Rückwärtsintegration nach Schroeder

Aus der Impulsantwort eines Raums lässt sich die Nachhallzeit erst gewinnen, wenn ihre zappelige Rohform in eine glatte, eindeutig fallende Abklingkurve verwandelt ist. Die Rückwärtsintegration leistet das: Sie summiert den quadrierten Schalldruck der Impulsantwort von einem Zeitpunkt t bis zum Ende der Messung auf, statt ihn Punkt für Punkt abzulesen.

Natürliche Erklärung

Die Impulsantwort schwingt um die Nulllinie — mal positiver, mal negativer Schalldruck, ohne dass das Vorzeichen etwas über die Bedeutung des Ausschlags aussagt. Quadriert man sie, verschwindet das Vorzeichen, und übrig bleibt eine Größe, die proportional zur momentanen Schallenergie ist: immer positiv oder null, nie negativ.

Diese quadrierte Kurve ist für sich genommen noch nicht glatt — sie zappelt weiter, nur jetzt oberhalb der Nulllinie. Der eigentliche Schritt ist die Integration von hinten nach vorn: Für jeden Zeitpunkt t wird nicht der momentane Wert genommen, sondern die Summe aller Werte, die von t an noch folgen, bis zum Ende der Aufnahme. Dahinter steckt eine einfache Eigenschaft von Summen nichtnegativer Größen: Je später t liegt, desto weniger bleibt übrig, und da nie etwas Negatives dazukommt, kann die Summe mit wachsendem t nur kleiner werden oder gleich bleiben — nie größer. Die Kurve fällt deshalb zwangsläufig monoton, unabhängig davon, wie zerklüftet die Impulsantwort selbst aussieht. Jeder einzelne Punkt ist keine Momentaufnahme mehr, sondern die Restenergie des gesamten verbleibenden Signals — und genau das glättet die Schwankungen weg, ohne dass irgendetwas weichgezeichnet oder gemittelt werden müsste.

Manfred Schroeder, der das Verfahren 1965 bei den Bell Laboratories vorstellte, begründete es zusätzlich mit einem zweiten, tieferen Argument: Der Nachhall eines Raums verhält sich wie ein Zufallsprozess mit vielen sich überlagernden, zufällig phasenverschobenen Ausschwingvorgängen. Um die tatsächliche mittlere Abklingkurve dieses Prozesses zu bekommen, müsste man eigentlich viele einzelne Messungen wiederholen und über sie mitteln — eine Ensemble-Mittelung. Schroeders Ergebnis ist, dass die Rückwärtsintegration einer einzigen Messung genau diesen Erwartungswert liefert, ganz ohne Wiederholung. Die Rohantwort verrät also gar keinen Messfehler, wenn sie zappelig aussieht; sie zeigt nur eine einzelne, zufällige Realisierung eines Vorgangs, dessen Mittelwert die Rückwärtsintegration direkt berechnet.

Eingangsgrößen und Einheiten

Zur Ablesung wird die Kurve fast immer logarithmiert und als fallender Pegel in Dezibel dargestellt: L(t) = 10 · log₁₀(⟨h²(t)⟩ / ⟨h²(0)⟩). Auf dieser Pegelkurve setzen T20, T30 und EDT ihre jeweiligen Auswertefenster an — der Eintrag zu T20 und T30 führt aus, wie.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Rückwärtsintegration setzt eine vollständig aufgezeichnete, entfaltete Impulsantwort voraus (siehe Impulsantwort und Energy Time Curve). Sie gilt für dasselbe lineare, zeitinvariante Raumverhalten, das die Impulsantwort selbst voraussetzt: Der Raum antwortet unabhängig vom Pegel gleich und ändert sich während der Messung nicht.

Die Gleichung selbst kennt keinen Rauschschwanz — sie integriert bis Unendlich über ein Signal, das irgendwann vollständig auf null abgeklungen ist. Eine reale Messung liefert das nicht: Nach dem eigentlichen Abklingen bleibt Grundgeräusch übrig, das nicht weiter fällt. Deshalb wird in der Praxis nicht bis Unendlich integriert, sondern bis zu einem endlichen Integrationsendpunkt T_end — dazu mehr im Abschnitt Grenzen.

Grenzen

Die Gleichung ist Lehrbuchwissen und unabhängig von der Frage, wo genau T_end liegen muss — dieser Punkt ist trotzdem der praktisch entscheidende, denn er trennt zwei Fehlerquellen voneinander.

Zu früh abgeschnitten, verliert die Kurve echten Nachhallanteil und die abgelesene Nachhallzeit fällt zu kurz aus. Zu spät abgeschnitten, integriert die Rechnung das Grundgeräusch mit ein — und weil Grundgeräusch im Mittel nicht fällt, sondern konstant bleibt, kippt die Schroeder-Kurve am Ende in eine flache, dann sogar leicht ansteigende Linie. Das verfälscht besonders die späten Auswertefenster (T30 stärker als T20, T20 stärker als die EDT) und kann eine an sich gerade Kurve scheinbar krümmen.

