Biegewellengeschwindigkeit dünner Platten

Luftschall läuft bei jeder Frequenz gleich schnell, rund 343 m/s. In einer Platte gilt das nicht: Dort hängt die Geschwindigkeit der Biegewelle von der Frequenz ab, und diese eine Eigenschaft entscheidet darüber, wie gut ein Bauteil dämmt. Diese Seite rechnet die Geschwindigkeit für eine gegebene Platte und eine gegebene Frequenz aus — und zeigt, warum daraus zwangsläufig ein Frequenzbereich folgt, in dem die Wand den Schall fast weiterreicht.

Natürliche Erklärung

Warum wird eine Biegewelle mit steigender Frequenz schneller? Der Grund liegt in der Krümmung. Bei hoher Frequenz ist die Welle kurz, und eine kurze Welle biegt die Platte auf gleicher Auslenkung viel stärker als eine lange. Je stärker die Krümmung, desto größer die Rückstellkraft aus der Biegesteifigkeit — und eine größere Rückstellkraft treibt die Welle schneller voran. Bei tiefen Frequenzen liegt die Platte in der langen Welle fast flach, spürt ihre Steifigkeit kaum und wird im Wesentlichen von ihrer eigenen Trägheit gebremst. Genau diese beiden Größen stehen im Bruch: die Steifigkeit B' oben als Antrieb, die Masse m'' unten als Bremse.

Die vierte Wurzel wirkt dabei stark dämpfend auf beide. Eine Platte, die viermal so steif ist, läuft nur um den Faktor √2 schneller. Wer die Biegewellengeschwindigkeit spürbar ändern will, muss das Verhältnis von Steifigkeit zu Masse also erheblich verändern.

Dispersion: eine Geschwindigkeit je Frequenz

Die Frequenzabhängigkeit ist der eigentliche Inhalt dieser Formel. c_B wächst mit der Wurzel aus f, und daraus folgt eine sehr handliche Merkregel:

text eine Oktave höher (f · 2) → c_B · √2 = 1,41-fach zwei Oktaven höher (f · 4) → c_B · 2 zehn Oktaven höher → c_B · 32

Eine Welle, die im Tiefton kriecht, ist im Hochton also erheblich schneller. Über den Hörbereich von 20 Hz bis 20 kHz — knapp zehn Oktaven — ändert sich die Geschwindigkeit derselben Platte um mehr als das Dreißigfache. Eine einzelne Zahl für „die Biegewellengeschwindigkeit einer Gipskartonplatte" gibt es deshalb nicht; ohne Frequenz ist die Angabe leer.

Diese Eigenschaft heißt Dispersion und trennt Körperschall in Platten sauber vom Luftschall. Auch die anderen Wellenarten im Festkörper — Dehnwelle und Schubwelle — laufen mit einer festen Geschwindigkeit; die Biegewelle ist die Ausnahme, und sie ist zugleich die einzige, die nennenswert an die Luft koppelt. Beides zusammen macht sie zur entscheidenden Größe im Schallschutz.

Warum daraus die Koinzidenz folgt

Der Luftschall hält bei rund 343 m/s eine waagerechte Linie, während die Biegewelle bei null anfängt und mit der Frequenz immer weiter steigt. Eine solche Kurve kreuzt eine Waagerechte genau einmal: Bei tiefen Frequenzen ist die Biegewelle langsamer, bei hohen schneller — dazwischen liegt genau eine Frequenz, bei der beide gleich schnell sind. Diese Frequenz ist die Koinzidenzgrenzfrequenz, und ab dort bricht die Schalldämmung ein, weil das Wellenmuster auf der Plattenoberfläche und das der auftreffenden Luftschallwelle zusammen passen. Was dabei physikalisch geschieht und wie tief der Einbruch ausfällt, steht beim Koinzidenzeffekt; die Formel für f_c selbst und die Biegesteifigkeit B' stehen auf der Formelseite dazu.

