Induktivitäts- und Ableitungsbelag

Der Induktivitätsbelag ist die Induktivität einer Leitung je Meter in Henry pro Meter, der Ableitungsbelag ihr Querverlust je Meter in Siemens pro Meter. Sie sind die beiden Beläge, über die am wenigsten gesprochen wird — der eine, weil seine Wirkung kleiner ausfällt als sein Ruf, der andere, weil er im Hörbereich schlicht nicht vorkommt.

Ausführliche Erklärung

Zwei von vier Belägen

Eine Leitung wird in der Leitungstheorie über vier Größen je Meter beschrieben: Widerstand und Induktivität in Längsrichtung, Kapazität und Ableitung quer dazu. Diese Beschreibung geht auf den britischen Autodidakten Oliver Heaviside zurück, der ab 1876 an den Problemen der Telegrafenkabel arbeitete und daraus die Leitungsgleichungen entwickelte.

Die vier hängen zusammen. Aus den beiden verlustfreien Belägen folgen Wellenwiderstand und Ausbreitungsgeschwindigkeit, und damit lässt sich der Induktivitätsbelag aus Angaben gewinnen, die im Datenblatt tatsächlich stehen:

text Z = √(L' / C') v = 1 / √(L' · C') daraus: L' = Z / v

L' = Induktivitätsbelag in Henry je Meter C' = Kapazitätsbelag in Farad je Meter Z = Wellenwiderstand in Ohm v = Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Leitung in m/s

Für ein 75-Ohm-Koaxialkabel mit geschäumtem Polyethylen und einem Verkürzungsfaktor von 0,83 ergibt das rund 0,30 µH/m, für ein 50-Ohm-Kabel mit massivem Polyethylen und einem Faktor von 0,66 rund 0,25 µH/m. Die Formel gilt für die verlustarme Leitung; unterhalb weniger Kilohertz und bei stark verlustbehafteten Leitungen wird sie ungenau.

Woraus der Induktivitätsbelag entsteht

Er folgt aus der Geometrie, wie der Kapazitätsbelag — nur mit umgekehrtem Vorzeichen in der Abhängigkeit. Enger beieinander liegende Leiter ergeben mehr Kapazität und weniger Induktivität, weiter auseinanderliegende umgekehrt. Für die Zweidrahtleitung, also für jedes Lautsprecher- und Zwillingskabel, gilt:

text L' = (µ0 / π) · arcosh(s / d)

s = Abstand der Leitermitten d = Durchmesser eines Leiters µ0 = magnetische Feldkonstante, 4π · 10^-7 H/m

Für eine Zwillingsleitung mit 2,5 mm² je Ader (Leiterdurchmesser rund 1,8 mm) und einem Mittenabstand von 3,5 mm ergibt das rund 0,5 µH/m. Weil der Mittenabstand im Logarithmus steht, schlägt die Geometrie unterproportional durch: Bei 7,0 mm Mittenabstand, dem doppelten Wert, stehen dort rund 0,8 µH/m — ein Zuwachs um knapp sechzig Prozent. Genau das begrenzt, was eine ausgefallene Litzenführung überhaupt erreichen kann.

Was er im Hörbereich anrichtet

Die Induktivität wirkt als Blindwiderstand in Reihe zur Last, und dieser Blindwiderstand wächst mit der Frequenz:

text X_L = 2 · π · f · L mit L = L' · Leitungslänge (beide Adern)

Zehn Meter Zwillingsleitung mit 0,5 µH/m ergeben 5 µH. Bei 20 kHz sind das rund 0,63 Ohm. An einer 8-Ohm-Last fehlen dadurch am oberen Ende des Hörbereichs etwa 0,03 dB, an einer 4-Ohm-Last rund 0,12 dB — und zwar nur ganz oben, denn bei 2 kHz ist der Wert bereits auf ein Zehntel gefallen.

Zum Vergleich der Widerstandsbelag derselben Leitung: 2,5 mm² Kupfer ergeben über zehn Meter Strecke, also zwanzig Meter Leiterlänge, rund 0,14 Ohm Schleifenwiderstand — gerechnet mit dem spezifischen Widerstand von Kupfer, 0,0178 Ω·mm²/m. An vier Ohm sind das etwa 0,30 dB — mehr als das Doppelte des Induktivitätsanteils, und im Gegensatz zu ihm über den gesamten Frequenzbereich gleich. Wer stattdessen mit den Höchstwerten der Leiternorm plant, kommt für dieselbe Strecke auf rund 0,16 Ohm; welche der beiden Rechenbasen wann gilt, klärt die Seite zum Schleifenwiderstand. Dazu kommt, dass dieser Widerstand den Dämpfungsfaktor senkt und damit auf die Kontrolle über die Schwingspule wirkt.

