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Fresnel-Reflexionsgrad und Brewster-Winkel
Wie viel Licht wirft eine Grenzfläche zwischen zwei durchsichtigen Stoffen zurück — und bei welchem Einfallswinkel verschwindet eine der beiden Polarisationsrichtungen aus dem Reflex?
Eingangsgrößen
Jede Grenze zwischen zwei durchsichtigen Stoffen wirft einen Teil des Lichts zurück, und wie viel es ist, folgt aus zwei Zahlen ohne Einheit: den Brechzahlen der beiden Stoffe. Diese Seite rechnet beides aus — den zurückgeworfenen Anteil bei senkrechtem Einfall und den einen Einfallswinkel, bei dem eine der beiden Schwingungsrichtungen des Lichts gar nicht zurückkommt.
Jede Scheibe ist ein bisschen Spiegel, auch eine blitzsaubere. Immer wenn Licht von Luft in etwas Festes übergeht oder wieder heraus, kehrt ein kleiner Teil davon um. Einmal fällt das kaum auf. In einem Kameraobjektiv liegen aber ein Dutzend solcher Flächen hintereinander, und dann ist gut ein Drittel des Lichts weg und legt sich als Schleier über das Bild. Deshalb sind die Gläser guter Objektive beschichtet, und deshalb stört jede zusätzliche Scheibe vor einem Bildschirm mehr, als sie aussieht.
Natürliche Erklärung
Die Brechzahl sagt, wie stark ein Stoff das Licht verlangsamt: Sie ist der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit im Stoff. An einer Grenzfläche ändert sich diese Geschwindigkeit sprunghaft, und die Welle kann darauf nicht beliebig reagieren — elektrisches und magnetisches Feld müssen auf beiden Seiten der Fläche zusammenpassen. Erfüllen lässt sich das nur, wenn ein Teil der Welle umkehrt. Der Reflex gehört damit zum Durchgang dazu: Ohne ihn ließe sich der Sprung an der Fläche gar nicht überbrücken. Geschluckt wird an einer sauberen Grenzfläche nichts — was nicht umkehrt, läuft weiter.
Wer aus der Akustik kommt, erkennt die Bauform der Formel wieder. Dort lautet der Reflexionsfaktor an einer Wand (Z − ρ₀c₀)/(Z + ρ₀c₀), also ebenfalls Differenz durch Summe zweier Kennwerte — die Rechnung zum winkelabhängigen Absorptionsgrad führt sie aus. In beiden Fällen entscheidet ein Sprung im Ausbreitungsverhalten darüber, wie viel zurückkommt, und in beiden Fällen wird nichts zurückgeworfen, wenn die beiden Kennwerte gleich sind. Dahinter steht beide Male dieselbe Physik: eine Welle, die auf eine Unstetigkeit ihrer Ausbreitungsbedingungen trifft.
Daraus folgt der Griff, mit dem man einen Reflex kleinbekommt, ohne die Fläche anzufassen: Man verkleinert den Sprung. Glas gegen Luft wirft rund 4 Prozent zurück, dasselbe Glas gegen Wasser nur noch rund 0,36 Prozent, weil Wasser der Brechzahl des Glases viel näher liegt als Luft. Genau darauf zielt die Vergütung einer Optik: Sie schiebt eine Zwischenschicht mit mittlerer Brechzahl dazwischen. Wie diese Schicht ausgelegt wird und warum ihre Dicke dabei mitspielt, führt die Entspiegelung von Displays aus.
Der Brewster-Winkel gehört zu einer anderen Frage. Er sagt nichts darüber, wie viel insgesamt zurückkommt, sondern wie das Zurückgeworfene schwingt. Licht schwingt quer zu seiner Laufrichtung, und an einer Grenzfläche zerlegt man diese Schwingung in zwei Fälle: in der Einfallsebene (p) und quer dazu (s). Für den p-Fall gibt es einen Winkel, bei dem der Reflex verschwindet — dort stehen der zurückgeworfene und der gebrochene Strahl genau senkrecht aufeinander. Aus dieser Bedingung und dem Brechungsgesetz folgt die Rechenvorschrift oben. Was ein Polarisationsfilter daraus machen kann und wo die Grenzen liegen, steht beim Brewster-Winkel; die Zerlegung selbst bei der Polarisation des Lichts.
