Spannungsteiler Quelle-Last und Dämpfungsfaktor

Jede Quelle hat einen eigenen Innenwiderstand, und jede Last hängt dahinter. Beide liegen in Reihe, beide bekommen den Anteil der Spannung, der ihrem Widerstand entspricht — das ist ein Spannungsteiler. Aus dieser einen Teilung folgen drei Zahlen, die in Datenblättern und Planungen getrennt auftauchen: die Spannung an der Last, der Pegelverlust in Dezibel und der Dämpfungsfaktor. Alle drei kommen aus derselben Teilung, und aus ihr folgt auch, warum die Zahl im Verstärkerdatenblatt an den Klemmen gilt und am Lautsprecher eine andere ist.

Natürliche Erklärung

Eine Quelle lässt sich als ideale Spannungsquelle mit einem Widerstand in Reihe denken. Ohne angeschlossene Last fließt kein Strom, und an diesem Widerstand fällt nichts ab — deshalb heißt die volle Spannung Leerlaufspannung. Sobald eine Last daran hängt, fließt derselbe Strom durch beide Widerstände, und weil an jedem Widerstand die Spannung proportional zu seinem Wert abfällt, teilt sich die Quellenspannung im Verhältnis der beiden Impedanzen auf.

Daraus folgt die erste und wichtigste Konsequenz: Der Absolutwert einer Ausgangsimpedanz sagt für sich genommen nichts. Zehn Ohm sind an einem 10-kΩ-Eingang bedeutungslos und an einem 16-Ohm-Kopfhörer eine hörbare Größe. Erst das Verhältnis der beiden Zahlen ergibt ein Ergebnis, und genau dieses Verhältnis ist der Dämpfungsfaktor.

Warum Pegelverlust und Dämpfungsfaktor dieselbe Zahl sind

Zwei Fachgebiete lesen denselben Teiler verschieden. In der Tontechnik zählt, wie viel Pegel verloren geht, also eine Dezibel-Angabe. In der Lautsprechertechnik zählt, wie fest die Endstufe die Schwingspule elektrisch bremst, und dafür hat sich das Verhältnis selbst als Kennzahl eingebürgert. Rechnerisch ist das dieselbe Größe in zwei Kleidern:

Zwei bekannte Faustregeln stehen in dieser Tabelle als Zeilen. Die Planungsgrenze, den Schleifenwiderstand unter fünf Prozent der Nennimpedanz zu halten, ist die Zeile mit Dämpfungsfaktor 20 und kostet 0,42 dB. Die Regel für Kopfhörerausgänge, die Ausgangsimpedanz bei höchstens einem Achtel der Kopfhörerimpedanz zu halten, ist die Zeile mit Dämpfungsfaktor 8 und kostet 1,02 dB — sie ist aus rund einem Dezibel als angenommener Hörbarkeitsschwelle hergeleitet und geht deshalb rechnerisch genau auf. Beide Regeln sagen dasselbe, gemessen an verschiedenen Schwellen.

Wo die Quellimpedanz aufhört

Die Zahl im Datenblatt eines Verstärkers ist ein Klemmenwert. Sie entsteht aus der Ausgangsimpedanz des Geräts und einer angenommenen Last, fast immer acht Ohm: Dämpfungsfaktor 500 bedeutet 0,016 Ω Innenwiderstand.

Am Lautsprecher gilt dieser Wert nicht mehr, weil in Z_Quelle alles zählt, was zwischen der Endstufe und der Schwingspule in Reihe liegt. Rod Elliott von Elliott Sound Products, dessen Aufsatz zur Impedanz in Audiogeräten im Stand von Januar 2010 vorliegt, führt diese Reihe vollständig auf: Innenwiderstand des Geräts, Kabel mit Hin- und Rückleiter, Klemmen und Steckverbinder, Gleichstromwiderstand der Spulen in der Frequenzweiche und die Schwingspule selbst. Er rechnet den Dämpfungsfaktor konsequent gegen diese Summe.

