Winkelabhängiger Absorptionsgrad

Ein Absorptionsgrad ohne Richtungsangabe ist eine halbe Information. Die Delany-Bazley-Näherung rechnet den senkrechten Einfall, das Datenblatt nennt einen Wert aus dem Hallraum, und im Raum selbst kommt der Schall aus allen Richtungen dazwischen. Diese Seite schließt die Lücke: Aus der Oberflächenimpedanz folgt der Reflexionsfaktor für jeden Einfallswinkel, und aus der Mittelung über alle Winkel folgt der Wert, den eine Hallraummessung anstrebt.

Natürliche Erklärung

Warum ist ein schräger Treffer meistens besser? Die Antwort steckt in der Schallschnelle. Eine Fläche kann nur Energie aufnehmen, wenn sich Luft in sie hinein und aus ihr heraus bewegt. Bei schrägem Einfall zeigt aber nur ein Teil der Schallschnelle in die Fläche; der Rest läuft an ihr entlang und wird von ihr gar nicht gesehen. Die Fläche bekommt also, gemessen am Druck, weniger Bewegung angeboten — und das wirkt genauso, als sei sie selbst durchlässiger geworden.

Genau das entscheidet über die Richtung des Effekts. Fast jeder gebaute Absorber hat eine Oberflächenimpedanz über dem Wert der freien Luft: Er ist zu dicht, nicht zu offen. Ein schräger Einfall hebt den Bezugswert an und schiebt beide Größen aufeinander zu — die Anpassung wird besser, und der Absorptionsgrad steigt. Bei einem Aufbau, dessen Impedanz genau bei ρ₀c₀ liegt, wirkt der Winkel umgekehrt: Dort ist die Anpassung bei 0° schon perfekt, und jeder Winkel stört sie.

Daraus folgt eine Zahl, die sich merken lässt. Ist Z_s reell und größer als ρ₀c₀, wird die Anpassung bei genau einem Winkel vollständig:

text cos θ_opt = ρ₀c₀ / Z_s → α(θ_opt) = 1

Bei Z_s = 2·ρ₀c₀ liegt dieser Winkel bei 60°, bei 3·ρ₀c₀ bei rund 70°, bei 5·ρ₀c₀ bei rund 78°. Je dichter der Aufbau, desto flacher der Winkel, unter dem er am besten arbeitet. Reale Absorber haben zusätzlich einen Blindanteil, und der verhindert die vollständige Anpassung — das Maximum bleibt, es erreicht nur nicht mehr die Eins.

Und dann ist da das andere Ende. Läuft der Winkel gegen 90°, geht cos θ gegen null, der Bezugswert gegen unendlich, und der Zähler des Bruchs nähert sich dem Nenner. Der Reflexionsfaktor geht gegen −1, der Absorptionsgrad gegen null. Das gilt für jede Fläche mit endlicher Impedanz — ein 40 cm tiefer Breitbandabsorber verhält sich im streifenden Einfall nicht besser als eine gestrichene Wand. Das Vorzeichen ist dabei der eigentliche Befund: Bei streifendem Einfall kommt der Schall phasengedreht zurück, und Original und Reflexion löschen einander in Wandnähe aus. Das ist derselbe Mechanismus, der hinter der Grenzflächen-Interferenz steht.

Der zweite Fall, die erweiterte Reaktion, lässt die Formel für r(θ) unverändert und tauscht aus, was in Z_s steht. Läuft im Aufbau Schall auch quer, dann hat die Welle im Material eine eigene Richtung, und die folgt dem Brechungsgesetz — demselben, das der Leidener Mathematiker Willebrord Snel van Royen um 1621 für das Licht formulierte. Weil die Ausbreitungskonstante k eines dämpfenden Materials komplex ist, ist auch der Brechungswinkel θ_t komplex; er lässt sich nicht mehr zeichnen, aber rechnen. Anschaulich bleibt der Kern: Je stärker das Material dämpft, desto größer ist k gegenüber k₀, desto kleiner wird sin θ_t — und desto mehr nähert sich der erweiterte Fall dem lokalen an. Ein stark dämpfender Aufbau bricht die Welle so weit zur Normalen hin, dass es auf den äußeren Winkel kaum noch ankommt.

Eingangsgrößen und Einheiten

Der Winkel wird gegen die Flächennormale gezählt: 0° heißt senkrecht auf die Fläche, 90° heißt streifend an ihr entlang. In der Bauakustik und in manchen Datenblättern läuft die Zählung umgekehrt, gegen die Fläche selbst — wer beide mischt, dreht die ganze Kurve um.

