Schlitzplatten- und mikroperforierte Absorber

Der Helmholtz-Resonator rechnet die Lochplatte mit runden Öffnungen. Zwei nahe verwandte Bauformen fallen dort durch: die Schlitzplatte, weil für Schlitze eine ganz andere Mündungskorrektur gilt, und die mikroperforierte Platte, weil bei ihr gar nicht mehr die Abstimmung allein zählt, sondern die Reibung in den Löchern. Diese Seite rechnet beide.

Natürliche Erklärung

Warum Schlitze anders rechnen als Löcher. Die Mündungskorrektur zählt die Luft, die vor und hinter der Öffnung mitgerissen wird, zur schwingenden Masse. Bei einem runden Loch ist dieses Anhängsel ein kleiner Klumpen mit dem Radius als einziger Länge — daher die verbreitete Korrektur von 1,7·r. Ein Schlitz hat keine solche Länge. Seine Öffnung ist in einer Richtung sehr lang, und die mitgerissene Luft verteilt sich entsprechend weit über die Fläche. Wie weit, hängt davon ab, wo der nächste Schlitz anfängt — deshalb steht in der Schlitzkorrektur der Schlitzabstand b, den die Lochformel gar nicht kennt.

Der Unterschied ist damit keine Feinheit der zweiten Stelle, sondern verschiebt das Ergebnis um einen Faktor. Im Rechenbeispiel unten ist die Schlitzkorrektur mehr als dreimal so groß wie die Plattendicke, während die entsprechende Lochkorrektur bei einem Fünftel liegt. Wer die Lochformel auf eine Schlitzplatte anwendet, rechnet die Abstimmung um fast eine Oktave zu hoch — bei einem schmalbandigen Absorber ist das ein Totalausfall.

Warum kleine Löcher ohne Dämmstoff auskommen. Ein bewegter Luftpfropfen reibt an der Wand seines Kanals. Wie stark, hängt vom Verhältnis des Kanaldurchmessers zur Dicke der zähen Grenzschicht ab, die sich an der Wand ausbildet — bei Luft liegt sie zwischen wenigen Hundertstel- und gut zwei Zehntelmillimetern und wird mit steigender Frequenz dünner — 0,22 mm bei 100 Hz, 0,10 mm bei 500 Hz, 0,07 mm bei 1 kHz. Bei einem Loch von 5 mm ist die Grenzschicht ein Randphänomen, und der Pfropfen bewegt sich fast reibungsfrei; deshalb braucht der klassische Lochplattenabsorber ein Vlies, um überhaupt Bandbreite zu bekommen. Wird das Loch dagegen auf einige Zehntelmillimeter verkleinert, füllt die Grenzschicht einen erheblichen Teil des Querschnitts aus, und die Reibung im Loch selbst liefert genau den Verlust, den sonst der Dämmstoff beisteuert.

Genau diese Umkehrung ist der Gewinn. Ein Absorber ohne poröses Material im Hohlraum kann aus Acrylglas oder Glas bestehen und trotzdem wirken — als Element vor einem Fenster, als transparente Deckenfläche, als Sichtfläche, die als Absorber nicht erkennbar ist. Er ist außerdem faserfrei, waschbar und altert nicht durch Staubeintrag. Der Preis steht in der Formel: r hängt von 1/d² ab, also verlangt die Auslegung sehr enge Toleranzen beim Bohren, und der Öffnungsanteil liegt im Bereich weniger Promille bis weniger Prozent.

Und warum beide Bauformen doch dieselben bleiben. Feder ist in allen Fällen die eingeschlossene Luft im Hohlraum, Masse die Luft in den Öffnungen. Alle Wirkrichtungen des Helmholtz-Resonators gelten unverändert: größerer Hohlraum tiefer, kleinerer Öffnungsanteil tiefer, dickere Platte tiefer, und alles unter der Wurzel, also nur zur Hälfte. Diese Seite ergänzt nur, was die Grundformel bei diesen beiden Bauformen nicht leistet.

Eingangsgrößen und Einheiten

r und ω_m sind bezogene Größen, also bereits durch ρ₀c₀ geteilt und damit dimensionslos. Das ist der Grund, warum das Ziel schlicht r = 1 lautet und keine Einheit hat.

