Fehler wie zu viel — der Fall steht beim Kapazitätsbelag und beim Phono-Vorverstärker.

Der Quellwiderstand ist eine Impedanz. Die Rechnung setzt seinen ohmschen Anteil ein und nimmt ihn über die Frequenz als konstant an. Bei Ausgängen mit Übertrager oder mit einem Serienkondensator im Signalweg stimmt das nur näherungsweise.

Bei Lautsprecherleitungen liegt die Grenze woanders. Die Last mit wenigen Ohm ist so niederohmig, dass die Grenzfrequenz weit im Megahertzbereich landet; dort begrenzt der Schleifenwiderstand und nicht die Kapazität.

Rechenbeispiel

Dieselbe Leitung, zwei Ausgänge. Eine analoge Strecke von 25 m einfacher Länge mit einem Kapazitätsbelag von 100 pF/m; die Eingangskapazität des Empfängers bleibt zur Vereinfachung außen vor.

text C_ges = 100 pF/m · 25 m = 2500 pF = 2,5 nF

An einem Ausgang mit 600 Ω: f_g = 1 / (2 · π · 600 Ω · 2,5 · 10⁻⁹ F) = 106.103 Hz ≈ 106 kHz

An einem Ausgang mit 10 kΩ: f_g = 1 / (2 · π · 10.000 Ω · 2,5 · 10⁻⁹ F) = 6366 Hz ≈ 6,4 kHz

Der Faktor zwischen beiden Grenzfrequenzen ist exakt der Faktor zwischen den beiden Quellwiderständen: 10 kΩ sind das 16,7-Fache von 600 Ω, und 106 kHz sind das 16,7-Fache von 6,4 kHz. Am Kabel hat sich nichts geändert. Im ersten Fall liegt die Grenze gut zwei Oktaven über allem, was gehört wird, und der Abfall bei 20 kHz beträgt 0,15 dB. Im zweiten Fall liegt sie mitten im Hörbereich, bei 20 kHz fehlen 10,4 dB, und das ist ein anderer Klang.

Umgekehrt gerechnet: Wie lang darf die Strecke sein? Aus einem zulässigen Abfall bei 20 kHz folgt eine Mindest-Grenzfrequenz, daraus eine zulässige Gesamtkapazität und daraus eine Länge. Für höchstens 0,1 dB Abfall bei 20 kHz:

text Aus a = 20 · log10(√(1 + (f/f_g)²)) = 0,1 dB bei f = 20 kHz folgt f/f_g = 0,1526 und damit f_g,min = 20 kHz / 0,1526 ≈ 131 kHz

C_ges,max = 1 / (2 · π · R_q · 131.000 Hz) l_max = C_ges,max / C' (mit C' = 100 pF/m, C_E hier vernachlässigt)

Die Zeile für 10 kΩ ist der eigentliche Befund. 121 pF Gesamtbudget sind so wenig, dass allein die Eingangskapazität des empfangenden Geräts einen erheblichen Teil davon belegen kann — für die Leitung bleibt dann rechnerisch etwa ein Meter. Hinter einem hochohmigen Ausgang ist die lange Strecke damit keine Frage der Kabelqualität. Die Lösungen sind eine niederohmige Treiberstufe vor der Strecke oder eine symmetrische Übertragung; für den Plattenspieler heißt das, den Phono-Vorverstärker an das Laufwerk zu rücken und die lange Leitung dahinter zu legen.

Der Grenzwert, der bereits als Kapazität geschrieben ist. Bei RS-232 hat der Standardgeber diesen Schritt schon gemacht und nennt eine höchstzulässige Lastkapazität von 2500 pF statt einer Länge. Wer die Leitungskapazität je Meter kennt, rechnet die Länge daraus selbst aus — bei 100 pF/m rechnerisch 25 m, bei 50 pF/m schon 50 m, in beiden Fällen abzüglich der Eingangskapazität des Empfängers. Die überall zitierten fünfzehn Meter sind genau diese Umrechnung für ein gewöhnliches Kabel, eine Faustformel also, und stehen so in keinem Normtext.

Häufiges Missverständnis

„Kapazitätsarme Kabel klingen besser." Der wahre Kern daran ist die Physik dieser Seite: Die Kapazität wirkt als Tiefpass, und ein Tiefpass im Hörbereich ist hörbar. Die Verallgemeinerung stimmt trotzdem nicht, weil in der Formel zwei Größen stehen und die Kabelwerbung nur über eine davon spricht. Bei den Quellwiderständen der oberen Tabellenzeilen liegt die Grenzfrequenz mehr als eine Zehnerpotenz über dem Hörbereich; ein Kabelwechsel verschiebt sie dort von unhörbar nach unhörbar. Und wo die Kapazität wirklich begrenzt, reicht die Verbesserung von 100 auf 50 pF/m nur für eine Verdopplung der Länge — die Treiberstufe oder die symmetrische Verbindung bringt zwei Zehnerpotenzen.

Verknüpfte Inhalte

Woher der Kapazitätsbelag kommt, wie er mit Wellenwiderstand und Verkürzungsfaktor zusammenhängt und wogegen ein Datenblattwert gemessen wurde, steht beim Kapazitätsbelag und gebündelt bei den Leitungskenngrößen. Was der Quellwiderstand eines Ausgangs ist und warum er selten im Prospekt steht, klärt die Ausgangsimpedanz; die Grundgröße dahinter erklärt die Impedanz. Wo diese Rechnung in der Streckenplanung greift und welche Signalklasse stattdessen an einer anderen Größe scheitert, ordnet Kabeldimensionierung für lange Wege ein.

Diese Seite ist der vierte Baustein einer Familie von Streckenrechnungen, die dieselbe Frage für verschiedene Signalarten beantworten: Der Schleifenwiderstand begrenzt die Leistungsübertragung zum Lautsprecher, der Spannungsabfall auf Gleichstromleitungen die Kleinspannungsversorgung, das Optische Leistungsbudget die Glasfaserstrecke — und der Kabeltiefpass die analoge Signalstrecke. Die vier zusammen decken ab, was auf einer langen Leitung zuerst zu Ende geht.

Quellen

Die Größenordnung des Kapazitätsbelags unsymmetrischer Audioleitungen — rund 40 bis 100 pF je Meter — stammt aus der Konstruktionsbeschreibung eines Kabelherstellers, übernommen aus Kabeldimensionierung für lange Wege. Die Beschreibung der Leitung über längenbezogene Beläge folgt der Leitungstheorie und ist Lehrbuchwissen. Die Grenzwertangabe von 2500 pF Lastkapazität stammt aus dem RS-232-Standard in der Wiedergabe des zugehörigen Glossareintrags. Alle Grenzfrequenzen, Pegelabfälle, zulässigen Kapazitäten und Längen dieser Seite sind aus diesen Werten selbst berechnet.