Z_s kommt entweder aus einer Messung im Impedanzrohr nach ISO 10534-2, das Betrag und Phase liefert, oder aus einer Schichtrechnung. Für poröse Aufbauten liefert sie die Delany-Bazley-Näherung; für gelochte und geschlitzte Platten die zugehörigen Bauformseiten. Ein Absorptionsgrad allein genügt als Eingang nicht: In ihm ist die Phase verlorengegangen, und ohne sie lässt sich der Winkelverlauf nicht zurückrechnen.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Rechnung beschreibt eine ebene Welle auf einer ebenen, seitlich unbegrenzten Fläche. Damit ist die wichtigste Einschränkung schon genannt: Reale Absorberflächen haben Kanten, und je flacher der Winkel, desto stärker macht sich das bemerkbar. Ein 1,2 Meter breiter Absorberstreifen an der Seitenwand hat für Schall, der unter 75° auf ihn fällt, eine wirksame Ausdehnung von wenigen Wellenlängen — die Annahme der unbegrenzten Fläche verliert dort ihren Sinn.

Welcher der beiden Fälle anzusetzen ist, ist eine Entscheidung über den Aufbau und keine Materialeigenschaft. Wann eine Fläche lokal und wann erweitert reagiert, welche Rolle Trennstege spielen und warum Simulationswerkzeuge die Entscheidung als Eingabe verlangen, steht bei den lokal und erweitert reagierenden Flächen. Hier wird die Antwort vorausgesetzt und für beide Fälle durchgerechnet.

Die Mittelung nach Paris setzt ein ideal diffuses Feld voraus — aus jeder Richtung gleich viel Energie, ohne Vorzugsrichtung. Ein Hallraum nach ISO 354 nähert sich diesem Zustand an, ein Wohnzimmer nicht. In einem Heimkino mit stark bedämpfter Front und harter Rückwand kommt der Schall an der Seitenwand aus einem begrenzten Winkelbereich, und dann ist die Mittelung über den vollen Halbraum die falsche Rechnung. Aussagekräftiger ist in solchen Fällen α(θ) an den Winkeln, die die Geometrie wirklich erzeugt.

Grenzen

Die Formel sagt nichts darüber, was im Raum ankommt. Sie liefert α(θ) für eine Fläche. Welche Winkel an dieser Fläche überhaupt auftreten, entscheidet die Geometrie — Lautsprecherposition, Hörplatzabstand, Raumproportion. Erst beide zusammen ergeben die Wirkung, und der zweite Teil steht im Spiegelquellenmodell und nicht hier.

Der diffuse Mittelwert ist nicht der Hallraumwert. Beide meinen dasselbe, und sie stimmen regelmäßig nicht überein. Die Rechnung liefert Werte, die höchstens 1 werden können; Hallraummessungen liefern für poröse Absorber im unteren Bereich regelmäßig Werte darüber. Die Differenz kommt von der endlichen Probengröße und ihrer Randausbildung, also genau von der Annahme, die diese Rechnung macht. Wer einen gerechneten α_d gegen eine Katalogzahl hält, vergleicht deshalb zwei Größen, die denselben Namen haben und verschieden entstanden sind.

Der erweiterte Fall gilt nur für die einfache Schicht. Die Brechungsrechnung oben beschreibt eine homogene poröse Schicht vor einer starren Wand. Aufbauten mit Luftspalt, Lochplatte oder mehreren Lagen brauchen eine Schichtrechnung, in der jede Grenzfläche ihren eigenen Winkel bekommt. Der Rechenweg bleibt derselbe, die Formel für Z_s(θ) wird länger.

Biegeweiche Platten sind ein anderer Mechanismus. Auch sie reagieren erweitert, aber die Querausbreitung findet dort als Biegewelle im Bauteil statt und folgt keinem Brechungsgesetz für Luftschall. Diese Rechnung deckt den Fall nicht ab.

Rechenbeispiel

Teil 1 — der reine Widerstand. Eine Fläche mit reeller Oberflächenimpedanz, ohne Blindanteil, als Muster für den Mechanismus. Z_s als Vielfaches m der Kennimpedanz der Luft:

text m 0° 30° 45° 60° 70° 80° 85° α_d 1 1,000 0,995 0,971 0,889 0,760 0,504 0,295 0,910 2 0,889 0,928 0,971 1,000 0,965 0,765 0,506 0,939 3 0,750 0,803 0,871 0,960 1,000 0,901 0,657 0,869 5 0,556 0,610 0,687 0,816 0,931 0,995 0,846 0,720

Drei Dinge stehen in dieser Tabelle. Erstens wandert das Maximum mit m nach außen und landet genau bei arccos(1/m) — 60°, 70,5°, 78,5°. Zweitens ist die angepasste Fläche (m = 1) bei senkrechtem Einfall unschlagbar und im Mittel trotzdem schlechter als m = 2: Der diffuse Wert liegt bei 0,910 gegen 0,939. Und drittens fällt die letzte Spalte bei jeder Zeile ab. Bei 85° ist selbst die bestangepasste Fläche unter 0,3, und bei 89° erreicht keine der vier Zeilen noch 0,2.

