Helmholtz-Resonator

Ein geschlossener Hohlraum mit einer Öffnung hat eine Frequenz, bei der er von selbst mitschwingt — dieselbe, die man hört, wenn man über eine Flaschenöffnung bläst. In der Raumakustik wird ein solcher Resonator gezielt gebaut, um einer einzelnen Störfrequenz im Bass Energie zu entziehen. Diese Seite rechnet die Abstimmung aus, für den einzelnen Resonator wie für die praktisch häufigere Lochplatte.

Natürliche Erklärung

Die Luft im Hals ist ein Pfropfen mit Gewicht. Drückt eine Schallwelle ihn nach innen, wird die Luft im Volumen zusammengepresst und drückt zurück — und weil der Pfropfen träge ist, schießt er über den Ruhepunkt hinaus, das Volumen verdünnt sich, saugt ihn zurück, und das Spiel beginnt von vorn. Bei der Abstimmfrequenz gerät dieses Hin und Her in großen Schwung: Die Luft im Hals bewegt sich weit stärker als die Luft im Schallfeld draußen — ihre Schallschnelle ist um ein Vielfaches höher —, und die Reibung an der Halswand setzt Energie in Wärme um. Genau diese Energie fehlt dem Raum anschließend.

Daraus folgen die Wirkrichtungen unmittelbar. Ein größeres Volumen senkt die Frequenz, weil die Feder weicher wird. Ein längerer Hals senkt sie ebenfalls, weil die Masse wächst. Eine größere Öffnung hebt sie dagegen an — mehr Querschnitt heißt zwar mehr bewegte Luft, aber die Federwirkung des Volumens greift an der größeren Fläche stärker an, und dieser Effekt gewinnt.

Alle drei gehen unter der Wurzel ein, also nur zur Hälfte: Für eine Oktave tiefer braucht es das vierfache Volumen. Das ist derselbe unbequeme Zusammenhang wie beim Plattenschwinger und der Grund, warum tiefe Abstimmungen in Wohnräumen selten sind.

Der wichtigste Fallstrick steckt in der Mündungskorrektur. Die schwingende Luftmasse endet nicht an der Kante des Halses — sie zieht vor und hinter der Öffnung ein Stück Luft mit, und dieses Anhängsel zählt zur Masse. Bei einem kurzen, weiten Hals kann die Korrektur größer sein als der Hals selbst: Eine 5 cm weite Öffnung in einer 1 cm dicken Platte hat rechnerisch eine wirksame Länge von 1 + 1,7 · 2,5 = 5,25 cm, also mehr als das Fünffache der Plattendicke. Wer sie weglässt, rechnet die Abstimmung deutlich zu hoch — bei diesem Beispiel um mehr als den Faktor zwei.

Eingangsgrößen und Einheiten

Der Lochanteil σ ist die offene Fläche geteilt durch die Gesamtfläche — bei runden Löchern also σ = (π·r²) / a² mit dem Lochabstand a im quadratischen Raster. Für Schlitze gilt die Mündungskorrektur 1,7·r nicht: Sie hängt dort am Schlitzabstand statt am Radius und fällt um ein Vielfaches größer aus. Diese Bauform rechnet die Seite zu den Schlitzplatten- und mikroperforierten Absorbern; wer sie mit der Formel hier auslegt, verfehlt die Abstimmung um nahezu eine Oktave. Für Abstimmungen im Bass liegt σ im niedrigen einstelligen Prozentbereich; je kleiner σ, desto tiefer die Abstimmung.

Alle Längen gehen in Metern ein, Volumen in Kubikmetern. Kursierende Fassungen der Formel rechnen mit Zentimetern und haben dann andere Vorfaktoren; wer Größen aus verschiedenen Quellen mischt, landet um Zehnerpotenzen daneben.

Gültiger Bereich und Annahmen

Vorausgesetzt ist, dass Hohlraum und Hals klein gegen die Wellenlänge bei f₀ sind. Bei 60 Hz sind das rund 5,7 m Wellenlänge gegen einen Kasten von vielleicht einem halben Meter — die Bedingung ist im ganzen sinnvollen Einsatzbereich erfüllt. Sie kippt erst, wenn man den Resonator so groß baut, dass er selbst Raummoden ausbildet.