Daraus folgt die Planungsregel für Lautsprecherleitungen: Der Querschnitt entscheidet, die Geometrie nicht. Der Induktivitätsbelag ist zwar die einzige der drei Blindgrößen, die bei einer Lautsprecherleitung überhaupt etwas bewirkt — der Kapazitätsbelag verschwindet an der niederohmigen Last, der Ableitungsbelag ist ohnehin außer Reichweite. Nur bleibt seine Wirkung bei Wohnraumlängen unter der des schlichten Leiterwiderstands.

Der Ableitungsbelag und warum er erst spät auftaucht

Der Ableitungsbelag beschreibt, wieviel Strom quer durch den Isolierstoff von einem Leiter zum anderen fließt. Zwei Vorgänge stecken darin: die echte Leitfähigkeit des Kunststoffs, die bei modernen Isolierstoffen verschwindend klein ist, und die dielektrische Umpolarisierung, die mit der Frequenz anwächst.

text G' ≈ 2 · π · f · C' · tan δ

G' = Ableitungsbelag in Siemens je Meter tan δ = Verlustfaktor des Isolierstoffs (dimensionslos)

An diesem Ausdruck steht die ganze Geschichte. Der Ableitungsbelag ist proportional zur Frequenz. Bei 20 kHz und einem Kabel mit 100 pF/m in Polyethylen kommt ein Querwiderstand in der Größenordnung mehrerer Gigaohm je Meter heraus — gegen acht Ohm Last ist das nichts. Bei drei Gigahertz steht dort noch ein einstelliger Kilo-Ohm-Wert, und damit wird er zur bestimmenden Verlustquelle.

Deshalb sieht die Dämpfungskurve eines Koaxial- oder Datenkabels so aus, wie sie aussieht: Bei niedrigen Frequenzen steigt die Dämpfung mit der Wurzel der Frequenz, weil nur der Leiterwiderstand durch den Stromdrang an die Leiteroberfläche wächst; oberhalb einer materialabhängigen Grenze knickt sie nach oben, weil der dielektrische Verlust dazukommt und proportional zur Frequenz zulegt. Das ist der physikalische Grund für die Längenangaben bei HDMI, HDBaseT und Ethernet — und dafür, dass jenseits davon aktive Kabel oder Lichtwellenleiter die Antwort sind und nicht ein dickeres Kupferkabel.

Der Fall, in dem beide Beläge gemeinsam gebraucht wurden

Es gibt eine Konstellation, in der alle vier Beläge zugleich zählen, und sie ist historisch der Anlass der ganzen Theorie. Heaviside zeigte, dass eine Leitung genau dann alle Frequenzen gleich schnell und gleich stark überträgt, wenn gilt:

text R' · C' = G' · L'

Reale Kabel erfüllen das nicht: Ihr Widerstandsbelag ist im Verhältnis zu groß, tiefe Frequenzen laufen anders als hohe, und ein Sprachsignal kam am Ende einer langen Telegrafenleitung verschmiert an. Der aus Serbien stammende Physiker Michael Pupin, damals an der Columbia University in New York, ließ um 1900 das Verfahren patentieren, das die Bedingung herstellte: In festen Abständen eingeschleifte Spulen hoben den Induktivitätsbelag so weit an, dass die Gleichung wieder aufging. Ohne diese Pupinspulen wäre die Fernsprechtechnik über kurze Strecken nicht hinausgekommen.

Für die Wohnraumtechnik ist das Geschichte und trotzdem lehrreich: Es zeigt, dass die vier Beläge ein System bilden. Wer einen davon verändert, verschiebt auch das Verhalten der anderen.

Häufiges Missverständnis

Die populäre Erzählung lautet, geflochtene oder fein verwobene Lautsprecherkabel klängen besser, weil sie induktivitätsarm sind. Der Ausgangspunkt ist richtig: Verflechtung senkt den mittleren Leiterabstand und damit den Induktivitätsbelag, und die Induktivität ist bei Lautsprecherleitungen die einzige Blindgröße, die überhaupt etwas tut.

Zwei Dinge kippen den Schluss trotzdem. Erstens die Größenordnung — der Effekt, um den es geht, liegt bei üblichen Längen im Bereich weniger Hundertstel Dezibel und damit weit unter dem, was der Leiterwiderstand derselben Leitung anrichtet. Wer die Hörbarkeit sucht, findet sie beim Querschnitt, nicht bei der Verseilung. Zweitens der Preis dafür: Die gleiche Verflechtung, die den Induktivitätsbelag senkt, hebt zwangsläufig den Kapazitätsbelag. Manche Verstärkerschaltungen reagieren auf stark kapazitive Lasten mit verschlechterter Stabilitätsreserve — aus einem Kabel, das rechnerisch minimal besser ist, wird dann ein Kabel, das dem Verstärker nicht bekommt.

