Nachhallzeit nach Sabine

Die Formel schätzt, wie lange Dein Raum nachklingt — aus zwei Größen, die Du selbst ermitteln kannst: dem Raumvolumen und der Summe aller wirksamen Absorptionsflächen. Rückwärts gerechnet sagt sie Dir, wie viel Absorption fehlt, um einen Zielwert zu erreichen.

Entwickelt hat sie der Harvard-Physiker Wallace Clement Sabine um 1900, aus systematischen Messreihen in Hörsälen — mit ihnen begann die moderne Raumakustik als messende Disziplin, und die Formel heißt bis heute nach ihm.

Natürliche Erklärung

Nach dem letzten Ton läuft die Schallenergie als dichte Folge von Reflexionen weiter durch den Raum. Bei jedem Auftreffen auf eine Fläche geht ein Teil verloren, der Rest läuft weiter. Zwei Größen bestimmen, wie schnell dabei nichts mehr übrig ist. Das Volumen sagt, wie viel Energie im Raum unterwegs ist und wie lange eine Welle zwischen zwei Reflexionen braucht. Die Absorptionsfläche sagt, wie viel bei jedem Auftreffen verschwindet. Viel Volumen bei wenig Absorption ergibt langen Nachhall — deshalb steht V im Zähler und A im Nenner.

Der eigentliche Kern der Formel steckt im Begriff der äquivalenten Absorptionsfläche. Sie ist keine Fläche, die Du im Raum sehen könntest, sondern eine Rechengröße: Jede reale Fläche wird mit ihrem Absorptionsgrad multipliziert und dann aufaddiert. Zwölf Quadratmeter Teppich mit einem Absorptionsgrad von 0,35 zählen wie 4,2 Quadratmeter perfekter Absorption. Genau deshalb kannst Du Boden, Decke, Wände, Vorhänge und Möbel überhaupt in einer einzigen Zahl zusammenfassen.

Und daraus folgt der praktische Hebel: T hängt umgekehrt proportional an A. Verdoppelst Du die äquivalente Absorptionsfläche, halbiert sich die Nachhallzeit. Klar, das klingt nach einer bequemen Stellschraube — in einem bereits gut bedämpften Raum ist die Verdopplung von A aber ein erheblicher baulicher Eingriff, während sie im kahlen Rohbau schon mit einem Teppich und Vorhängen zu schaffen ist.

Eingangsgrößen und Einheiten

Zur Konstante gehört eine Erklärung, weil Du in der Literatur beide Werte findest. Sie ergibt sich aus 24 · ln(10) / c, also rund 55,26 geteilt durch die Schallgeschwindigkeit. Mit c = 343 m/s kommt 0,161 s/m heraus, mit c ≈ 339 m/s die im deutschsprachigen Raum verbreiteten 0,163 s/m. Der Unterschied beträgt gut 1 % und verschwindet in der Praxis hinter der Unsicherheit der Absorptionsgrade. Wichtiger als die Wahl ist, dass Du innerhalb eines Projekts durchgehend denselben Wert benutzt. AVITECT rechnet einheitlich mit 0,163 s/m.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel setzt ein diffuses Schallfeld voraus: Die Schallenergie ist gleichmäßig über den Raum verteilt, und alle Einfallsrichtungen kommen gleich häufig vor. Diese Bedingung ist oberhalb der Schroeder-Frequenz näherungsweise erfüllt, unterhalb nicht. Eine Nachhallzeit für 40 Hz aus der Sabine-Formel ist deshalb keine belastbare Aussage.

Sie setzt außerdem voraus, dass die Absorption vergleichsweise schwach und einigermaßen gleichmäßig verteilt ist. Als Faustgrenze gilt ein mittlerer Absorptionsgrad bis etwa 0,2, also A/S ≤ 0,2 mit S als gesamter Raumoberfläche. Darüber liefert Sabine systematisch zu lange Zeiten.

Und schließlich gilt jede Rechnung für ein Frequenzband. Absorptionsgrade ändern sich über der Frequenz drastisch: Ein Teppich, der bei 1 kHz ein Drittel der Energie schluckt, wirkt bei 100 Hz fast gar nicht. Eine einzelne Sekundenangabe ohne Frequenzangabe ist wertlos.