Den größten Beitrag liefert dabei fast immer die Leitung, und dieser Beitrag ist eine harte Obergrenze. Ein besseres Gerät verschiebt an 0,016 Ω wenig, wenn daneben 0,27 Ω Kupfer stehen. Wer den Dämpfungsfaktor für wichtig hält, redet folglich zuerst über den Querschnitt und erst danach über das Gerät — dieselbe Reihenfolge, die auch Yamaha in seiner Schulungsreihe angibt.

Der zweite Fall: Line-Pegel

Bei Line-Verbindungen führt derselbe Teiler zur umgekehrten Auslegung. Ein Mikrofon mit 600 Ω Quellimpedanz an einem Eingang mit ebenfalls 600 Ω gibt genau die Hälfte seiner Spannung ab, also 6,02 dB weniger. Elliott rechnet vor, was das kostet: Die fehlenden 6 dB holt der Vorverstärker nach und bringt 6 dB mehr Rauschen mit. Der Verlust schlägt also an der empfindlichsten Stelle der Kette auf den Störabstand durch.

Stand der Technik ist deshalb die Spannungsanpassung — niederohmige Quelle, hochohmige Last. Sie hält den Pegel, spart die nachgeholte Verstärkung und macht das Ergebnis von der Last unabhängig: Ein Ausgang mit 100 Ω gibt an 10 kΩ praktisch dieselbe Spannung ab wie an 47 kΩ. Ausführlich steht das bei Ausgangsimpedanz, die Herkunft der 600 Ω aus der Fernsprechtechnik bei den Pegelkonventionen.

Eingangsgrößen und Einheiten

Der Faktor 20 im Logarithmus gehört zur Spannung. Wäre die Größe eine Leistung, stünde dort 10; die Begründung dafür steht beim Dezibel.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Rechnung gilt für Audiofrequenzen und Installationslängen, solange sich beide Impedanzen als reelle Widerstände einsetzen lassen. Das deckt Line-Verbindungen, Kopfhörerausgänge und Lautsprecherleitungen ab. Bei Gleichstromversorgungen zählt statt eines Dezibel-Verlusts die absolute Volt-Zahl am Geräteeingang; dafür gilt Spannungsabfall auf Gleichstromleitungen.

Angenommen wird außerdem, dass die Quelle in ihrem linearen Bereich arbeitet. Eine Endstufe an der Strombegrenzung oder ein Ausgang in der Schutzabschaltung verhält sich anders als ein fester Reihenwiderstand, und dann beschreibt diese Formel den Zustand nicht mehr.

Grenzen

Die Lastimpedanz ist selten eine Konstante. Bei Lautsprechern schwankt sie über die Frequenz erheblich — bei der Bassresonanz steigt sie auf ein Vielfaches des Nennwerts, darüber fällt sie oft unter ihn, nachzulesen bei Impedanz. Aus einem festen Pegelverlust wird damit eine Frequenzgangabweichung, die der Impedanzkurve folgt. Wer den Nennwert einsetzt, bekommt eine untere Schranke, keine Obergrenze. Der Verstärkerhersteller Benchmark Media beziffert bei Dämpfungsfaktor 10 einen Bassverlust von 2,3 dB nahe 119 Hz und über den ganzen Frequenzgang bei Dämpfungsfaktor 100 rund 0,2 dB; diese Formel liefert mit der festen Nennimpedanz 0,83 dB und 0,09 dB. Die beiden Zahlenpaare messen Verschiedenes: hier den Verlust an einem konstant gedachten Widerstand, dort den Verlust an der Stelle, an der die Impedanz eines wirklichen Lautsprechers unter ihren Nennwert fällt. Genau dort ist das Verhältnis am ungünstigsten, und genau das unterschlägt eine Rechnung mit einer festen Zahl.

Blindanteile bleiben außen vor. Impedanz meint Betrag und Phase; die Formel rechnet mit Beträgen. Für Installationslängen bei Audiofrequenzen ist das üblich und ausreichend. Sobald eine Leitung im Verhältnis zur Wellenlänge lang wird, gilt das nicht mehr, und dann zählt der Wellenwiderstand — der Fall bei Abschlusswiderständen.

Hörbarkeit steckt in dieser Rechnung nicht drin. Heraus kommt eine elektrische Größe. Ab welchem Dämpfungsfaktor ein Unterschied hörbar wird, ist offen: Die veröffentlichten Zielgrößen für den fertigen Aufbau liegen zwischen etwa 20 und 150, also fast eine Größenordnung auseinander. Die Herleitung dieser Spanne steht beim Dämpfungsfaktor.