Eingangsgrößen und Einheiten
| Symbol | Größe | Einheit |
|---|---|---|
| n₁ | Brechzahl des Herkunftsmediums | — |
| n₂ | Brechzahl des Zielmediums | — |
| R | Reflexionsgrad bei senkrechtem Einfall | — (meist in Prozent angegeben) |
| T | Transmissionsgrad, durchgelassener Anteil | — |
| θ | Einfallswinkel gegen die Flächennormale | Grad |
| θ_B | Brewster-Winkel der Grenzfläche | Grad |
| k | Zahl der Grenzflächen hintereinander | Stück |
Die Brechzahl hat keine Einheit; sie beginnt im Vakuum bei genau 1. Ihr Wert hängt von Frequenz, Polarisation und Richtung ab — eine Werkstoffangabe ohne Wellenlänge ist deshalb eine Größenordnung, auch wenn sie mit vier Nachkommastellen dasteht. Die üblichen Größenordnungen und der Grund, warum hier keine Werkstofftabelle steht, gehören zur Brechzahl.
Der Winkel θ wird gegen die Flächennormale gezählt: 0 Grad heißt senkrecht auf die Fläche, 90 Grad heißt streifend an ihr entlang. In der Bauphysik läuft die Zählung mancherorts umgekehrt, gegen die Fläche selbst — wer beide mischt, dreht den ganzen Verlauf um.
Gültiger Bereich und Annahmen
Die erste Formel gilt für senkrechten Einfall, und nur dort ist der Reflexionsgrad von der Polarisation unabhängig. Für jeden anderen Winkel braucht es die vollständigen Fresnelschen Formeln, die s- und p-Polarisation getrennt behandeln; der Brewster-Winkel ist der eine Punkt daraus, den diese Seite mitliefert.
Vorausgesetzt sind zwei durchsichtige, homogene Stoffe mit reellen Brechzahlen. Für absorbierende Stoffe einschließlich der Metalle wird die Brechzahl komplex, und die Reflexionsfaktoren sind dann im Allgemeinen keine reellen Zahlen mehr — die Rechnung oben ist auf einen verchromten Rahmen oder eine blanke Blende nicht anwendbar.
Vorausgesetzt ist außerdem eine ideal ebene und saubere Fläche. Unebenheiten schon unterhalb eines Mikrometers verändern das Ergebnis: Die Lichtmenge bleibt dabei ungefähr dieselbe, ihre Richtungen ändern sich. Aus dem scharfen Spiegelbild wird ein gleichmäßiger Schleier, und das ist der zweite Weg gegen Reflexe, den die Optik kennt.
Und die Formel beschreibt genau eine Grenzfläche. Liegen mehrere hintereinander, dürfen ihre Anteile multipliziert werden, solange die Flächen weit genug auseinanderliegen — bei einer Fensterscheibe ist das erfüllt. Bei einer dünnen Schicht von der Größenordnung der Wellenlänge überlagern sich die Teilwellen der beiden Flächen dagegen, und dann gilt das einfache Produkt nicht mehr. Genau diese Überlagerung ist das Arbeitsprinzip einer Antireflexschicht.
Grenzen
Der senkrechte Fall ist der günstigste, den es gibt. Vier Prozent an Glas sind der kleinste vorkommende Wert und nicht der übliche. Mit flacher werdendem Winkel steigt der zurückgeworfene Anteil, und im streifenden Einfall geht er gegen vollständige Reflexion, für beide Polarisationsrichtungen. Flach betrachtet spiegelt deshalb jede Fläche — eine nasse Straße gegen die tiefstehende Sonne ebenso wie eine Bildfläche, auf die ein seitliches Fenster fällt. Wer mit den vier Prozent plant, rechnet mit der Untergrenze.
Der Brewster-Winkel macht eine Fläche nicht dunkler. Er nimmt den p-Anteil aus dem Reflex und lässt den s-Anteil stehen, der dort sogar stärker zurückkommt als bei senkrechtem Einfall. Insgesamt spiegelt eine Glasfläche bei diesem Winkel mehr als frontal. Nützlich wird das erst mit einem Polarisationsfilter, und auch dann nur an durchsichtigen Flächen.
Die Rechnung sagt nichts über den Bildeindruck. Sie liefert einen Anteil der Leistung. Ob vier Prozent stören, entscheidet das Verhältnis zu dem, was die Bildfläche selbst abgibt: Vier Prozent eines hellen Fensters sind ein Vielfaches dessen, was eine dunkle Bildstelle hergibt. Warum das Auge Verhältnisse und keine Absolutwerte beurteilt, führt Wie das Auge Helligkeit beurteilt aus; die zugehörigen Grenzwerte für Flächen im Raum stehen bei der Umfeldleuchtdichte.
