Delany-Bazley-Näherung

Ein poröser Absorber wird bisher meist nach Herstellerkurve ausgelegt: Man nimmt das Produkt, für das eine Messung vorliegt, und hofft, dass der eigene Aufbau der gemessenen Anordnung ähnlich genug ist. Diese Näherung macht den Weg frei, es umgekehrt zu machen — aus einer einzigen Materialgröße den Absorptionsgrad eines beliebigen Aufbaus zu rechnen und erst danach das Produkt zu suchen. Sie ist der Grund, warum der Strömungswiderstand überhaupt der zentrale Kennwert poröser Absorber ist.

Natürliche Erklärung

Der Rechenweg folgt dem Schall auf seinem Weg durch den Aufbau. An der Oberfläche des Materials trifft er auf einen Wechsel des Mediums — statt freier Luft nun Luft in engen Kanälen. Wie stark dieser Wechsel den Schall stört, sagt die Kennimpedanz Z_c im Vergleich zur Schallkennimpedanz der Luft. Liegen beide nah beieinander, tritt der Schall fast ungehindert ein. Liegt Z_c weit darüber, wird er schon an der Oberfläche zurückgeworfen.

Ist er drin, arbeitet die Ausbreitungskonstante k. Ihr Imaginärteil sagt, wie schnell die Welle beim Durchlaufen an Amplitude verliert, ihr Realteil, wie langsam sie im Material vorankommt — beides steigt mit dem Strömungswiderstand. Am Ende der Schicht steht die harte Wand, die alles zurückwirft, und die Welle läuft ein zweites Mal durch dieselbe Dämpfung. Was danach wieder herauskommt, ist die Reflexion; alles andere ist in Wärme umgesetzt.

Aus diesem Bild folgt unmittelbar, warum es ein Optimum gibt und kein „je mehr, desto besser" — die Aussage, die der Glossareintrag zum Strömungswiderstand qualitativ trifft. Ein zu kleines Ξ lässt den Schall zwar mühelos eintreten, dämpft ihn aber auf dem kurzen Weg kaum; ein zu großes wirft ihn schon an der Oberfläche zurück, bevor er die Tiefe erreicht, in der er seine Energie abgeben könnte. Der beste Wert liegt dazwischen, und weil beide Effekte von der Dicke abhängen, hängt das Optimum am Produkt Ξ·d und nicht an Ξ allein.

Und aus demselben Bild folgt die Rolle des Wandabstands. Unmittelbar an einer schallharten Wand ist die Schallschnelle null — die Luft steht dort still, und ein reibungsbasierter Absorber hat nichts zu greifen. Ihr Maximum liegt eine Viertelwellenlänge davor: bei 500 Hz rund 17 cm, bei 250 Hz rund 34 cm. Material, das dort sitzt, arbeitet am wirksamsten. Ein Luftspalt hinter der Platte schiebt das Material in genau diese Zone, ohne dass ein Gramm mehr verbaut wird — deshalb steht dieser Schritt in den Rechenbeispielen unten vor jedem Materialwechsel.

Eingangsgrößen und Einheiten

Entscheidend ist, den längenbezogenen Strömungswiderstand Ξ einzusetzen, in Pa·s/m² — nicht den spezifischen Wert einer dünnen Lage in Pa·s/m. Die beiden unterscheiden sich um die Dicke, und wer sie verwechselt, rechnet bei zehn Zentimetern Material um den Faktor zehn daneben. Welche drei Größen denselben Namen haben und wie sie zusammenhängen, steht im Eintrag zum Strömungswiderstand und wird hier nicht wiederholt.

Der Wert 412 Pa·s/m folgt aus den hier verwendeten 1,2 kg/m³ und 343 m/s. Der Glossareintrag zur Schallkennimpedanz nennt 413 Pa·s/m, gerechnet mit genaueren 20-°C-Werten; auf die Ergebnisse dieser Seite wirkt sich der Unterschied nicht aus.

In der englischsprachigen Literatur steht statt Ξ meist σ und statt der Kennzahl ρ₀f/Ξ die Variante 1000·f/Ξ mit anderen Vorfaktoren (9,08 / 11,9 / 10,8 / 10,3). Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Näherung; wer Vorfaktoren aus verschiedenen Quellen mischt, bekommt Unsinn.