Rechenbeispiele

Der Dämpfungsfaktor wird von der Leitung gedeckelt

Eine Endstufe mit angegebenem Dämpfungsfaktor 500 an acht Ohm treibt einen Lautsprecher über zehn Meter Leitung mit 1,5 mm² Querschnitt.

text Innenwiderstand des Geräts: Z_Gerät = 8 Ω / 500 = 0,016 Ω

Schleifenwiderstand nach IEC 60228 (1,5 mm² = 13,3 Ω/km): R_Schleife = 13,3 Ω/km · 2 · 0,010 km = 0,266 Ω

Quellimpedanz am Lautsprecher: Z_Quelle = 0,016 Ω + 0,266 Ω = 0,282 Ω

Dämpfungsfaktor am Lautsprecher: DF = 8 Ω / 0,282 Ω = 28,4

Pegelverlust: ΔL = 20 · log10( 8 / 8,282 ) = −0,30 dB

Aus 500 werden 28. Der Beitrag der Leitung ist mehr als sechzehnmal so groß wie der des Geräts, und deshalb liegt der zweite Verstärker mit Dämpfungsfaktor 1000 an derselben Leitung bei 29 — praktisch gleichauf.

Dieselbe Rechnung mit der zweiten Rechenbasis. Für den spezifischen Widerstand von Kupfer sind zwei Werte in Gebrauch: rund 0,0175 Ω·mm²/m für idealisiertes Kupfer und rund 0,0199 Ω·mm²/m — auf diesen Wert laufen die IEC-60228-Höchstwerte für die hier verwendeten Querschnitte hinaus. Mit dem kleineren Wert ergibt sich:

text R_Schleife = 2 · 0,0175 Ω·mm²/m · 10 m / 1,5 mm² = 0,233 Ω Z_Quelle = 0,016 Ω + 0,233 Ω = 0,249 Ω DF = 8 Ω / 0,249 Ω = 32,1 ΔL = 20 · log10( 8 / 8,249 ) = −0,27 dB

Aus 500 werden also 28 bis 32, je nach Rechenbasis. Die Spanne von rund zwölf Prozent im Schleifenwiderstand ändert an der Aussage nichts, und für eine Auslegung mit Reserve ist der Norm-Höchstwert die konservative Wahl. Die Rechenwerte je Querschnitt und die Herleitung des Schleifenwiderstands stehen bei Schleifenwiderstand einer Leitung.

Umgekehrt gerechnet: welcher Dämpfungsfaktor für welche Grenze?

Steht eine Höchstgrenze für den Pegelverlust fest, lässt sich die Brückenformel nach DF auflösen:

text DF = 10^(ΔL/20) / ( 1 − 10^(ΔL/20) ) mit ΔL negativ in dB

Damit wird aus einer Pegelvorgabe unmittelbar eine Querschnittsfrage. Für 0,5 dB an einem Vier-Ohm-Lautsprecher stehen 0,24 Ω zur Verfügung; davon geht der Innenwiderstand des Geräts ab, und der Rest ist das Budget für die Leitung.

Der lange Weg aus dem Technikraum

Der Hörraum liegt zwanzig Meter von den Endstufen entfernt, die Lautsprecher haben vier Ohm Nennimpedanz, verlegt sind 2,5 mm².

text IEC-60228-Basis (7,98 Ω/km): R_Schleife = 7,98 Ω/km · 2 · 0,020 km = 0,319 Ω DF = 4 Ω / 0,319 Ω = 12,5 ΔL = −0,67 dB

Basis ρ = 0,0175 Ω·mm²/m: R_Schleife = 2 · 0,0175 · 20 / 2,5 = 0,280 Ω DF = 4 Ω / 0,280 Ω = 14,3 ΔL = −0,59 dB