Wenn die Luft mitrechnet

In der Grundform verschwindet Schallenergie nur an Oberflächen. Auf dem Weg dazwischen verliert sie aber auch an die Luft selbst: Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle nehmen Energie auf und geben sie als Wärme wieder ab. Dieser Verlust wächst mit der zurückgelegten Strecke und steigt zu hohen Frequenzen hin steil an. Er lässt sich als eigenes Glied im Nenner ergänzen:

text T = 0,163 s/m · V / (A + 4 · m · V)

m = Dämpfungsmaß der Luft für die Schallenergie, in 1/m

Beim Koeffizienten m lohnt der genaue Blick, weil dieselbe Größe in drei Konventionen umläuft. Die Normen geben die Luftdämpfung als Pegelmaß in Dezibel je Meter oder je Kilometer an; das Zusatzglied rechnet dagegen mit der Energie, und die Umrechnung lautet deshalb m = α / 4,343. Der zweite gebräuchliche Faktor 8,686 gilt für den Schalldruck und würde den Beitrag halbieren. Wovon m im Einzelnen abhängt — Frequenz, Lufttemperatur, relative Feuchte — und welche Quadratmeterzahl für 4mV dabei herauskommt, rechnet die Seite zur Luftabsorption nach ISO 9613-1 vor; dieselbe Erweiterung steht auf der Nachhallzeit nach Eyring.

Warum steht das Glied getrennt und nicht einfach in A? Weil es anders wächst. Die äquivalente Absorptionsfläche hängt an den Oberflächen, das Luftglied am Volumen — und das Volumen wächst schneller als die Fläche, die es umschließt. In einem Wohnzimmer bleibt der Beitrag deshalb klein genug, um in der Unsicherheit der Absorptionsgrade zu verschwinden; in einem Saal verkürzt er die Nachhallzeit im Hochton spürbar, ohne dass eine einzige Wand etwas dazu beiträgt. Für Heimkino- und Wohnräume ist die Grundform ohne 4mV also weiterhin die richtige Wahl, solange Du unterhalb von etwa 4 kHz rechnest.

Ein Vorbehalt gehört dazu: m gilt für einen Reinton. Setzt Du den Wert der Bandmitte für ein ganzes Oktavband an, kommt zu viel Luftabsorption heraus, denn den weiteren Abfall bestimmt der unterste, am wenigsten gedämpfte Teil des Bandes. Bis 4 kHz und bei Nachhallzeiten unter zwei Sekunden bleibt dieser Fehler unter fünf Prozent und damit unterhalb der Wahrnehmungsschwelle; in den Bändern 8 und 16 kHz und in halligen Räumen ab vier Sekunden reicht der Bandmittenwert nicht mehr. In Terzbändern gerechnet stellt sich die Frage bis 20 kHz nicht.

Grenzen

Der wichtigste Punkt zuerst: In einem stark bedämpften Raum überschätzt Sabine die Nachhallzeit. Der Grund steckt in der Herleitung — sie unterstellt, dass die Energie beim Auftreffen anteilig verschwindet, und diese Näherung wird ungenau, wenn pro Reflexion schon ein großer Teil weg ist. Für diesen Fall gibt es die 1930 vom Physiker Carl F. Eyring veröffentlichte Formel, die mit −ln(1 − ᾱ) statt mit ᾱ rechnet und in stark bedämpften Räumen deutlich kürzere Zeiten liefert. Im Grenzfall eines vollständig absorbierenden Raums geht Eyring gegen null, Sabine dagegen gegen einen endlichen Wert — ein reflexionsfreier Raum hätte nach Sabine also noch Nachhall.

Zweitens sind Absorptionsgrade selbst unsicher. Sie stammen aus Messungen im Hallraum, hängen von der Montageart ab und stehen für konkrete Produkte oft gar nicht zur Verfügung. Tabellenwerte für „Teppich" oder „Vorhang" sind Größenordnungen, keine Kennwerte Deines Materials. Manche Tabellen weisen sogar Werte über 1,0 aus, was physikalisch unmöglich klingt und aus dem Messverfahren stammt — die Kanten einer Probefläche wirken größer, als sie sind.