Der zweite Irrtum ist eine Verwechslung der Bezugsgröße. Der Induktivitätsbelag der Leitung wird gern gegen den Nennwiderstand des Lautsprechers gehalten. Interessanter ist der Vergleich mit der Induktivität, die im Lautsprecher selbst sitzt: Die Schwingspule eines Tieftöners liegt in der Größenordnung eines halben Millihenry und damit rund hundertmal über dem, was zehn Meter Kabel beisteuern. Diese Induktivität ist Teil der Konstruktion und wird von der Frequenzweiche eingerechnet.

Nicht zu verwechseln mit

• Kapazitätsbelag: Der Gegenspieler im selben Modell, angegeben in Pikofarad pro Meter. Er wirkt quer statt längs und wird dort wichtig, wo die Quelle hochohmig ist — also genau umgekehrt zur Induktivität, die an niederohmigen Lasten zählt.
• Widerstandsbelag: Der Verlust im Kupfer selbst, in Ohm pro Meter. Er hängt am Querschnitt und ist bei Lautsprecherleitungen die bestimmende Größe. Auf der AVITECT-Seite zu Leiterquerschnitt und AWG steht, wie er sich berechnet.
• Wellenwiderstand: Kein Belag, sondern ein Verhältnis aus zweien — und deshalb längenunabhängig. Der Induktivitätsbelag geht in ihn ein, ist aber nicht dasselbe.
• Schwingspuleninduktivität: Eine Eigenschaft des Lautsprecherchassis und keine der Leitung. Sie liegt um Größenordnungen höher und ist in der Auslegung der Frequenzweiche bereits enthalten.

Aus der Praxis

Ein Heimkino bekommt seine Endstufen in den Technikraum, die Deckenlautsprecher der Höhenebene hängen achtzehn Meter entfernt. Die Frage, die im Gespräch zuerst kommt, ist meist die nach dem Kabel — und sie ist die zweite, nicht die erste.

Die Leitung zieht einen Anteil ab. Wie groß darf er sein, den sie von der Verstärkerleistung und von der Kontrolle über das Chassis abzieht? Erst wenn diese Grenze steht, ergibt sich daraus ein Mindestquerschnitt, und erst danach wird ein Kabel ausgesucht. Achtzehn Meter bedeuten sechsunddreißig Meter Leiterlänge; bei 2,5 mm² sind das rund 0,26 Ohm, bei 4 mm² noch rund 0,16 Ohm. Gegen einen Vierohm-Deckenlautsprecher ist der Unterschied zwischen beiden hörbar größer als alles, was eine besondere Litzenführung an Induktivität einsparen könnte.

Die Alternative bleibt in der Konzeptphase auf dem Tisch: Endstufen näher an die Lautsprecher setzen und die Länge auf die Line-Ebene verlagern, wo sie unkritisch ist. Ob das geht, entscheidet die Frage nach Stromversorgung, Wärme und Zugänglichkeit am neuen Standort — und nicht das Kabel.

Verknüpfte Inhalte

Die Gleichungen dieser Seite und die Umrechnungen zwischen den Belägen, dem Wellenwiderstand und der Ausbreitungsgeschwindigkeit stehen gesammelt und durchgerechnet bei den Leitungskenngrößen.

Der dritte Blindbelag steht beim Kapazitätsbelag, das Zusammenspiel aller vier beim Wellenwiderstand und die Umrechnung auf die Laufzeit beim Verkürzungsfaktor. Wie der Widerstandsbelag aus dem Querschnitt folgt, klärt Leiterquerschnitt und AWG; warum er über den Dämpfungsfaktor auf die Kontrolle des Chassis wirkt, der zugehörige Eintrag. Für die Bauformen, an denen sich beide Beläge am deutlichsten unterscheiden, sind Koaxialkabel und Twisted Pair die Anschauung.

Quellen

Die Beschreibung der Leitung über vier längenbezogene Beläge und die Bedingung für die verzerrungsfreie Leitung folgen der Leitungstheorie und sind Lehrbuchwissen; eine Primärfundstelle wurde nicht eingesehen. Alle Zahlenwerte dieser Seite sind aus den genannten Formeln gerechnet und nicht gemessen oder aus Datenblättern übernommen; die zugrunde liegenden Verkürzungsfaktoren stammen aus dem bereits belegten AVITECT-Eintrag zum Koaxialkabel. Die Schleifenwiderstände sind durchgehend mit dem spezifischen Widerstand von Kupfer (0,0178 Ω·mm²/m) gerechnet und liegen damit unter den Höchstwerten der Leiternorm; die Rechenbasis für die Auslegung legt die Seite zum Schleifenwiderstand fest. Die Verlustfaktoren der Isolierstoffe und die Größenordnung der Schwingspuleninduktivität sind über Fachdarstellungen erhoben und stehen unter Vorbehalt.