Der Hohlraum muss luftdicht sein. Eine undichte Fuge legt einen zweiten, ungewollten „Hals" parallel zum eigentlichen und verstimmt den Aufbau — bei diesem Absorbertyp noch empfindlicher als beim Plattenschwinger, weil hier die Öffnung selbst die Abstimmung bestimmt.

Die Wandungen dürfen nicht mitschwingen. Eine dünn beplankte Kiste ist gleichzeitig ein Plattenschwinger mit eigener, meist tieferer Resonanz; gebaut wird deshalb mit schweren, steifen Wänden.

Nach oben verliert der Typ seinen Sinn: Oberhalb von etwa 500 Hz erledigt poröses Material dieselbe Aufgabe billiger, breitbandiger und ohne Abstimmrisiko. Nach unten begrenzt das Volumen — für 30 Hz werden die Kästen so groß, dass sie in einem Wohnraum kaum unterzubringen sind.

Grenzen

Die Formel nennt eine einzige Zahl: die Abstimmfrequenz. Beim Bau zählen aber drei Fragen, und die anderen beiden beantwortet sie nicht.

Die Bandbreite hängt an der Dämpfung. Ein blanker Resonator ohne jede Bedämpfung wirkt extrem schmal — mit ein paar Hertz Bandbreite trifft er die Störfrequenz entweder oder gar nicht. In der Praxis wird deshalb ein Vlies direkt hinter der Lochplatte oder ein locker gefüllter Hohlraum eingesetzt. Das verbreitert die Wirkung deutlich, senkt aber das Maximum und verschiebt die Abstimmung leicht nach unten. Ein bedämpfter Lochplattenabsorber ist damit ein Zwitter aus Resonator und porösem Absorber, und genau so wird er meistens gebaut.

Der erreichte Absorptionsgrad hängt vom selben Kompromiss ab und zusätzlich davon, wo der Absorber steht. Er arbeitet über den Schalldruck, und der ist an Wand und Ecke maximal — im Druckminimum einer Mode bewirkt er praktisch nichts. Die Raumecke ist deshalb auch hier der zuverlässigste Ort.

Bei hohen Pegeln wird die Rechnung falsch. Die Luft im Hals bewegt sich bei einem gut angeregten Resonator sehr schnell; oberhalb einer gewissen Strömungsgeschwindigkeit wird die Bewegung nichtlinear, die Verluste steigen und die Abstimmung verschiebt sich. Im Heimkino mit hohen Bassdrücken ist das kein akademischer Einwand — es ist derselbe Effekt, der bei einem Bassreflexgehäuse zu Strömungsgeräuschen am Rohr führt.

Und schließlich löst auch dieser Absorber kein Modenproblem, sondern entzieht einer Mode Energie und verkürzt ihr Ausschwingen. In welcher Reihenfolge die Maßnahmen im Bass sinnvoll sind, steht beim Bassabsorber und wird hier nicht wiederholt.

Rechenbeispiel

Teil 1 — ein einzelner Kasten. Ein geschlossener Kasten von 50 Litern mit einem runden Rohr von 5 cm Durchmesser und 5 cm Länge:

text V = 0,050 m³ r = 0,025 m → S = π · 0,025² = 1,963 · 10⁻³ m² L = 0,050 m → L_eff = 0,050 + 1,7 · 0,025 = 0,0925 m

f₀ = 54,6 · √( 1,963·10⁻³ / (0,050 · 0,0925) ) = 54,6 · √( 1,963·10⁻³ / 4,625·10⁻³ ) = 54,6 · √0,4245 = 54,6 · 0,6516 = 35,6 Hz

Ohne Mündungskorrektur käme dieselbe Rechnung auf 48,4 Hz — knapp 13 Hz daneben und damit für einen schmalbandigen Absorber ein Totalausfall.

Und der Preis der tiefen Abstimmung wird hier sichtbar: Für eine Oktave tiefer, also rund 18 Hz, bräuchte derselbe Aufbau 200 Liter.

