Biegewellen und Biegesteifigkeit

Was sind Biegewellen in einem Bauteil, und warum hängt von ihnen ab, wie gut eine Wand dämmt?

Eine Biegewelle ist eine Welle in einer Platte oder Schale, bei der sich das Bauteil quer zu seiner Fläche durchbiegt — die Oberfläche bewegt sich also senkrecht zu sich selbst. Wie schnell diese Welle läuft, hängt von der Frequenz ab und von der Biegesteifigkeit des Bauteils, und aus dieser Abhängigkeit folgt fast alles, was den Schallschutz im Trockenbau schwierig macht.

Wenn Du ein Lineal an einem Ende anstößt, läuft eine Wellenbewegung darüber — es biegt sich, statt sich zusammenzudrücken. Genau das machen auch Wände und Decken, wenn Schall auf sie trifft, und nur diese Biegebewegung schiebt auf der anderen Seite überhaupt Luft an. Das Besondere daran: Hohe Töne laufen in der Platte schneller als tiefe. In der Luft ist das nicht so, dort sind alle Töne gleich schnell. Und je dicker eine Platte ist, desto schwerer lässt sie sich biegen — was gut klingt, aber beim Schallschutz nach hinten losgehen kann.

Ausführliche Erklärung

In einem festen Körper kann Schall auf mehreren Wegen laufen. Die Dehnwelle drückt das Material längs ihrer Ausbreitungsrichtung abwechselnd zusammen und auseinander, die Schubwelle verschiebt benachbarte Schichten seitlich gegeneinander. Beide sind schnell und laufen mit einer festen Geschwindigkeit. Für die Akustik eines Gebäudes sind sie trotzdem zweitrangig, denn sie bewegen die Oberfläche kaum senkrecht zu sich selbst — und was die Oberfläche nicht senkrecht bewegt, schiebt keine Luft an.

Die Biegewelle tut genau das. Sie ist keine reine Wellenart: Die Platte krümmt sich, eine Seite wird dabei gestaucht und die andere gedehnt, und die neutrale Faser dazwischen — die Mittelebene, die weder das eine noch das andere erfährt — wandert auf und ab. Weitergetragen wird die Auslenkung von den Querkräften, die diese Krümmung erzeugt. Deshalb ist sie die Wellenart, über die ein Bauteil Luftschall abstrahlt und über die Luftschall es umgekehrt anregt. Wenn im Zusammenhang mit Körperschall von der Schwingung einer Wand die Rede ist, sind fast immer Biegewellen gemeint.

Ihre Geschwindigkeit hängt von der Frequenz ab

Luftschall läuft mit rund 343 m/s, und zwar bei jeder Frequenz gleich schnell. Biegewellen nicht. Ihre Geschwindigkeit steigt mit der Wurzel aus der Frequenz — eine Oktave höher heißt rund das 1,4-Fache. Woraus sie sich im Einzelnen ergibt und wie schnell eine bestimmte Platte bei einer bestimmten Frequenz ist, rechnet die Biegewellengeschwindigkeit dünner Platten; in die Rechnung gehen die Biegesteifigkeit der Platte, ihre flächenbezogene Masse und die Frequenz ein.

Der Grund für die Frequenzabhängigkeit ist anschaulich: Bei hoher Frequenz ist die Welle kurz, und eine kurze Welle krümmt die Platte auf gleicher Auslenkung viel stärker als eine lange. Je stärker die Krümmung, desto größer die rückstellende Kraft aus der Biegesteifigkeit — und eine stärkere Rückstellkraft treibt die Welle schneller voran. Bei tiefen Frequenzen liegt die Platte fast flach in der Welle, spürt ihre Steifigkeit kaum und wird von ihrer eigenen Trägheit gebremst.

Diese eine Eigenschaft erklärt den Koinzidenzeffekt vollständig. Weil die Biegewelle bei tiefen Frequenzen langsamer ist als Luftschall und irgendwo oberhalb schneller wird, gibt es genau eine Frequenz, bei der sie ihn einholt — und ab dort bricht die Dämmung des Bauteils ein. Wären Biegewellen nicht dispersiv, gäbe es diesen Einbruch nicht.