Ein verbreitetes Verfahren, den optimalen Integrationsendpunkt zu bestimmen, stammt von Anders Lundeby und Kollegen (1995): ein iteratives Vorgehen, das Störgeräuschpegel und Abklingsteigung wechselseitig schätzt, bis sich der Schnittpunkt zwischen beiden stabilisiert. Im Kern läuft es auf drei Schritte hinaus, die mehrfach durchlaufen werden:

• Störgeräuschpegel schätzen. Aus einem Abschnitt am Ende der Aufnahme, der sicher nur noch Rauschen enthält, wird ein erster Rauschpegel bestimmt.
• Abklingsteigung schätzen. Aus einem Bereich der Kurve, der deutlich über diesem Rauschpegel liegt, wird eine Ausgleichsgerade an den Pegelverlauf gelegt.
• Schnittpunkt bilden und wiederholen. Ausgleichsgerade und Rauschpegel schneiden sich in einem vorläufigen Endpunkt; mit diesem neuen Endpunkt werden Rauschschätzung und Ausgleichsgerade erneut berechnet, bis sich der Schnittpunkt zwischen zwei Durchläufen kaum noch verschiebt.

Welchen Integrationsendpunkt (oder welches Lundeby-Kriterium) ISO 3382 normativ vorschreibt, bleibt an dieser Stelle offen.

Rechenbeispiel

Kein gemessener Wert ersetzt die Anschaulichkeit eines einfachen Modells. Nimm an, die quadrierte Impulsantwort ließe sich — rein zur Veranschaulichung, nicht als reale Messung — durch ein glattes Ersatzmodell nähern: eine Energie, die von einem Startwert A ab exponentiell mit der Zeitkonstante τ₀ fällt, h²(τ) = A · e^(−τ/τ₀). Für dieses idealisierte Modell lässt sich die Rückwärtsintegration von Hand ausrechnen:

text ⟨h²(t)⟩ = ∫ (von t bis ∞) A · e^(−τ/τ₀) dτ = A · τ₀ · e^(−t/τ₀)

Das Ergebnis ist bemerkenswert: Für ein rein exponentielles Abklingen liefert die Rückwärtsintegration wieder eine Exponentialfunktion mit derselben Zeitkonstante τ₀ — nur um den konstanten Faktor τ₀ skaliert. Auf der logarithmischen Pegelskala wird daraus eine Gerade mit unverändertem Anstieg. Das ist genau die Eigenschaft, auf der T20 und T30 aufbauen: Ist die reale, gemessene Schroeder-Kurve ebenfalls eine Gerade, verhält sich der Raum wie in diesem Modell, und jedes Teilstück der Kurve liefert dieselbe Nachhallzeit.

Der Rauschschwanz zeigt sich in diesem Modell so: Läge ab einem Zeitpunkt t_R ein konstanter Störpegel N statt des weiter fallenden Signals vor, würde eine bis zum Aufnahmeende (weit hinter t_R) geführte Integration ab einem Startpunkt t hinter t_R im Wesentlichen nur noch N · (T_end − t) aufsummieren — einen Term, der linear statt exponentiell fällt. Die Schroeder-Kurve bekäme dadurch ab t_R einen deutlich flacheren, zum Schluss sogar leicht ansteigenden Verlauf, und eine Auswertung, die über diesen Bereich hinausreicht, würde eine zu lange Nachhallzeit ablesen. Genau diesen Effekt vermeidet ein korrekt gesetzter Integrationsendpunkt T_end vor t_R.

Verknüpfte Inhalte

Woher die Impulsantwort stammt und wie sie gemessen wird, steht bei Impulsantwort und Energy Time Curve. Was auf der so entstandenen Kurve abgelesen wird — die Auswertefenster und die Bedeutung einer Krümmung — führen T20 und T30 aus; die Auswertung der ersten 10 dB behandelt die Early Decay Time. Wie sich eine Nachhallzeit stattdessen aus Raumvolumen und Absorption vorausberechnen lässt, zeigt die Nachhallzeit nach Sabine; warum diese Rechnung unterhalb der Schroeder-Frequenz durch die modale Abklingzeit einzelner Moden ersetzt wird, steht dort.

Quellen

Die Rückwärtsintegration als Verfahren zur Gewinnung einer glatten Abklingkurve aus der Impulsantwort geht auf Schroeder (JASA 1965) zurück und ist seither Standardverfahren jeder Messsoftware; Kuttruffs „Room Acoustics" führt sie als Grundlage der praktischen Nachhallzeitmessung. Das Lundeby-Verfahren zur Bestimmung des Integrationsendpunkts stammt aus Lundeby, Vigran, Bietz und Vorländer (Acustica 1995).