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Signalwege
Schleifenwiderstand einer Leitung
Wie berechnet man den Widerstand einer Kupferleitung zwischen zwei Punkten — und warum zählt dabei die doppelte, nicht die einfache Länge?
Eingangsgrößen
Jede Kupferleitung setzt dem Strom einen Widerstand entgegen, der von Werkstoff, Länge und Querschnitt abhängt: R = ρ · l / A. Führt die Leitung den Strom nicht nur hin, sondern über eine zweite Ader auch wieder zurück — der Normalfall bei Lautsprecher-, Bus- und Gleichstromversorgungsleitungen —, zählt die doppelte einfache Länge. Diese Seite zeigt, warum das so ist, mit welchen Werten gerechnet wird und wie groß der Fehler ausfällt, wenn die Rückleitung vergessen wird.
Jedes Kabel bremst den Strom ein kleines bisschen, so wie ein langer Gartenschlauch dem Wasser mehr Widerwillen entgegensetzt als ein kurzer. Bei Strom kommt eine Besonderheit dazu: Er braucht immer einen Weg zurück zur Quelle. Ein zehn Meter langes Kabel ist deshalb elektrisch zwanzig Meter Kupfer — hin und zurück. Wer das beim Rechnen vergisst, hält sein Kabel für halb so bremsend, wie es wirklich ist. Genau dieser eine Zahlendreher ist der häufigste Fehler bei dieser Rechnung.
Natürliche Erklärung
Der Zusammenhang aus Werkstoff, Länge und Querschnitt geht auf Georg Simon Ohm zurück, der ihn 1827 in Berlin veröffentlichte und später in Nürnberg und München lehrte — ausführlicher dazu und zur Bedeutung für die Lautsprecherleitung bei Lautsprecherleitungen als Leistungsweg. Der Widerstand wächst mit der Länge, weil der Strom durch mehr Material muss, und sinkt mit dem Querschnitt, weil ihm mehr Fläche zum Fließen zur Verfügung steht.
Die Ergänzung, die bei dieser Formel regelmäßig übersehen wird, ist keine physikalische Feinheit, sondern eine Selbstverständlichkeit: Strom fließt in einem geschlossenen Kreis. Was zur Quelle hin fließt, muss über eine zweite Ader auch wieder zurück. Zehn Meter Kabelweg sind daher zwanzig Meter Kupfer im Stromkreis — und genau diese zwanzig Meter gehören in die Formel, nicht die zehn.
Für den spezifischen Widerstand ρ von Kupfer gibt es einen historischen Referenzwert: den International Annealed Copper Standard, den die IEC 1913 übernahm. Er setzt 100-Prozent-IACS-Kupfer bei 20 °C mit 0,017241 Ω·mm²/m an. Für die Planung wird dieser idealisierte Wert aber nicht direkt verwendet — reale, genormte Leiter liegen darüber, weil Litzenaufbau, Verseilung und Fertigungstoleranz Reserve brauchen. IEC 60228:2004 (Edition 3.0) gibt deshalb keinen ρ-Wert, sondern direkt den Widerstandsbelag R' je Nennquerschnitt als Höchstwert vor, bei 20 °C und für verschiedene Leiterklassen gestaffelt. Lautsprecher-, Bus- und Versorgungsleitungen sind feindrähtig, also Klasse 5. Die Rechnung mit diesen Höchstwerten ist dieselbe Methodik, die Lautsprecherleitungen als Leistungsweg bereits verwendet — diese Seite führt sie als eigenständige Formel und erweitert sie um weitere Längen.