Die Biegesteifigkeit und die dritte Potenz

Die Biegesteifigkeit B' ist keine Materialkonstante, sondern eine Eigenschaft aus Material und Geometrie. Drei Größen bestimmen sie: der Elastizitätsmodul des Werkstoffs, dessen Querkontraktionszahl und die Dicke der Platte. Die Gleichung dazu steht bei der Koinzidenzgrenzfrequenz, weil sie dort als Zwischenschritt gebraucht wird.

Das Entscheidende daran steht in einem Exponenten. Die Dicke geht mit der dritten Potenz ein, die flächenbezogene Masse dagegen nur linear. Verdoppelt man also die Plattendicke, verachtfacht sich die Biegesteifigkeit, während sich das Gewicht je Quadratmeter nur verdoppelt. Die Biegewelle läuft in der doppelt so dicken Platte deshalb bei jeder Frequenz um rund das 1,4-Fache schneller — und die Koinzidenzgrenzfrequenz rutscht um eine ganze Oktave nach unten, bei üblichen Beplankungsdicken also mitten in den Sprachbereich.

Daraus folgt der Unterschied, an dem im Trockenbau alles hängt: Zwei lose aufeinanderliegende Lagen von je 12,5 mm haben zusammen die doppelte Biegesteifigkeit einer Einzellage, weil jede für sich biegt. Verklebt man dieselben Lagen starr zu einer 25-mm-Scheibe, biegen sie gemeinsam und die Steifigkeit ist achtfach — vier Mal so hoch wie im getrennten Fall. Die Masse ist in beiden Fällen dieselbe. Deshalb beplankt man mehrlagig und versetzt, statt dicker zu bauen, und deshalb sitzt im anspruchsvolleren Aufbau zwischen den Lagen eine dauerelastische Schicht: Sie hält die Lagen im Biegeverhalten getrennt und entzieht der Biegewelle zusätzlich Energie.

Warum eine Platte unterhalb der Koinzidenz schlecht abstrahlt

Es gibt noch eine zweite Folge der Dispersion, die seltener erwähnt wird. Solange die Biegewelle kürzer ist als die Luftschallwelle derselben Frequenz — also unterhalb der Koinzidenzgrenzfrequenz —, liegen auf der Plattenoberfläche dicht nebeneinander Bereiche, die sich gerade nach außen und gerade nach innen bewegen. Die Luft weicht dann im Wesentlichen seitlich von einem zum anderen aus, statt weggeschoben zu werden, und es entsteht kaum abgestrahlter Schall. Oberhalb der Grenzfrequenz ist die Biegewelle länger als die Luftschallwelle, dieser Kurzschluss über die kurze Strecke entfällt, und die Platte strahlt wirksam ab. Eine schwingende Wand ist deshalb nicht automatisch eine laute Wand — es kommt darauf an, in welchem Verhältnis ihre Biegewellenlänge zur Luftschallwellenlänge steht.

Umgekehrt lässt sich derselbe Mechanismus gezielt nutzen: Ein Flächenwandler ist nichts anderes als eine Platte, die absichtlich in Biegewellen versetzt wird, um Schall abzustrahlen.

Häufiges Missverständnis

„Im Beton läuft der Schall mit mehreren tausend Metern je Sekunde" — das steht so in Tabellen und meint die Dehnwelle. Für die Frage, was beim Nachbarn ankommt, ist diese Zahl fast bedeutungslos, weil die Dehnwelle die Oberfläche kaum senkrecht bewegt. Die Wellenart, auf die es ankommt, hat gar keine feste Geschwindigkeit, sondern eine, die von der Frequenz abhängt und im Tiefton deutlich unter der von Luftschall liegen kann. Die Tabellenzahl gehört zur Dehnwelle und sagt über das, was eine Wand abstrahlt, fast nichts.

Genauso schief ist die Gleichung „steifer ist besser". Im Möbel- und Gehäusebau stimmt sie oft, weil eine steife Wand sich unter Kraft weniger verformt. In der Bauakustik wirkt Steifigkeit an der entscheidenden Stelle gegen einen: Sie zieht die Grenzfrequenz nach unten und verlegt den Dämmungseinbruch in den Bereich, in dem Sprache und Musik ihre Energie haben. Gefragt ist im Schallschutz ein möglichst biegeweiches, aber schweres Bauteil. Genau diese Kombination ist baulich schwer zu bekommen, und sie ist der Grund für die mehrlagigen Aufbauten.