Gültiger Bereich und Annahmen

Das Gültigkeitsfenster ist die wichtigste Eigenschaft dieser Näherung, und es ist eng: 0,01 ≤ ρ₀·f/Ξ ≤ 1. Nach Frequenzen aufgelöst hängt es am Material selbst:

text Ξ = 5.000 Pa·s/m² → gültig von rund 42 Hz bis 4.200 Hz Ξ = 10.000 Pa·s/m² → gültig von rund 83 Hz bis 8.300 Hz Ξ = 20.000 Pa·s/m² → gültig von rund 170 Hz bis 16.700 Hz Ξ = 40.000 Pa·s/m² → gültig von rund 330 Hz bis 33.000 Hz

Die untere Grenze ist die unangenehme. Gerade dichte Materialien, die man für tiefe Frequenzen wählen würde, verlieren ihre Gültigkeit ausgerechnet dort, wo die Antwort gebraucht wird. Außerhalb des Fensters rechnet die Näherung weiter, aber sie rechnet falsch — im Rechenbeispiel unten kommt bei 31,5 Hz ein Absorptionsgrad knapp unter null heraus, was physikalisch nicht sein kann. Ein negativer Wert ist deshalb kein Rechenfehler, sondern das Warnsignal, dass man das Fenster verlassen hat. Verlassen lässt es sich allerdings auch, ohne dass es auffällt: Bei 63 Hz liefert dieselbe Rechnung einen unauffällig aussehenden Wert, der ebenso wenig gilt. Deshalb ist die Prüfung von X kein Zusatzschritt, sondern Teil der Rechnung.

Die Näherung gilt für Faserdämmstoffe — Mineralwolle, Glaswolle, Polyesterfaser — mit einer Porosität nahe 1. Für offenzellige Schäume, Holzfaserplatten, Hanf und Schafwolle wurde sie nicht aufgestellt; sie liefert dort brauchbare Größenordnungen, aber keine belastbaren Werte, weil die Porenstruktur anders ist: Dort wirken zusätzlich die Porosität — der Anteil des Volumens, der überhaupt Luft ist — und die Tortuosität, also wie verschlungen die Kanäle durch das Material verlaufen. Beide fehlen in dieser Näherung.

Sie beschreibt außerdem senkrechten Schalleinfall. Der Absorptionsgrad, den eine Messung nach ISO 354 im Hallraum liefert, entsteht dagegen im diffusen Feld und fällt anders aus — bei porösen Absorbern in der Regel höher, im unteren Bereich sogar über 1, was ein Artefakt der Kantenwirkung und des Messverfahrens ist. Wer eine gerechnete Zahl gegen eine Katalogangabe hält, vergleicht deshalb zwei verschiedene Größen. Das direkt vergleichbare Messverfahren ist das Impedanzrohr nach ISO 10534-2.

Grenzen

Das Fasergerüst steht still. Die Näherung nimmt an, dass sich nur die Luft in den Poren bewegt. Bei leichten, weichen Materialien schwingt das Gerüst mit, und dann gibt es eine zweite Wellenart im Material, die hier fehlt. Praktisch macht sich das im Tiefton bemerkbar — also erneut dort, wo das Gültigkeitsfenster ohnehin endet.

Die Fläche ist unendlich. Reale Absorberflächen haben Kanten, an denen der Schall zusätzlich eintritt. Deshalb misst ein kleines Absorberelement im Hallraum regelmäßig besser, als seine Fläche erlaubt, und deshalb ist die Umrechnung von gemessenen Absorptionsgraden auf andere Flächengrößen heikel.

Für den Bass ist das nicht das richtige Werkzeug. Die Rechnung zeigt zuverlässig, dass ein poröser Absorber unterhalb von etwa 200 Hz in üblichen Dicken wenig ausrichtet — sie zeigt aber nicht, was stattdessen zu tun ist. Die abgestimmten Bauformen und die Maßnahmenreihenfolge im Tiefton stehen beim Bassabsorber, gerechnet werden sie beim Helmholtz-Resonator und beim Plattenschwinger.