Für diese Seite zählt die Umkehrung: Die Grenzfrequenz ist der Punkt, an dem die hier gerechnete Kurve eine bestimmte Höhe erreicht — eine abgelesene Stelle auf einer Geschwindigkeitskurve. Wer c_B über der Frequenz aufträgt und bei 343 m/s eine Waagerechte einzeichnet, liest f_c am Schnittpunkt ab. Und weil die Kurve mit der Wurzel steigt, verschiebt jede Änderung, die c_B anhebt, diesen Schnittpunkt nach links — also zu tieferen Frequenzen, mitten in den Bereich, in dem Sprache ihre Energie hat.

Genau das macht die Plattendicke. Verdoppelt man sie, verachtfacht sich B', während m'' sich nur verdoppelt — der Bruch unter der Wurzel wächst also um das Vierfache, und die vierte Wurzel daraus ist √2. Die dickere Platte läuft bei jeder Frequenz um das 1,41-Fache schneller und erreicht die 343 m/s deshalb eine Oktave früher. Dicke und Frequenz wirken in dieser Formel gleichwertig: Dieselbe Geschwindigkeit stellt sich in der doppelt so dicken Platte bei der halben Frequenz ein. Die Faustregel „doppelte Dicke gleich eine Oktave tiefer" ist damit keine Erfahrungssache; sie steht in dieser einen Wurzel.

Ein zweiter Vergleich: die Wellenlänge

Neben der Geschwindigkeit lohnt der Blick auf die Wellenlänge, weil an ihr hängt, wie gut die Platte abstrahlt. Weil λ_B nichts anderes ist als c_B geteilt durch dieselbe Frequenz, überträgt sich der Schnittpunkt unmittelbar: Unterhalb der Grenzfrequenz ist die Biegewelle kürzer als die Luftschallwelle derselben Frequenz, oberhalb ist sie länger, und genau bei f_c sind beide gleich lang. Was dieser Längenvergleich für die Abstrahlung bedeutet — eine kurze Biegewelle schiebt die Luft kaum weg, weil unmittelbar daneben schon die Gegenbewegung sitzt —, steht bei den Biegewellen. Die Koinzidenz lässt sich damit gleichwertig über die Geschwindigkeiten oder über die Wellenlängen beschreiben.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die flächenbezogene Masse ist dieselbe Größe wie im Massegesetz und steht dort im Glossar erklärt. Die Biegesteifigkeit B' wird je Meter Plattenbreite angegeben und hat deshalb die Einheit Newtonmeter; wie sie aus Elastizitätsmodul, Dicke und Querkontraktionszahl folgt, rechnet die Koinzidenzgrenzfrequenz vor. Für diese Seite ist B' eine Eingangsgröße und wird von dort übernommen.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel beschreibt eine dünne Platte: Die Biegewellenlänge muss groß gegen die Plattendicke bleiben. Weil λ_B mit steigender Frequenz kürzer wird, ist das eine Grenze nach oben — die Annahme hält im Tiefton mühelos und läuft im Hochton aus. Für 12,5 mm Gipskarton erreicht die Biegewellenlänge bei rund 8 kHz das Sechsfache der Dicke; darüber mischen sich Schubverformung und Rotationsträgheit ein, die in der einfachen Biegetheorie nicht vorkommen, und die Rechnung gibt zu hohe Werte aus.

Homogen muss die Platte sein. Für einlagige Bauteile aus einem Werkstoff stimmt das. Bei Sandwichplatten, Wabenkernen und mehrlagigen Verbunden folgt B' nicht mehr aus Werkstoff und Dicke, und bei Lochplatten senken die Löcher Steifigkeit und Masse in verschiedenem Maß. In beiden Fällen ist die Formel als solche weiterhin richtig — nur der Wert von B' gehört dann gemessen oder aus der Verbundtheorie hergeleitet, und ohne ihn liefert die Rechnung nichts.

Unendlich ausgedehnt ist die Platte in der Rechnung außerdem. Rand, Einspannung und die Eigenmoden des konkreten Bauteils kommen nicht vor. Bei tiefen Frequenzen, wo auf eine reale Wand nur wenige halbe Wellenlängen passen, beschreibt die Formel deshalb eher die Tendenz als das Verhalten der einzelnen Platte.