Der Ausdruck cot(ω·D/c₀) ist die Reaktanz des Luftpolsters hinter der Platte, ebenfalls bezogen. Er wird null, wenn die Hohlraumtiefe eine Viertelwellenlänge beträgt — dann tritt die Platte allein in Erscheinung, und der Absorber arbeitet unabhängig von der Abstimmung als Widerstand im Schnellemaximum.

Bei Schlitzplatten ist b der Abstand von Schlitzmitte zu Schlitzmitte, also Schlitzbreite plus Steg. Wer statt dessen die Stegbreite einsetzt, bekommt einen zu kleinen Öffnungsanteil und eine zu tiefe Abstimmung.

Gültiger Bereich und Annahmen

Für die Schlitzformel gelten dieselben Voraussetzungen wie beim Lochplattenabsorber: Schlitzabstand klein gegen die Wellenlänge bei f₀, luftdichter Hohlraum, schallharte und nicht mitschwingende Wandungen, Öffnungsanteil unter etwa 20 Prozent. Sie sind alle beim Helmholtz-Resonator ausgeführt und werden hier nicht wiederholt.

Hinzu kommt eine eigene: Die Mündungskorrektur gilt für ein periodisches Feld gleich breiter, paralleler Schlitze. Eine Platte mit unregelmäßig verteilten Schlitzen oder mit sehr wenigen, weit auseinanderliegenden ist damit nicht erfasst — bei großem b liefert die Formel Korrekturen, die größer sind als jeder plausible Aufbau, und das ist das Signal, den Bereich verlassen zu haben.

Das Maa-Modell gilt für Lochdurchmesser unterhalb von etwa einem Millimeter und Öffnungsanteile im Bereich von rund 0,3 bis 3 Prozent. Es setzt laminare Strömung in den Löchern voraus, also kleine Auslenkungen; bei hohen Schalldrücken, die im Heimkino regelmäßig vorkommen, wird die Strömung nichtlinear, der Widerstand steigt mit dem Pegel, und die Rechnung stimmt nicht mehr.

Beide Teile rechnen senkrechten Schalleinfall. Der Absorptionsgrad im diffusen Feld eines Raums nach ISO 354 fällt anders aus; direkt vergleichbar ist die Messung im Impedanzrohr nach ISO 10534-2.

Grenzen

Die Schlitzformel liefert eine Frequenz, keinen Absorptionsgrad. Wie breit die Wirkung wird und wie hoch das Maximum ausfällt, hängt an der Bedämpfung im Hohlraum, die in der Formel nicht vorkommt. Das ist dieselbe Grenze wie beim Lochplattenabsorber und dort ausführlich beschrieben.

Das Maa-Modell liefert dagegen den Absorptionsgrad, aber nur für diesen einen Aufbau. Wird zusätzlich Dämmstoff in den Hohlraum gelegt, gilt es nicht mehr — was in der Praxis auch niemand tut, weil damit der einzige Vorteil der Bauform verloren ginge.

Die Fertigung ist die eigentliche Hürde. Bei d = 0,5 mm und einem Öffnungsanteil von einem Prozent stehen auf einem Quadratmeter rund fünfzigtausend Löcher. Das ist industriell machbar, in einer Schreinerei dagegen nicht. Mikroperforierte Absorber sind deshalb ein Zukaufteil, und die Auslegung besteht meist darin, aus verfügbaren Perforationsbildern das passende auszuwählen — wofür diese Rechnung genau das richtige Werkzeug ist.