Nicht zu verwechseln mit

Dehnwelle (Longitudinalwelle): Läuft mit fester, hoher Geschwindigkeit und komprimiert das Material längs ihrer Richtung. Sie transportiert Energie weit durch den Rohbau, strahlt aber kaum ab.
Schubwelle (Transversalwelle): Verschiebt benachbarte Schichten seitlich, ohne die Platte zu krümmen. Ebenfalls nicht dispersiv.
Luftschallwelle: Rund 343 m/s bei jeder Frequenz. Der Vergleich zwischen ihr und der Biegewelle ist genau der Inhalt des Koinzidenzeffekts.
Dynamische Steifigkeit einer Lagerung: Beschreibt ein Federelement zwischen zwei Massen, nicht die Steifigkeit eines Bauteils gegen Verbiegen. Gleicher Wortstamm, andere Größe und andere Einheit.
Flächenbezogene Masse: Die Trägheit der Platte. Sie bremst die Biegewelle, während die Biegesteifigkeit sie beschleunigt — beide stehen in derselben Formel, aber mit entgegengesetzter Wirkung.

Typischer Fehler

Die zweilagige Beplankung ist beauftragt, und auf der Baustelle schlägt der Trockenbauer vor, die beiden Lagen vollflächig zu verkleben statt nur zu verschrauben — das halte besser, sei sauberer und koste kaum etwas. Die Masse ändert sich dadurch nicht, die Schichtdicke auch nicht, und im Angebot steht danach dasselbe.

Akustisch ist es trotzdem eine andere Wand. Verschraubt biegen sich die Lagen weitgehend einzeln, verklebt biegen sie sich gemeinsam — das ist der Unterschied zwischen zweifacher und achtfacher Biegesteifigkeit, und er verschiebt die Grenzfrequenz um eine Oktave nach unten. Der Vorschlag verbessert die Statik der Schale und verschlechtert genau das, wofür sie gebaut wurde.

Für die Ausschreibung folgt daraus, dass die Verbindungsart der Lagen hineingehört und nicht dem Gewerk überlassen bleibt. Wo die Lagen gegeneinander beweglich bleiben sollen, ist das eine akustische Vorgabe und keine Ausführungsvariante. Die verwandte Frage, ob überhaupt mehrlagig statt einlagig gebaut wird, behandelt das Planungsbeispiel beim Koinzidenzeffekt.

Verknüpfte Inhalte

Was aus der Dispersion der Biegewellen für die Schalldämmung folgt, steht beim Koinzidenzeffekt — dieser Eintrag liefert dessen Voraussetzung und wird dort vorausgesetzt. Gerechnet wird die Geschwindigkeit auf der Formelseite zur Biegewellengeschwindigkeit, die Frequenz ihres Gleichlaufs mit dem Luftschall auf der Koinzidenzgrenzfrequenz; dort steht auch die Biegesteifigkeit B'. Welche Wege Körperschall im Gebäude nimmt, erklärt der Körperschall; die zweite Größe neben der Biegesteifigkeit die flächenbezogene Masse. Warum Luftschall im Gegensatz dazu eine feste Geschwindigkeit hat, klärt die Schallgeschwindigkeit. Wie viel eine Wand allein über ihre Masse zurückhält, rechnet das Massegesetz vor, und dieselbe Plattenbewegung in gewollter Absicht nutzt der Plattenschwinger. Wie stark Biegewellen beim Laufen Energie verlieren, beschreibt der Verlustfaktor. Ein Bauteil, das Biegewellen erzeugen soll statt sie zu vermeiden, ist der Flächenwandler.

Quellen

Die Wellenarten in festen Körpern, die Dispersionsbeziehung der Biegewelle und der Zusammenhang zwischen Biegesteifigkeit, Plattendicke und Abstrahlung sind Standard der technischen Akustik und folgen der Darstellung bei Cremer und Heckl sowie bei Möser; die zugrunde liegende Plattenbiegetheorie stammt aus der Elastizitätstheorie des 19. Jahrhunderts.