Drittens sagt die Formel nichts über die Verteilung im Raum. Sie liefert einen Wert für den ganzen Raum, während Du an einem konkreten Platz sitzt. Ob die ersten Reflexionen sauber verteilt sind, ob zwischen zwei kahlen, parallelen Wänden ein Flatterecho entsteht — ein Impuls, der hörbar zwischen den Flächen hin- und herspringt —, ob Dialoge verständlich sind: dazu schweigt sie. Ein Raum kann eine rechnerisch perfekte Nachhallzeit haben und trotzdem schlecht klingen.

Rechenbeispiel

Derselbe multifunktionale Raum wie auf den anderen Formelseiten: 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m, also V = 58,8 m³ und eine Gesamtoberfläche von S = 96,0 m². Gerechnet wird für das 1-kHz-Band.

text T = 0,163 · 58,8 / 17,70 = 9,584 / 17,70 = 0,54 s

Der Raum klingt also rund eine halbe Sekunde nach — für einen Raum, in dem Sprache verständlich bleiben soll, ist das deutlich zu lang.

Rückwärts gerechnet auf einen Zielwert von 0,35 s:

text A = 0,163 · 58,8 / 0,35 = 27,4 m²

Es fehlen also rund 9,7 m² äquivalente Absorptionsfläche. Mit 13 m² Absorberfläche à α = 0,80 kommst Du hin — allerdings nicht mit den vollen 10,4 m², denn die Absorber verdecken Wandfläche, die vorher schon 0,39 m² beigetragen hat. Netto bleiben rund 10,0 m², die neue Summe liegt bei 27,7 m², und daraus folgt T = 0,35 s.

Genau hier lohnt der Blick auf die Gültigkeitsgrenze. Der mittlere Absorptionsgrad liegt jetzt bei 27,7 / 96,0 = 0,29 und damit über der Faustgrenze von 0,2. Nach Eyring gerechnet:

text T = 0,163 · 58,8 / (−96,0 · ln(1 − 0,29)) = 9,584 / (96,0 · 0,342) = 9,584 / 32,8 = 0,29 s

Sabine sagt 0,35 s, Eyring 0,29 s — knapp 20 % Unterschied. Vor der Maßnahme lag der mittlere Absorptionsgrad bei 0,18, dort waren beide Formeln noch nah beieinander. Für Dich heißt das: Als Planungswerkzeug für den Weg von kahl zu bedämpft ist Sabine gut genug; sobald der Raum richtig trocken wird, brauchst Du Eyring oder besser eine Messung.

Die Reihenfolge in der Planung bleibt dieselbe. Zuerst die Konzeptfrage, welcher Zielwert für die Nutzung überhaupt richtig ist. Dann die Verfahrensfrage, ob Teppich, Vorhang und Möbel reichen oder gebaute Absorber nötig sind. Erst danach die Frage nach konkreten Produkten.

Verknüpfte Inhalte

Was die Nachhallzeit beschreibt, wie sie gemessen wird und womit sie verwechselt wird, steht im Glossareintrag zur Nachhallzeit. Das Ergebnis T ist die Eingangsgröße für die Schroeder-Frequenz, die Dir sagt, ab wo dieser Kennwert überhaupt greift. Die Stellschrauben stehen bei Absorption und Diffusion, die elektronische Nachbearbeitung bei der Raumkorrektur.

Quellen

Formel, Herleitung und Grenzen folgen der Standardliteratur zur Raumakustik — Sabines gesammelten Arbeiten und Kuttruffs Room Acoustics — sowie dem Messverfahren nach ISO 3382. Das Zusatzglied 4mV in der Sabine-Form, die Umrechnung des Dämpfungsmaßes und die Grenzen des Bandmittenwerts sind gegen Wenmaekers, Hak und Hornikx (2014) geprüft; die Arbeit ist am Objekt gelesen.