Nachhallzeit nach Eyring

Die Formel rechnet dasselbe wie Sabine — wie lange ein Raum nachklingt — nur für den Fall, in dem Sabine unbrauchbar wird: den stark bedämpften Raum. Sie braucht dieselben Eingangsgrößen und unterscheidet sich in einem einzigen Schritt. In einem Heimkino mit ernsthafter Akustikausstattung macht dieser Schritt rund zwanzig Prozent aus, in einem durchgehend bedämpften Raum auch ein Drittel.

Aufgestellt hat sie der amerikanische Physiker Carl F. Eyring, der 1930 im Journal of the Acoustical Society of America seine Messungen in absichtlich stark bedämpften Räumen veröffentlichte — dort wich die damals dreißig Jahre alte Sabine-Formel so weit von den Messwerten ab, dass eine eigene Herleitung nötig wurde.

Natürliche Erklärung

Beide Formeln beschreiben denselben Vorgang: Nach dem letzten Ton läuft die Schallenergie als Folge von Reflexionen durch den Raum und verliert bei jedem Auftreffen einen Teil. Sie unterscheiden sich nur darin, wie sie diesen Verlust buchführen.

Sabine rechnet ihn als gleichmäßigen Abfluss: Die Energie sinkt stetig, proportional zur Absorptionsfläche. Eyring rechnet ihn als Folge einzelner Ereignisse. Zwischen zwei Reflexionen legt eine Welle im Mittel die Strecke 4V/S zurück, und bei jedem Auftreffen bleibt der Anteil (1 − ᾱ) übrig. Nach n Reflexionen ist also nicht ein bestimmter Betrag abgeflossen, sondern der Faktor (1 − ᾱ) steht n-mal hintereinander. Genau daraus wird der Logarithmus: Wer wissen will, wie viele Reflexionen bis zum Abfall um 60 dB nötig sind, muss eine Potenzgleichung nach dem Exponenten auflösen.

Warum das bei wenig Absorption keinen Unterschied macht, zeigt ein Blick auf die beiden Größen. Für kleine ᾱ ist −ln(1 − ᾱ) fast genau ᾱ; bei einem mittleren Absorptionsgrad von 0,10 stehen 0,105 gegen 0,100. Die Sabine-Formel ist damit nicht falsch hergeleitet, sondern die Näherung erster Ordnung derselben Physik. Erst wenn pro Reflexion ein großer Teil der Energie verschwindet, laufen die beiden Ausdrücke auseinander:

Die letzte Zeile ist der eigentliche Prüfstein. Ein Raum, dessen Wände alles schlucken, wirft nichts zurück und kann deshalb nicht nachhallen. Eyring gibt für diesen Fall null aus, Sabine dagegen T = 0,163 · V/S — also für unseren Beispielraum noch immer rund eine Zehntelsekunde Nachhall in einem reflexionsfreien Raum. Das ist kein Rundungsfehler, sondern die Stelle, an der die Näherung ihre Herkunft verrät.

Eingangsgrößen und Einheiten

Neu gegenüber Sabine ist, dass Du die Raumoberfläche S wirklich brauchst. Sabine kommt mit A allein aus; Eyring teilt A durch S und braucht die Bezugsfläche deshalb explizit. Gemeint ist die geometrische Oberfläche des Raums, also Boden, Decke und alle vier Wände, ohne Möbel und ohne Personen — deren Absorption steckt in A, aber nicht in S. Bei stark möbliertem Bestand ist ᾱ dadurch keine saubere Materialkenngröße mehr, sondern eine Rechengröße; für die Formel genügt das, für die Interpretation solltest Du es wissen.