Teil 2 — Lochplatte vor einem Hohlraum. Das ist die Bauform, die in Wohnräumen tatsächlich entsteht, meist als Teil einer Vorwand. Eine 16 mm starke Platte mit 8-mm-Löchern im Raster 40 mm, davor 15 cm Hohlraum:

text Lochanteil: σ = π · 0,004² / 0,040² = 5,027·10⁻⁵ / 1,600·10⁻³ = 0,0314

L_eff = 0,016 + 1,7 · 0,004 = 0,0228 m D = 0,150 m

f₀ = 54,6 · √( 0,0314 / (0,150 · 0,0228) ) = 54,6 · √( 0,0314 / 3,420·10⁻³ ) = 54,6 · √9,181 = 54,6 · 3,030 = 165 Hz

165 Hz liegt im oberen Bass. Um tiefer zu kommen, gibt es genau drei Stellschrauben — und der Vergleich zeigt, welche am billigsten ist:

text Ausgangspunkt (σ = 0,0314, D = 0,150 m, L_eff = 0,0228 m): 165 Hz

Hohlraum auf 0,30 m verdoppelt: 117 Hz Lochanteil auf 0,0079 geviertelt (Raster 80 mm): 83 Hz beides zusammen: 58 Hz

Beide Hebel wirken gleich stark — σ und D stehen unter derselben Wurzel —, aber nur einer ist gratis: Ein größeres Bohrraster kostet nichts als eine andere Zeichnung, doppelte Bautiefe frisst 15 cm Raum. Dass die Verringerung des Lochanteils oben trotzdem mehr bringt, liegt allein daran, dass er geviertelt und die Tiefe nur verdoppelt wurde. Deshalb sind akustisch wirksame Lochplatten so viel spärlicher gelocht, als man es einem Akustikelement ansieht.

Teil 3 — rückwärts gerechnet. In der Planung steht die Zielfrequenz fest, nicht die Maße. Nach dem Lochanteil aufgelöst:

text σ = (f₀ / 54,6)² · D · L_eff

Ziel 60 Hz, D = 0,20 m, L_eff = 0,0228 m: σ = (60 / 54,6)² · 0,20 · 0,0228 = 1,208 · 0,00456 = 0,0055

also 0,55 Prozent offene Fläche — 8-mm-Löcher im Raster von 95 mm.

Eine Platte mit einem einzigen 8-mm-Loch je Handbreit sieht nicht nach Akustikelement aus, und genau darin liegt die häufigste Enttäuschung: Die dicht gelochten Platten aus dem Baumarkt haben einen um Größenordnungen höheren Lochanteil und sind damit weit oberhalb des Basses abgestimmt.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge ist dieselbe wie beim Plattenschwinger: erst die Messung, dann die Verfahrensfrage, und ganz zuletzt diese Rechnung. Was beim Helmholtz-Resonator hinzukommt, ist die Empfindlichkeit der Abstimmung — Mündungskorrektur, Lochraster und Dichtheit verschieben das Ergebnis so stark, dass ein Bau nach Katalogmaß selbst dann danebenliegen kann, wenn die Zielfrequenz richtig bestimmt war.

Verknüpfte Inhalte

Welche Bauformen von Bassabsorbern es gibt, wo sie im Raum hingehören und warum sie in der Maßnahmenreihenfolge hinten stehen, steht beim Bassabsorber — diese Seite setzt das voraus. Die zweite abgestimmte Bauform rechnet die Seite zum Plattenschwinger; mit beiden zusammen ist die Reihe der Resonanzabsorber rechnerisch vollständig. Dieselbe Masse-Feder-Mechanik in der Konstruktion behandelt die Seite zur elastischen Lagerung. Welche Frequenzen in einem Raum überhaupt zu bekämpfen sind, liefern die axiale Modenrechnung und die Rayleigh-Gleichung; was der Absorptionsgrad aussagt, der gleichnamige Eintrag. Derselbe Resonator in umgekehrter Absicht — als Verstärker statt als Absorber — steckt im Bassreflex-Gehäuse. Die beiden Bauformen, die diese Formel nicht abdeckt — Schlitzplatten und mikroperforierte Absorber —, rechnet eine eigene Seite; oberhalb des Resonanzbereichs übernimmt der poröse Absorber, gerechnet über die Delany-Bazley-Näherung.

Quellen

Der Ansatz ist die klassische Masse-Feder-Rechnung; Resonator und Mündungskorrektur gehen auf Helmholtz und Rayleigh zurück. Das Messverfahren für Absorptionsgrade steht in ISO 354.