Und sie gilt je Laufrichtung einmal. Gipskarton, OSB und Sperrholz sind richtungsabhängig steif, haben also je nach Laufrichtung der Biegewelle ein anderes B' und damit zwei Geschwindigkeiten. Wie weit die beiden auseinanderliegen und was daraus für die Grenzfrequenz folgt, steht im Abschnitt „Zwei Richtungen, zwei Grenzfrequenzen" der Koinzidenzgrenzfrequenz.

Grenzen

Ohne Frequenzangabe ist das Ergebnis wertlos. Der häufigste Fehler im Umgang mit dieser Größe ist die Tabellenzahl: „Biegewellen laufen in Gipskarton mit 200 m/s". Diese Angabe ist nur zusammen mit der Frequenz sinnvoll, bei der sie gilt — eine Oktave daneben stimmt sie um 41 Prozent nicht mehr. Wo eine solche Zahl ohne Frequenz auftaucht, ist meist stillschweigend die Grenzfrequenz gemeint, bei der c_B gerade 343 m/s beträgt.

Die Amplitude bleibt außen vor. Die Formel beschreibt, wie schnell die Welle läuft, und nicht, wie viel Energie am anderen Ende ankommt. Dafür ist die innere Dämpfung des Werkstoffs zuständig, die im Verlustfaktor steht. Zwei Platten mit identischem c_B können sich in der Dämpfung deutlich unterscheiden — Gips gegen Stahlblech ist der Fall, der im Trockenbau vorkommt. Um wie viel, steht hier nicht: Belegte Verlustfaktoren dieser beiden Werkstoffe liegen bisher nicht vor.

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit fallen auseinander. Weil die Geschwindigkeit von der Frequenz abhängt, läuft ein Impuls anders als ein Dauerton: Seine Energie wandert mit c_gr = 2·c_B, und seine Bestandteile ziehen sich beim Laufen auseinander, weil die hohen Anteile vorauseilen. Ein Trittschallstoß kommt deshalb im Nachbarraum verschmiert an, mit den Höhen zuerst. Für Koinzidenz und Abstrahlung zählt trotzdem c_B.

Der Werkstoff ist als frequenzunabhängig angenommen. B' steckt in der Formel als feste Zahl. Bei Gips-, Holz- und Kunststoffplatten steigt der Elastizitätsmodul zu hohen Frequenzen hin an, und c_B liegt dann über dem gerechneten Wert. Um wie viel, hängt am Werkstoff und ist hier nicht beziffert.

Rechenbeispiel

Teil 1 — eine Gipskartonplatte, Schritt für Schritt. Für eine 12,5 mm starke Platte mit den Kennwerten der Koinzidenzseite (E = 2,5 · 10⁹ Pa, ρ = 750 kg/m³, ν = 0,30) steht dort bereits: m'' = 9,375 kg/m² und B' = 447,1 N·m. Gesucht ist die Geschwindigkeit bei 1.000 Hz.

text B' / m'' = 447,1 / 9,375 = 47,69 m⁴/s² ⁴√( 47,69 ) = √( √47,69 ) = √6,906 = 2,628 m/√s

√( 2π · 1.000 ) = √6.283 = 79,27 1/√s

c_B = 2,628 · 79,27 = 208,3 m/s λ_B = 208,3 / 1.000 = 0,208 m

Zum Vergleich: Die Luftschallwelle ist bei 1.000 Hz 0,343 m lang und läuft mit 343 m/s. Die Platte ist bei dieser Frequenz also deutlich langsamer als die Luft.

Teil 2 — dieselbe Platte über den Hörbereich. Der Plattenfaktor 2,628 m/√s bleibt stehen, nur die Frequenzwurzel ändert sich:

text f [Hz] c_B [m/s] λ_B [m] λ_Luft [m] 63 52,3 0,830 5,44 125 73,6 0,589 2,74 250 104,2 0,417 1,37 500 147,3 0,295 0,686 1.000 208,3 0,208 0,343 2.000 294,6 0,147 0,172 2.711 343,0 0,127 0,127 4.000 416,6 0,104 0,0858

Die Zeile bei 2.711 Hz ist der Schnittpunkt: Dort läuft die Biegewelle genau so schnell wie der Luftschall, und beide Wellenlängen sind gleich lang. Das ist die Koinzidenzgrenzfrequenz dieser Platte — dieselbe Zahl, die die Koinzidenzgrenzfrequenz auf direktem Weg aus B' und m'' rechnet. Unterhalb dieser Zeile ist die Biegewelle langsamer und kürzer als die Luftschallwelle, oberhalb schneller und länger; genau an dieser Kante kippt das Abstrahlverhalten.