Totalreflexion ist ein anderer Fall. Beim Übergang ins optisch dünnere Medium gibt es ab einem Grenzwinkel überhaupt keinen durchgelassenen Anteil mehr. Diese Seite beschreibt den Teilreflex davor; den Grenzfall führt die Totalreflexion aus.
Rechenbeispiel
Teil 1 — der Reflexionsgrad über die Brechzahl. Das Licht kommt jeweils aus Luft (n₁ = 1,00):
text n₂ (n₂−n₁)/(n₂+n₁) R Zuordnung
1,10 0,10 / 2,10 = 0,0476 0,23 % 1,33 0,33 / 2,33 = 0,1416 2,01 % Wasser, sichtbares Licht 1,50 0,50 / 2,50 = 0,2000 4,00 % gewöhnliches Glas 2,00 1,00 / 3,00 = 0,3333 11,11 % 3,00 2,00 / 4,00 = 0,5000 25,00 % 5,00 4,00 / 6,00 = 0,6667 44,44 % 9,00 8,00 / 10,00 = 0,8000 64,00 % Wasser für Radiowellen
Die drei zugeordneten Zeilen sind belegt, die übrigen zeigen den Verlauf dazwischen. Bemerkenswert ist sein Anfang: Bis zu einer Brechzahl von etwa 1,1 bleibt der Reflex unter einem Viertelprozent. Der Sprung von Luft auf Glas ist also klein genug, dass 96 Prozent hindurchgehen, und groß genug, dass die verbleibenden 4 Prozent ein sichtbares Spiegelbild ergeben.
Teil 2 — der Sprung zählt, nicht der Werkstoff. Dasselbe Glas gegen verschiedene Nachbarn:
text Glas (1,50) gegen Luft (1,00): (0,50/2,50)² = 4,00 % Glas (1,50) gegen Wasser (1,33): (0,17/2,83)² = 0,36 % Glas gegen Glas derselben Sorte: 0,00 %
Elfmal weniger, ohne dass sich am Glas etwas geändert hätte. Das ist der Rechenweg hinter der Idee der Vergütung.
Teil 3 — mehrere Flächen hintereinander. Jede Grenzfläche lässt 96 Prozent durch, die Anteile multiplizieren sich:
text Flächen k T = 0,96^k durchgelassen verloren
1 0,960 96,0 % 4,0 % 2 0,922 92,2 % 7,8 % eine Scheibe 4 0,849 84,9 % 15,1 % zwei Linsen 8 0,721 72,1 % 27,9 % vier Linsen 12 0,613 61,3 % 38,7 % sechs Linsen
Die Zeile mit zwei Flächen ist die Fensterscheibe, und sie erklärt, warum eine zusätzliche Schutzscheibe vor einem Bildschirm nie folgenlos ist. Warum es Vergütungen überhaupt gibt, beantwortet die Zeile mit zwölf Flächen: Ein Objektiv aus sechs Linsen verliert unvergütet gut ein Drittel seines Lichts an lauter Vier-Prozent-Flächen. Und das Licht ist damit noch nicht aus dem Gerät — ein Teil davon läuft als Streulicht weiter und legt sich als Schleier über das Bild.
Eine Genauigkeitsnotiz zur Tabelle: Das einfache Produkt lässt die Mehrfachreflexionen zwischen den Flächen weg. Für eine einzelne Scheibe lässt sich das exakt angeben, dort gehen (1 − R)/(1 + R) = 92,3 Prozent hindurch statt der gerechneten 92,2 — der Unterschied liegt im Zehntelprozentbereich und ändert an der Aussage nichts.
Teil 4 — der Brewster-Winkel. Aus denselben Brechzahlen:
text Übergang n₂/n₁ θ_B = arctan(n₂/n₁)
Luft → Glas 1,50 / 1,00 = 1,500 56,3 Grad Luft → Wasser 1,33 / 1,00 = 1,330 53,1 Grad Glas → Luft 1,00 / 1,50 = 0,667 33,7 Grad
Die dritte Zeile ist die lehrreiche. Der Winkel gehört dem Übergang und seiner Richtung, nicht dem Werkstoff: 56,3 und 33,7 Grad ergeben zusammen 90 Grad, weil beide dieselbe Geometrie von der jeweils anderen Seite beschreiben. Wer einen Tabellenwert übernimmt, ohne die Richtung mitzunehmen, greift die falsche der beiden Zahlen.