Rechenbeispiel

Teil 1 — eine Schlitzplatte, und der Fehler, den die Lochformel macht. Eine 19 mm starke Platte mit 5 mm breiten Schlitzen im Raster von 50 mm, davor 100 mm Hohlraum:

text σ = 5 / 50 = 0,100

ΔL = (2 · 0,050 / π) · ln( 1 / sin(π·0,100/2) ) = 0,03183 · ln(1 / 0,15643) = 0,03183 · 1,8551 = 0,0591 m

L_eff = 0,019 + 0,0591 = 0,0781 m

f₀ = 54,6 · √( 0,100 / (0,100 · 0,0781) ) = 54,6 · √12,81 = 54,6 · 3,579 = 195 Hz

Die Korrektur beträgt 59,1 mm bei einer 19 mm dicken Platte — mehr als das Dreifache der Plattendicke. Und nun dieselbe Platte, falsch gerechnet:

text ohne jede Korrektur (L_eff = t = 19 mm): 396 Hz mit der Lochkorrektur 1,7·r für r = w/2 = 2,5 mm: 358 Hz richtig, mit Schlitzkorrektur: 195 Hz

Der Griff zur Lochformel verfehlt die Abstimmung um den Faktor 1,83, also um 0,87 Oktaven. Bei einem Absorber, der auf eine bestimmte Raummode gesetzt wird, arbeitet er damit nicht schwächer als geplant, sondern an der falschen Stelle. Diese Fehlerklasse zu vermeiden ist der Anlass für diese Seite.

Teil 2 — die Stellschrauben. Dieselbe Platte, 19 mm, 100 mm Hohlraum:

text w b σ L_eff f₀ 5,0 mm 50 mm 0,1000 78,1 mm 195 Hz Ausgangspunkt 5,0 mm 100 mm 0,0500 181,0 mm 91 Hz Raster verdoppelt 2,5 mm 50 mm 0,0500 100,0 mm 122 Hz Schlitz halbiert 10,0 mm 50 mm 0,2000 56,4 mm 325 Hz Schlitz verdoppelt 5,0 mm 25 mm 0,2000 37,7 mm 398 Hz Raster halbiert

Bemerkenswert ist der Vergleich der Zeilen zwei und drei: Beide haben denselben Öffnungsanteil von 5 Prozent, landen aber bei 91 und 122 Hz — ein Drittel Unterschied allein aus der Rasterwahl. Bei runden Löchern gibt es diesen Effekt auch, aber er ist schwach: Zwei Lochplatten mit σ = 0,05 und gleicher Bautiefe, einmal mit 5 mm und einmal mit 10 mm Lochdurchmesser, liegen bei 253 und 233 Hz, also keine neun Prozent auseinander. Der Grund steht in den Formeln: Die Lochkorrektur 1,7·r wächst mit dem Lochradius und bleibt klein, die Schlitzkorrektur wächst mit dem Rastermaß b und wird groß. Bei Schlitzplatten bestimmt der Öffnungsanteil die Abstimmung nicht allein — das Raster zählt eigenständig mit, und zwar kräftig.

Und die Hohlraumtiefe wirkt wie gewohnt:

text D = 50 mm → 276 Hz D = 100 mm → 195 Hz D = 150 mm → 160 Hz D = 200 mm → 138 Hz

Teil 3 — eine mikroperforierte Platte. Acrylglas, 0,5 mm dick, Löcher von 0,5 mm Durchmesser, Öffnungsanteil 1 Prozent, 100 mm Hohlraum:

text bei 500 Hz:

k = 0,5 · √(500/10) = 3,54 (ausgeschrieben 3,58) r = 0,384 ω_m = 0,964 cot(ω·D/c₀) = cot(2π·500·0,100/343) = 0,768

α = 4·0,384 / ( 1,384² + (0,964 − 0,768)² ) = 0,786

Über die Frequenz, zusammen mit vier Varianten:

text Aufbau 125 Hz 250 Hz 500 Hz 1 kHz 2 kHz d 0,5 · t 0,5 · σ 1,0 % · D 100 0,071 0,330 0,786 0,265 0,353 d 0,2 · t 0,5 · σ 1,0 % · D 100 0,295 0,683 0,905 0,659 0,757 d 0,5 · t 0,5 · σ 0,5 % · D 100 0,151 0,697 0,687 0,179 0,121 d 0,5 · t 0,5 · σ 3,0 % · D 100 0,023 0,097 0,348 0,281 0,444 d 0,5 · t 0,5 · σ 1,0 % · D 200 0,262 0,732 0,448 0,845 0,182