Rechenbeispiel

Teil 1 — der Rechenweg an einer Stelle. 100 mm Mineralwolle mit Ξ = 10.000 Pa·s/m², direkt an der Wand, bei 250 Hz:

text X = 1,2 · 250 / 10.000 = 0,0300 (im Fenster)

Z_c = 412 · (1 + 0,0571·0,03^−0,754 − j·0,087·0,03^−0,732) = 742,2 − j·466,4 Pa·s/m

k = (2π·250/343) · (1 + 0,0978·0,03^−0,700 − j·0,189·0,03^−0,595) = 9,794 − j·6,973 1/m

k·d = 0,9794 − j·0,6973

Z_s = −j · Z_c · cot(k·d) = 386,3 − j·623,2 Pa·s/m

r = (Z_s − 412) / (Z_s + 412) = 0,3592 − j·0,5005 α = 1 − |r|² = 1 − 0,6161² = 0,62

62 Prozent bei 250 Hz ist für eine handelsübliche Platte an einer Wand eine realistische Größenordnung, und sie ist hier ohne eine einzige Herstellerkurve entstanden.

Teil 2 — derselbe Aufbau über die Frequenz. Und daneben die Gültigkeitsprüfung, die bei jeder Zeile mitläuft:

text f X α Fenster 31,5 Hz 0,0038 −0,006 außerhalb — Ergebnis physikalisch unmöglich 63 Hz 0,0076 +0,041 außerhalb — sieht plausibel aus, ist es nicht 125 Hz 0,0150 0,223 gültig 250 Hz 0,0300 0,620 gültig 500 Hz 0,0600 0,943 gültig 1 kHz 0,1200 0,957 gültig 2 kHz 0,2400 0,985 gültig 4 kHz 0,4800 0,995 gültig

Die beiden obersten Zeilen liegen außerhalb des Fensters, und sie zeigen die Gefahr von zwei Seiten. Bei 31,5 Hz ist das Ergebnis leicht negativ und damit offensichtlich falsch — einen Absorptionsgrad unter null kann es nicht geben. Bei 63 Hz kommen 0,041 heraus, und die sehen völlig unauffällig aus, obwohl die Näherung dort genauso wenig gilt. Der zweite Fall ist der gefährlichere: Außerhalb des Fensters sieht man dem Ergebnis nicht an, dass es falsch ist. Keine der beiden Zeilen sagt, dass die Platte im Bass nichts tut — sie sagen, dass diese Näherung dort keine Auskunft gibt.

Teil 3 — Abstand statt Material. Die praktisch wichtigste Rechnung. Dieselbe Wolle, einmal 50 mm direkt an der Wand, einmal 50 mm mit 50 mm Luft dahinter, einmal 100 mm massiv:

text f 50 mm direkt 50 mm + 50 mm Luft 100 mm massiv 125 Hz 0,034 0,161 0,223 250 Hz 0,173 0,501 0,620 500 Hz 0,497 0,914 0,943 1 kHz 0,886 0,971 0,957 2 kHz 0,986 0,900 0,985

Bei 250 Hz verdreifacht der Luftspalt die Wirkung — von 0,17 auf 0,50 — und kommt damit nahe an das doppelte Material heran, das 0,62 liefert. Bei 500 Hz und darüber ist der Unterschied zwischen Luftspalt und doppelter Materialdicke praktisch verschwunden. Die Hälfte des Materials und ein bisschen Bautiefe leisten also fast dasselbe wie die volle Menge — vorausgesetzt, die Bautiefe ist da.

Interessant ist der Rückgang bei 2 kHz auf 0,900. Der Aufbau mit Luftspalt hat dort seinen ersten Einbruch bereits hinter sich: Er liegt bei rund 1.670 Hz, nämlich dort, wo die Gesamttiefe aus Spalt und Material — hier zehn Zentimeter — etwa eine halbe Wellenlänge misst. Die Vorderseite des Materials sitzt dann nahe einem Schnelleknoten und bekommt wenig Bewegung ab. Ein Luftspalt ist also kein pauschaler Gewinn, sondern verschiebt die ganze Wirkungskurve nach unten, samt ihrer Einbrüche. Nach unten ist bei Absorbern meist die richtige Richtung, aber der Preis steht hier.