Die Konstante 0,163 s/m ist dieselbe wie bei Sabine und hat denselben Ursprung: 24 · ln(10) geteilt durch die Schallgeschwindigkeit. Auch hier gilt, dass innerhalb eines Projekts durchgehend derselbe Wert benutzt wird; AVITECT rechnet einheitlich mit 0,163 s/m.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Formel setzt ein diffuses Schallfeld voraus — dieselbe Bedingung wie bei Sabine, mit derselben Konsequenz: Unterhalb der Schroeder-Frequenz ist sie nicht anwendbar, weil es dort kein diffuses Feld gibt, das sie beschreiben könnte; das Verhalten des Raums bestimmen dort einzelne Raummoden. Eine Eyring-Nachhallzeit für 40 Hz ist deshalb keine schlechtere Zahl, sondern gar keine Aussage. Und jede Rechnung gilt für genau ein Frequenzband.

Der Gültigkeitsbereich nach oben ist dagegen ein anderer. Sabine hat eine Faustgrenze bei einem mittleren Absorptionsgrad von etwa 0,2; Eyring hat sie nicht und bleibt bis nahe an ᾱ = 1 brauchbar. Genau dafür wurde sie aufgestellt.

Eine Annahme wird dabei allerdings strenger, nicht schwächer: Eyring unterstellt, dass jede Reflexion im Mittel auf denselben Absorptionsgrad trifft. Das setzt voraus, dass die Absorption gleichmäßig über alle Flächen verteilt ist. In einem Heimkino sitzt sie aber typischerweise gerade nicht gleichmäßig — vorn eine gepolsterte Bühnenwand, hinten Diffusoren, seitlich Absorber, an der Decke fast nichts. Für solche Räume ist auch Eyring nur eine Näherung, und die Richtung des Fehlers steht wenigstens rechnerisch fest: Weil Eyring zuerst mittelt und dann logarithmiert, während Millington und Sette jede Fläche einzeln logarithmieren, fällt Eyrings Nenner bei ungleicher Verteilung immer kleiner aus — Eyring gibt für denselben Raum also grundsätzlich die längere Nachhallzeit an. Wie weit diese längere Zahl von einer Messung abliegt, ist damit noch nicht gesagt.

Grenzen

Die wichtigste Grenze ist keine Eigenschaft der Formel, sondern der Zahlen, die Du hineinsteckst. Absorptionsgrade nach ISO 354 werden im Hallraum bestimmt — und zwar über die Sabine-Gleichung. Ein Tabellenwert α ist damit streng genommen ein Sabine-Absorptionsgrad. Wer ihn in die Eyring-Formel einsetzt, mischt zwei Rechenwege. In der Praxis ist das üblich und meist vertretbar, weil die Streuung der Materialwerte ohnehin größer ist als der Unterschied; sauber ist es nicht.

Zweitens bleibt die Verteilung im Raum außen vor. Eyring liefert wie Sabine einen einzigen Wert für den ganzen Raum. Ob die ersten Reflexionen am Hörplatz sauber verteilt sind, ob der Bass gleichmäßig ankommt, ob Dialoge verständlich bleiben — dazu sagt keine der beiden Formeln etwas. Ein rechnerisch perfekter Wert ist keine Klangaussage.

Und drittens gibt es den Fall, in dem beide Formeln versagen: Absorption, die auf wenigen Flächen konzentriert sitzt. Der übliche nächste Schritt ist dann der Ansatz nach Millington und Sette, der jede Fläche einzeln logarithmiert, statt zuerst zu mitteln — er hat eine eigene Formelseite, und dort steht auch, woran man erkennt, dass keine der drei Formeln mehr gilt. Denn eine eigene Schwäche hat er ebenfalls: Eine einzige Fläche mit α = 1 lässt die gerechnete Nachhallzeit auf null fallen. Deshalb ist an dieser Stelle in der Praxis nicht die dritte Formel die Antwort, sondern die Messung.

Rechenbeispiel

Derselbe multifunktionale Raum wie auf den anderen Formelseiten: 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m, also V = 58,8 m³ und S = 96,0 m². Gerechnet wird für das 1-kHz-Band. Die ersten beiden Zustände übernehmen die Absorptionsflächen aus dem Rechenbeispiel zur Sabine-Formel; der dritte ist ein hier angesetztes Ausbau-Szenario und steht dort nicht.