Teil 3 — die doppelte Dicke. Dieselbe Rechnung für 25 mm Gipskarton aus demselben Werkstoff. Dort ist m'' = 18,75 kg/m² und B' = 3.577 N·m, der Plattenfaktor also ⁴√(190,8) = 3,716 m/√s — genau das √2-Fache:

text f [Hz] c_B 12,5 mm c_B 25 mm 125 73,6 104,1 250 104,2 147,3 500 147,3 208,3 1.000 208,3 294,6 2.000 294,6 416,6

Die rechte Spalte ist die linke, um eine Zeile nach oben verschoben: Was die dünne Platte bei 250 Hz tut, tut die dicke schon bei 125 Hz. Die 25-mm-Platte erreicht die 343 m/s deshalb bereits bei 1.356 Hz statt bei 2.711 Hz — eine Oktave tiefer, mitten im Bereich der Sprachverständlichkeit. Die Planungsantwort darauf heißt: mehrere dünne Lagen, geschraubt statt verklebt. Vollflächig verklebte Lagen biegen sich gemeinsam und ergeben rechnerisch wieder die dicke Platte.

Teil 4 — eine Betondecke zum Vergleich. Eine 200 mm starke Decke (E = 3,0 · 10¹⁰ Pa, ρ = 2.300 kg/m³, ν = 0,20) kommt auf m'' = 460 kg/m² und B' = 2,08 · 10⁷ N·m, also auf einen Plattenfaktor von ⁴√(45.289) = 14,59 m/√s. Bei 100 Hz sind das:

text c_B = 14,59 · √( 2π · 100 ) = 14,59 · 25,07 = 365,7 m/s λ_B = 3,66 m gegenüber λ_Luft = 3,43 m

Die Decke ist damit schon bei 100 Hz schneller als die Luft; ihre Grenzfrequenz liegt bei rund 88 Hz. Praktisch das gesamte Hörspektrum liegt oberhalb davon, und die Decke strahlt in diesem ganzen Bereich wirksam ab. Ihre Dämmwirkung kommt also allein aus der Masse, die den Schall gar nicht erst in Bewegung setzt — die Biegewelle selbst läuft in einer Betondecke sehr schnell.

Verknüpfte Inhalte

Was Biegewellen sind, warum sie die einzige Wellenart mit nennenswerter Kopplung an die Luft sind und wie stark die Plattendicke auf die Biegesteifigkeit durchschlägt, steht im Eintrag zu den Biegewellen — dort die Begründung, hier die Rechnung. Die Frequenz, bei der c_B den Luftschall einholt, rechnet die Koinzidenzgrenzfrequenz; dort steht auch die Biegesteifigkeit B'. Was beim Einholen physikalisch geschieht und wie die Dämmkurve dabei aussieht, erklärt der Koinzidenzeffekt. Die Wellenlänge aus Geschwindigkeit und Frequenz behandelt die Wellenlänge allgemein, die feste Geschwindigkeit des Luftschalls die Schallgeschwindigkeit. Wie viel eine Wand über ihre Masse zurückhält, rechnet das Massegesetz, und dieselbe Plattenbewegung in gewollter Absicht nutzen der Plattenschwinger und der Flächenwandler. Wie stark Biegewellen beim Laufen Energie verlieren, beschreibt der Verlustfaktor; welche Wege Körperschall im Gebäude nimmt, der Körperschall.

Quellen

Die Dispersionsbeziehung der Biegewelle, das Verhältnis von Phasen- zu Gruppengeschwindigkeit und die Bedingung der dünnen Platte sind Standard der technischen Akustik und folgen der Darstellung bei Cremer und Heckl sowie bei Möser; die zugrunde liegende Plattenbiegetheorie stammt aus der Elastizitätstheorie des 19. Jahrhunderts.