Teil 4 — welcher Strömungswiderstand? 100 mm direkt an der Wand, Ξ variiert. Leere Felder liegen außerhalb des Gültigkeitsfensters:

text Ξ Ξ·d/ρ₀c₀ 125 Hz 250 Hz 500 Hz 1 kHz 2 kHz 3.000 0,7 0,162 0,418 0,781 0,956 0,938 6.000 1,5 0,181 0,530 0,914 0,986 0,981 10.000 2,4 0,223 0,620 0,943 0,957 0,985 20.000 4,9 — 0,657 0,839 0,884 0,957 50.000 12,1 — — 0,580 0,744 0,866

Hier steht das Optimum als Zahl da, das der Glossareintrag nur qualitativ nennen konnte. Bei 500 Hz ist Ξ = 6.000 bis 10.000 am besten; bei 50.000 fällt der Absorptionsgrad auf 0,58, obwohl das Material erheblich dichter ist. Und die Verschiebung mit der Frequenz ist systematisch:

text bestes Ξ bei d = 100 mm:

250 Hz → Ξ ≈ 16.500 Pa·s/m² α = 0,67 Ξ·d ≈ 4,0 · ρ₀c₀ 500 Hz → Ξ ≈ 9.250 Pa·s/m² α = 0,94 Ξ·d ≈ 2,2 · ρ₀c₀ 1 kHz → Ξ ≈ 5.500 Pa·s/m² α = 0,99 Ξ·d ≈ 1,3 · ρ₀c₀

Als Merkposten für die Auslegung taugt die rechte Spalte: Der Gesamtwiderstand der Schicht, Ξ·d, sollte grob beim Ein- bis Vierfachen der Schallkennimpedanz der Luft liegen. Je tiefer die Zielfrequenz, desto weiter oben in dieser Spanne — bei 250 Hz beim Vierfachen, bei 1 kHz nur noch beim 1,3-Fachen. Das ist eine Auslegungsregel, die ohne diese Näherung nicht zu haben ist.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge bleibt die übliche. Zuerst die Konzeptfrage: Welcher Frequenzbereich soll bedämpft werden, und ist ein poröser Absorber dafür überhaupt das richtige Verfahren? Unterhalb von rund 200 Hz lautet die Antwort in üblichen Bautiefen nein, und dann führt der Weg zu den abgestimmten Bauformen. Erst danach das Verfahren: Bautiefe festlegen — sie ist der stärkste und billigste Hebel —, dann den Strömungswiderstand nach der Regel oben wählen. Und erst ganz zuletzt das Produkt, das diesen Wert liefert — nicht als erster Schritt, wie es in der Praxis meistens läuft.

Verknüpfte Inhalte

Was der Strömungswiderstand ist, welche drei gleichnamigen Größen zu trennen sind und warum ein Datenblattwert ohne Einheit nichts nützt, steht im Eintrag zum Strömungswiderstand — diese Seite setzt ihn voraus. Wie poröse Absorber überhaupt arbeiten, erklärt die Absorption, warum der Wandabstand so viel ausmacht, die Schallschnelle, und was die Ergebnisgröße aussagt, der Absorptionsgrad. Für den Tiefton führen die abgestimmten Bauformen weiter: Helmholtz-Resonator und Plattenschwinger, eingeordnet beim Bassabsorber. Die Anwendung auf Gewebe vor einer Absorberfläche behandelt die Seite zur akustisch wirksamen Stoffbespannung, der Aufbau dahinter die Akustik-Vorwand.

Quellen

Die Potenzansätze gehen auf die Messreihen von Delany und Bazley am National Physical Laboratory zurück; die Schichtrechnung darüber ist die übliche Impedanztransformation der technischen Akustik. Das Messverfahren für Ξ steht in ISO 9053, die Vergleichsmessungen in ISO 354 (diffuses Feld) und ISO 10534-2 (senkrechter Einfall).