In der Planung. Am Anfang steht eine Zählung: Wie viele Grenzflächen liegen im Strahlengang, und unter welchem Winkel trifft Licht auf sie? Eine Bildfläche hinter Vitrinenglas bringt zwei zusätzliche mit, ein seitliches Fenster erzeugt flache Winkel und damit Werte weit über den vier Prozent. Beides ist eine Frage an den Raum und an das Möbel, und beide werden entschieden, bevor irgendein Gerät ausgesucht ist.
Danach kommt die Wahl des Mittels, und sie hat eine Rangfolge: Fläche anders stellen, Fenster verschließen, Zwischenscheibe weglassen. Was sich so erledigen lässt, kostet nur eine Entscheidung. Erst was übrigbleibt, geht an die Oberfläche — verringern über eine Beschichtung oder verteilen über eine matte Struktur, die beiden Wege der Entspiegelung.
Ganz zuletzt kommt das Gerät. An das Datenblatt geht dann die Frage, welcher Art die Oberfläche ist; das Wort „entspiegelt" allein beantwortet sie nicht. Ändern lässt sich die Oberfläche nach dem Einbau nicht mehr.
Verknüpfte Inhalte
Was an einer Grenzfläche geschieht, warum das Ergebnis gerichtet ist und welche Rolle der Winkel in der Raumplanung spielt, führt die Fresnel-Reflexion aus; hier stehen die zugehörigen Rechenwege. Die Eingangsgröße beider Formeln ist die Brechzahl; der Sonderfall im Winkelverlauf steht beim Brewster-Winkel, die Zerlegung des Lichts in zwei Schwingungsrichtungen bei der Polarisation des Lichts und der andere Grenzfall bei der Totalreflexion.
Für die Bewertung im Raum sind die Umfeldleuchtdichte und der Schwarzwert die Maßstäbe, die Begründung dafür steht bei Wie das Auge Helligkeit beurteilt. Die beiden Wege, mit einer Oberfläche gegen Spiegelungen vorzugehen, vergleicht die Entspiegelung von Displays. In der Infrastruktur ist dieselbe Grenzfläche die Stirnfläche einer Faser: die Grundlagen beim Lichtwellenleiter, die Schliffarten und ihre Zahlenwerte bei UPC und APC. Die strukturgleiche Rechnung für Schall steht beim winkelabhängigen Absorptionsgrad.
Quellen
Der Reflexionsgrad bei senkrechtem Einfall, seine Unabhängigkeit von der Polarisation, die Zahlenwerte für Luft gegen Glas, Luft gegen Wasser und Wasser für Radiowellen sowie die vollständige Reflexion bei streifendem Einfall stammen aus dem Vorlesungsskript zur Elektrodynamik der University of Birmingham, das für die Glossarseite zur Fresnel-Reflexion am Objekt gelesen wurde. Von dort stammt auch die Herleitung des Brewster-Winkels aus der Bedingung, dass der Reflexionsfaktor der p-Polarisation null wird. Der Zahlenwert von rund 56,3 Grad für Luft gegen Glas, die Rechenvorschrift in der Form θ_B = arctan(n₂/n₁) und die Aussage, dass der s-Anteil dort stärker zurückkommt als bei senkrechtem Einfall, stehen in der RP-Photonics-Enzyklopädie von Rüdiger Paschotta; ebenso die Beschränkung auf durchsichtige, homogene Medien, die komplexe Brechzahl für absorbierende Stoffe und die Empfindlichkeit gegenüber Unebenheiten unterhalb eines Mikrometers. Die Definition der Brechzahl und ihre Abhängigkeit von Frequenz, Polarisation und Richtung folgen dem Internationalen Wörterbuch der Lichttechnik der CIE. Die biografischen Angaben zu Augustin-Jean Fresnel stammen aus dem MacTutor-Archiv der University of St Andrews.
Aus derselben Vorlesung stammt der durchgelassene Anteil von 96 Prozent für eine einzelne Grenzfläche Luft gegen Glas — die erste Zeile der Mehrfachflächen-Tabelle ist damit ein Fundstellenwert und kein Rechenergebnis.
Alle übrigen Zahlen der Rechenbeispiele sind aus diesen beiden Formeln gerechnet: die nicht zugeordneten Zeilen der ersten Tabelle, die 0,36 Prozent für Glas gegen Wasser, die Reihe der Mehrfachflächen von 92,2 bis 61,3 Prozent, die 92,3 Prozent aus der exakten Scheibenrechnung sowie die Winkel 53,1 und 33,7 Grad. Sie sind Rechenergebnisse der belegten Beziehungen und keine übernommenen Fundstellenwerte.