Ausgangszustand, A = 17,70 m²:

text ᾱ = 17,70 / 96,0 = 0,184

Sabine: T = 0,163 · 58,8 / 17,70 = 0,54 s Eyring: T = 0,163 · 58,8 / (−96,0 · ln(1 − 0,184)) = 9,584 / (96,0 · 0,204) = 9,584 / 19,57 = 0,49 s

Rund 10 % Unterschied — das liegt in derselben Größenordnung wie die Unsicherheit der Absorptionsgrade selbst. Hier ist die Wahl der Formel kein Thema.

Nach der Bedämpfung auf A = 27,7 m²:

text ᾱ = 27,7 / 96,0 = 0,289

Sabine: T = 9,584 / 27,7 = 0,35 s Eyring: T = 9,584 / (−96,0 · ln(1 − 0,289)) = 9,584 / (96,0 · 0,340) = 9,584 / 32,67 = 0,29 s

Jetzt sind es knapp 20 %, und die beiden Zahlen stehen für unterschiedliche Planungsentscheidungen: Wer 0,35 s liest und 0,30 s anstrebt, baut weitere Absorber ein, obwohl der Raum das Ziel längst unterschritten hat.

Ein ausgebautes Heimkino, A = 43,0 m²:

text ᾱ = 43,0 / 96,0 = 0,448

Sabine: T = 9,584 / 43,0 = 0,22 s Eyring: T = 9,584 / (−96,0 · ln(1 − 0,448)) = 9,584 / (96,0 · 0,594) = 9,584 / 57,05 = 0,17 s

Ein Drittel Abweichung. In diesem Bereich arbeiten dedizierte Heimkinoräume, und hier ist Sabine schlicht das falsche Werkzeug.

Für die Planung heißt das nicht, dass ab sofort alles nach Eyring gerechnet wird. Die Formelwahl ist gar keine der Planungsfragen, sondern ein Rechenschritt innerhalb einer davon. Am Anfang steht, welche Nachhallzeit die Nutzung überhaupt verlangt — ein Raum, in dem auch gesprochen oder live gespielt wird, darf nicht so trocken werden wie ein reiner Filmraum. Danach entscheidet sich, an welchen Flächen und mit welchen Materialien die Absorption entsteht, und genau an dieser Stelle fällt auch die Wahl zwischen den beiden Formeln: Sabine deckt den Weg vom kahlen Raum zur normalen Möblierung ab, Eyring übernimmt, sobald ᾱ über etwa 0,2 steigt. Welche Absorber es am Ende werden, ist die letzte Frage — und sie wird leichter, wenn die beiden Schritte davor belastbare Zahlen geliefert haben.

Verknüpfte Inhalte

Der Rechenweg zur äquivalenten Absorptionsfläche A, die Bedeutung der Konstante und der Umgang mit Absorptionsgraden stehen vollständig auf der Seite zur Nachhallzeit nach Sabine — diese Seite setzt sie voraus und wiederholt sie nicht. Was die Nachhallzeit als Kennwert beschreibt und wie sie gemessen wird, steht im Glossareintrag zur Nachhallzeit und bei der Raummessung. Ab welcher Frequenz beide Formeln überhaupt greifen, klärt die Schroeder-Frequenz. Die Materialseite des Themas behandeln Absorption, Absorptionsgrad und äquivalente Absorptionsfläche.

Quellen

Herleitung und Vergleich folgen der Standardliteratur zur Raumakustik sowie Eyrings Originalarbeit von 1930; das Messverfahren für Nachhallzeiten steht in ISO 3382, die Bestimmung von Absorptionsgraden in ISO 354. Die Umrechnung des Luftabsorptionsmaßes in den Koeffizienten m des Zusatzglieds 4mV ist gegen Wenmaekers, Hak und Hornikx (2014) geprüft, die genau diese Verwechslungsgefahr zwischen den drei Koeffizienten-Konventionen behandeln.