| Querschnitt | Widerstandsbelag R' (IEC 60228:2004, Klasse 5, 20 °C) |
|---|---|
| 0,75 mm² | 26,0 Ω/km |
| 1,0 mm² | 19,5 Ω/km |
| 1,5 mm² | 13,3 Ω/km |
| 2,5 mm² | 7,98 Ω/km |
| 4 mm² | 4,95 Ω/km |
| 6 mm² | 3,30 Ω/km |
Eingangsgrößen und Einheiten
| Symbol | Größe | Einheit |
|---|---|---|
| ρ | spezifischer Widerstand des Leiterwerkstoffs | Ω·mm²/m |
| R' | Widerstandsbelag (Norm-Höchstwert je Nennquerschnitt) | Ω/km |
| l | einfache Länge der Leitung (eine Richtung) | m |
| A | Leiterquerschnitt | mm² |
| R_Schleife | Widerstand der gesamten Schleife (Hin- und Rückleiter) | Ω |
Die einfache Länge l ist die Strecke, die auf dem Grundriss gemessen wird — vom Verstärker- oder Verteilerplatz zum Verbraucher. Sie ist NICHT der Wert, der in die Formel eingesetzt wird; dort steht 2l.
Gültiger Bereich und Annahmen
Die Formel gilt für Gleichstrom uneingeschränkt und für Wechselstrom bei Audiofrequenzen praktisch ebenso, weil Skin-Effekt und induktive Anteile bei den hier üblichen Querschnitten und Frequenzen eine Größenordnung unter dem ohmschen Widerstand liegen — belegt für Lautsprecherleitungen bei Lautsprecherleitungen als Leistungsweg. Bei hochfrequenten Signalleitungen (Daten, Video, HF) gilt das nicht mehr; dort zählen Wellenwiderstand und Einfügedämpfung statt des reinen Gleichstromwiderstands.
Angenommen wird außerdem, dass Hin- und Rückleiter denselben Querschnitt haben — bei zweiadrigen Leitungen der Normalfall. Läuft der Rückweg über eine gemeinsame Sammelschiene, eine Erdung oder einen Schirm mit anderem Querschnitt, muss dessen Widerstand gesondert berechnet und addiert werden; die einfache Verdopplung gilt dann nicht mehr.
Grenzen
Höchstwerte sind keine Istwerte. Ein konkretes Kabel liegt unter dem Normwert; wie weit, sagt nur sein Datenblatt. Für eine Auslegung mit Reserve ist das unkritisch — der Höchstwert ist die sichere, konservative Annahme.
Die Angabe gilt bei 20 °C. Kupfer hat einen Temperaturkoeffizienten von rund 0,00393 pro Kelvin. Eine Leitung im warmen Technikraum oder im sommerlichen Außenschacht hat mehr Widerstand als derselbe Querschnitt im Katalog: Bei 35 °C statt 20 °C steigt R um rund 5,9 Prozent (15 K · 0,00393/K ≈ 0,059). Für kurze Strecken mit ohnehin großer Reserve ist das vernachlässigbar; bei knapp ausgelegten, langen Strecken nicht.
Übergangswiderstände fehlen. Klemmen, Stecker, Lötstellen und Crimpverbindungen addieren jeweils einen kleinen, aber nicht null Widerstand. Bei sauber ausgeführten Verbindungen ist das gegenüber dem Leitungswiderstand meist vernachlässigbar; bei korrodierten oder locker sitzenden Kontakten kann es die dominante Fehlerquelle werden — und ist mit dieser Formel nicht erfassbar.
Kupferbeschichtetes Aluminium rechnet nicht mit denselben Werten. CCA hat bei gleichem Nennquerschnitt einen deutlich höheren Widerstand als Vollkupfer; die Tabelle oben gilt nur für Kupfer, siehe CCA.
Rechenbeispiel
Der häufigste Fehler, vorgerechnet. Eine Leitung führt 15 m einfache Länge, Querschnitt 2,5 mm² (R' = 7,98 Ω/km):
text Falsch (nur einfache Länge): R = 7,98 Ω/km · 0,015 km = 0,1197 Ω ≈ 0,12 Ω
Richtig (Schleife, doppelte Länge): R_Schleife = 7,98 Ω/km · 2 · 0,015 km = 0,2394 Ω ≈ 0,24 Ω
Der Unterschied ist keine Rundung — er ist exakt der Faktor 2. Wer die falsche Zahl in eine Spannungsabfall- oder Dämpfungsfaktor-Rechnung einsetzt, unterschätzt den Effekt um die Hälfte.