Der Zusammenhang wird erst sichtbar, wenn man r danebenstellt — jeweils an der ersten Resonanz des Aufbaus:

text Aufbau f₀ (α-Max) r α_max α ≥ 0,5 über σ = 0,5 % 349 Hz 0,72 0,974 1,49 Oktaven σ = 1,0 % 467 Hz 0,38 0,797 1,25 Oktaven σ = 3,0 % 666 Hz 0,14 0,419 0 (erreicht 0,5 nie) d = 0,2 mm 497 Hz 1,89 0,905 2,74 Oktaven

f₀ ist hier als Lage des Absorptionsmaximums angegeben und nicht als exakte Nullstelle der Reaktanz; beide liegen je nach Aufbau bis zu rund drei bis vier Prozent auseinander, und für die Auslegung ist das Maximum die nützlichere Zahl.

Hier steht die Auslegungsregel als Zahlenreihe. Bei σ = 0,5 Prozent liegt r mit 0,72 nahe an der Eins, und der Absorptionsgrad erreicht 0,97 — praktisch vollständige Absorption in der Resonanz. Bei 3 Prozent ist die Platte zu offen, r fällt auf 0,14, und der Absorber erreicht nie auch nur die Hälfte. Ausgerechnet die Platte, die am meisten nach Akustikelement aussieht, arbeitet am schlechtesten.

Der letzte Fall zeigt den anderen Ast: Feinere Löcher treiben r über die Eins hinaus. Das Maximum sinkt wieder — von 0,97 auf 0,91 —, aber die Wirkung wird deutlich breiter, 2,7 statt 1,5 Oktaven. Bei r = 1 ist der Absorber am besten, bei r > 1 am breitesten. Was gebraucht wird, entscheidet die Aufgabe: gegen eine einzelne Mode das Maximum, für eine allgemeine Bedämpfung die Bandbreite.

Was daraus für die Planung folgt. Die Reihenfolge bleibt die gewohnte, und sie beginnt nicht bei der Bauform. Zuerst die Konzeptfrage: Was soll bedämpft werden, und ist ein abgestimmter Absorber dafür überhaupt richtig? Über 500 Hz ist er es fast nie; warum dort poröses Material die bessere Wahl ist, steht beim Helmholtz-Resonator, und gerechnet wird es über die Delany-Bazley-Näherung.

Erst danach das Verfahren, und dann gibt es genau drei Gründe, eine dieser beiden Bauformen der Lochplatte vorzuziehen. Schlitze, weil die Optik eine Lamellenstruktur verlangt — akustisch bringen sie gegenüber runden Löchern nichts, sie rechnen nur anders. Mikroperforation, weil die Fläche transparent oder faserfrei sein muss. Und Mikroperforation ein zweites Mal, weil sie ohne Vlies auskommt und damit an Stellen funktioniert, an denen Dämmstoff nicht sein darf — hinter Glas, in Hygienebereichen, in Lüftungsführungen. Wenn keiner dieser Gründe zutrifft, ist die einfache Lochplatte die richtige Wahl.

Verknüpfte Inhalte

Die Grundrechnung des abgestimmten Absorbers samt Masse-Feder-Bild, Mündungskorrektur für runde Löcher und allen gemeinsamen Voraussetzungen steht beim Helmholtz-Resonator — diese Seite setzt sie voraus. Die zweite abgestimmte Bauform rechnet der Plattenschwinger; welche Bauformen es insgesamt gibt, wo sie im Raum hingehören und warum sie in der Maßnahmenreihenfolge hinten stehen, ordnet der Bassabsorber ein. Oberhalb des Resonanzbereichs übernimmt der poröse Absorber, gerechnet über die Delany-Bazley-Näherung; das gemeinsame Optimum beider Welten erklärt der Strömungswiderstand. Warum der Ort im Raum über die Wirkung mitentscheidet, steht bei der Schallschnelle, die Einbausituation bei der Akustik-Vorwand.

Quellen

Die Schlitzkorrektur folgt der Behandlung von Resonatoröffnungen in der Fachliteratur, die auf Ingard und über ihn auf Rayleigh zurückgeht; das Impedanzmodell mikroperforierter Platten auf die Arbeiten von Dah-You Maa. Messverfahren stehen in ISO 354 und ISO 10534-2.