Gerechnet ist dabei die Leitung allein; ein Geräte-Innenwiderstand von 0,016 Ω drückt den ersten Wert noch auf 11,9. Der Pegelverlust von rund 0,6 dB gleicht jede Einmessung aus. Die zweite Zahl ist die interessante: Ein Dämpfungsfaktor um 13 liegt unter jeder der veröffentlichten Zielgrößen, und kein Gerätewechsel hebt ihn an. Vier Quadratmillimeter heben denselben Aufbau auf 20 bis 23, wieder je nach Rechenbasis — das erhöht die Leitungskosten und macht die Verlegung schwerer. Die Konzeptfrage steht damit vor der Verfahrensfrage: Erst entscheidet sich, ob die Endstufen überhaupt zentral stehen, danach fällt die Wahl zwischen größerem Querschnitt, kürzerem Weg und Endstufen nahe am Lautsprecher — und erst zuletzt geht es um das Gerät. Die Abwägung dazu steht bei Technikraum für AV-Technik.

Line-Pegel: was gleiche Impedanzen kosten

text 600 Ω Quelle an 600 Ω Last: U_Last / U_Quelle = 600 / 1200 = 0,5 ΔL = 20 · log10(0,5) = −6,02 dB

600 Ω Quelle an 10 kΩ Eingang: U_Last / U_Quelle = 10000 / 10600 = 0,943 ΔL = 20 · log10(0,943) = −0,51 dB

100 Ω Quelle an 10 kΩ Eingang: U_Last / U_Quelle = 10000 / 10100 = 0,990 ΔL = 20 · log10(0,990) = −0,09 dB

Die drei Zeilen sind das Argument für die Spannungsanpassung in einer Rechnung. Sechs Dezibel gegen ein Zehntel Dezibel — und das kostet nur die Entscheidung, den Eingang hochohmig auszulegen.

Verknüpfte Inhalte

Was die Quellimpedanz eines Geräts bedeutet, woher hohe Werte kommen und warum die Spannungsanpassung Stand der Technik ist, steht bei Ausgangsimpedanz. Was der Dämpfungsfaktor für die Wiedergabe bedeutet und wie strittig seine Hörbarkeit ist, steht in seinem Glossareintrag. Die Größe im Nenner dieser Rechnung — der Schleifenwiderstand der Leitung — wird bei Schleifenwiderstand einer Leitung gebildet, mit Normwerten je Querschnitt und Länge; wie sich Querschnitt und AWG entsprechen, steht bei Leiterquerschnitt und AWG. Angewandt auf die Auslegung einer Lautsprecherstrecke steht dieselbe Teilung bei Lautsprecherleitungen als Leistungsweg, angewandt auf zentrale Endstufen bei Technikraum für AV-Technik und auf Kopfhörerausgänge bei Kopfhörer als eigener Wiedergabeweg. Warum die Lastimpedanz über die Frequenz schwankt, erklärt Impedanz; die spiegelbildliche Rechnung für Gleichstromversorgungen, bei der eine Volt-Untergrenze statt eines Dezibel-Verlusts zählt, steht bei Spannungsabfall auf Gleichstromleitungen.

Quellen

Der Spannungsteiler zwischen Quell- und Lastimpedanz, das 600-Ω-Beispiel mit seinen 6 dB Pegel- und Rauschabstandsverlust, die Definition des Dämpfungsfaktors als Verhältnis von Last zu Quelle und die vollständige Reihe der Widerstände zwischen Endstufe und Schwingspule folgen Rod Elliott. Die Zuordnung von Dämpfungsfaktor und Ausgangsimpedanz an acht Ohm sowie die Abweichungen von 2,3 dB bei Dämpfungsfaktor 10 und rund 0,2 dB bei 100 sind Angaben von Benchmark Media, einem Verstärkerhersteller; die Aussage, dass oberhalb eines gewissen Werts der Querschnitt mehr bringt als der Datenblattwert, gibt auch Yamaha in seiner Schulungsreihe so an. Diese drei Quellen sind für diese Seite aus den Glossareinträgen zu Ausgangsimpedanz und Dämpfungsfaktor übernommen und nicht erneut am Objekt gelesen worden. Die Widerstandsbeläge je Querschnitt stammen aus IEC 60228:2004 in der Wiedergabe von Nexans, übernommen aus Schleifenwiderstand einer Leitung. Sämtliche Pegelverluste, Dämpfungsfaktoren und die Umkehrrechnung in den Tabellen sind selbst berechnet.