Schleifenwiderstand über Länge und Querschnitt. Aus dem Widerstandsbelag ergeben sich für gängige Querschnitte diese Schleifenwiderstände bei verschiedenen einfachen Längen:
| Querschnitt | R' | 10 m | 20 m | 30 m | 50 m |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,75 mm² | 26,0 Ω/km | 0,52 Ω | 1,04 Ω | 1,56 Ω | 2,60 Ω |
| 1,5 mm² | 13,3 Ω/km | 0,27 Ω | 0,53 Ω | 0,80 Ω | 1,33 Ω |
| 2,5 mm² | 7,98 Ω/km | 0,16 Ω | 0,32 Ω | 0,48 Ω | 0,80 Ω |
| 4 mm² | 4,95 Ω/km | 0,10 Ω | 0,20 Ω | 0,30 Ω | 0,50 Ω |
| 6 mm² | 3,30 Ω/km | 0,066 Ω | 0,13 Ω | 0,20 Ω | 0,33 Ω |
Die 10-m-Spalte deckt sich mit der Tabelle auf Lautsprecherleitungen als Leistungsweg; die übrigen Spalten zeigen, dass sich der Widerstand mit der Länge linear fortschreibt — 20 m Schleifenwiderstand ist exakt das Doppelte von 10 m, 30 m das Dreifache.
Umgekehrt gerechnet: Welcher Querschnitt für welche Grenze? Steht eine Höchstgrenze für den Schleifenwiderstand fest (aus Dämpfungsfaktor-, Pegel- oder Spannungsabfallrechnung, siehe Spannungsabfall auf Gleichstromleitungen), lässt sich die Formel nach A auflösen:
text A = ρ · 2l / R_Schleife,max
Für eine Strecke von 25 m einfacher Länge und eine Grenze von höchstens 0,25 Ω Schleifenwiderstand: Mit ρ = 0,0178 Ω·mm²/m als grobe Näherung ergäbe sich A = 0,0178 · 50 / 0,25 = 3,56 mm² — in der Praxis wird stattdessen die Normtabelle rückwärts gelesen: 2,5 mm² liefert bei 25 m 0,40 Ω (zu viel), 4 mm² liefert 0,25 Ω (genau an der Grenze) — die Wahl fällt auf 4 mm² mit etwas Reserve.
Verknüpfte Inhalte
Warum der Schleifenwiderstand bei Lautsprecherleitungen die zentrale Auslegungsgröße ist, Pegelverlust und Dämpfungsfaktor eingeschlossen, steht bei Lautsprecherleitungen als Leistungsweg. Was die Lautsprecherimpedanz ist, gegen die der Schleifenwiderstand antritt, erklärt Impedanz. Wie Quadratmillimeter und AWG zusammenhängen, steht bei Leiterquerschnitt und AWG, warum Litze und nicht Massivleiter verwendet wird, bei Massivleiter und Litze, und warum Kupferbeschichtetes Aluminium hier schlechter abschneidet, bei CCA. Angewandt auf Gleichstromversorgungen — 12/24/48 V, Busleitungen, Kameraspeisung — steht der Schleifenwiderstand im Zentrum von Spannungsabfall auf Gleichstromleitungen. Die spiegelbildliche Rechnung für Glasfaserstrecken, wo statt Kupfer Licht gedämpft wird, steht beim Optischen Leistungsbudget.
Quellen
Die Höchstwerte des Leiterwiderstands je Nennquerschnitt stammen aus IEC 60228:2004 (Edition 3.0), wiedergegeben in einer Klassifizierungsübersicht des Kabelherstellers Nexans vom Februar 2021 — dieselbe Quelle wie bei Lautsprecherleitungen als Leistungsweg. Der idealisierte spezifische Widerstand von Kupfer (International Annealed Copper Standard, 0,017241 Ω·mm²/m) dient nur der Einordnung, nicht der Berechnung. Alle Schleifenwiderstände in den Tabellen sind aus diesen Höchstwerten selbst berechnet.