Teil 2 — ein gebauter Aufbau. 100 mm Mineralwolle mit einem längenbezogenen Strömungswiderstand von 10.000 Pa·s/m², direkt an der Wand. Die Oberflächenimpedanz stammt aus der Delany-Bazley-Näherung, gerechnet sind beide Reaktionsfälle:

text 250 Hz Z_s = 386 − j·623 Pa·s/m

        0°     30°     45°     60°     75°     85°     α_d

lokal 0,620 0,650 0,678 0,687 0,572 0,275 0,645 erweitert 0,620 0,661 0,706 0,740 0,653 0,335 0,678

500 Hz Z_s = 440 − j·208 Pa·s/m

        0°     30°     45°     60°     75°     85°     α_d

lokal 0,943 0,950 0,942 0,884 0,672 0,312 0,886 erweitert 0,943 0,949 0,948 0,912 0,729 0,355 0,901

2 kHz Z_s = 444 − j·99 Pa·s/m

        0°     30°     45°     60°     75°     85°     α_d

lokal 0,985 0,987 0,973 0,905 0,680 0,314 0,914 erweitert 0,985 0,989 0,994 0,972 0,801 0,407 0,951

Bei 0° stimmen beide Fälle immer überein — senkrecht gibt es keine Querkomponente, an der sich die Reaktionsart zeigen könnte. Mit dem Winkel laufen sie auseinander, und der erweitert reagierende Aufbau liegt durchgehend höher. Bei 2 kHz und 75° sind es 0,801 gegen 0,680, im diffusen Mittel 0,951 gegen 0,914. Das bestätigt in Zahlen, was der Glossareintrag zu den reagierenden Flächen qualitativ sagt: Eine Fachung bringt Berechenbarkeit und keinen Zugewinn an Wirkung — wer Trennstege einbaut, kauft Vorhersagbarkeit und zahlt sie mit einigen Prozentpunkten Absorption bei schrägem Einfall.

Teil 3 — der diffuse Wert gegen den senkrechten. Dieselbe Wolle in zwei Dicken, jeweils lokal gerechnet:

text α(0°) α_d Richtung 100 mm, 125 Hz 0,223 0,292 diffus höher 50 mm, 250 Hz 0,173 0,226 diffus höher 50 mm, 500 Hz 0,497 0,507 fast gleich 100 mm, 250 Hz 0,620 0,645 diffus höher 100 mm, 500 Hz 0,943 0,886 diffus niedriger 100 mm, 2 kHz 0,985 0,914 diffus niedriger

Der Umschlag liegt bei einem senkrechten Absorptionsgrad von rund 0,5. Darunter fällt der diffuse Wert höher aus, darüber niedriger, und das hat denselben Grund wie in Teil 1: Die Mittelung zieht jeden Aufbau zur Mitte hin. Ein schwacher Absorber gewinnt durch die schrägen Einfallswinkel, ein sehr guter verliert durch den Einbruch im streifenden Bereich, den er nicht ausgleichen kann.

Das ist der praktisch wichtigste Befund dieser Seite, und er widerspricht einer verbreiteten Faustregel. „Hallraumwerte fallen höher aus als Rohrwerte" gilt für die schwachen Frequenzbereiche, im Bass und im unteren Mittelton. Bei einem guten Breitbandabsorber im Präsenzbereich gilt das Gegenteil — dass die Katalogzahl dort trotzdem oft über der Rohrmessung liegt, geht auf die Kantenwirkung der Probe zurück und nicht auf den Winkel.

In der Planung. Die Reihenfolge bleibt die übliche. Zuerst die Konzeptfrage: Aus welchen Richtungen trifft der Schall die betrachtete Fläche überhaupt? Eine Seitenwandfläche zwischen Lautsprecher und Hörplatz wird typisch unter 40° bis 60° getroffen — dem Bereich, in dem fast jeder Aufbau seine besten Werte hat. Eine Deckenfläche über dem Hörplatz sieht dagegen den Direktschall unter sehr flachen Winkeln, und dort ist die Rechnung ernüchternd.

Erst danach die Verfahrensfrage: Bautiefe und Strömungswiderstand nach den Regeln der Delany-Bazley-Näherung festlegen, dann entscheiden, ob der Hohlraum gefacht wird. Und ganz zuletzt das Produkt. Wer eine Fläche nach ihrem Datenblattwert auswählt, ohne den Winkel zu kennen, unter dem sie arbeitet, kann um einen Faktor zwei danebenliegen — in beide Richtungen.

Verknüpfte Inhalte

Die Eingangsgröße dieser Rechnung ist die Oberflächenimpedanz; ob sie vom Winkel abhängt, entscheidet die Unterscheidung zwischen lokal und erweitert reagierenden Flächen. Woher Z_s für poröse Aufbauten kommt, steht bei der Delany-Bazley-Näherung, der Materialkennwert dahinter beim Strömungswiderstand. Was aus α als Messwert wird und welche Verfahren welche Zahl liefern, klärt der Absorptionsgrad, gemessen wird im Impedanzrohr. Warum ein schräger Einfall weniger Bewegung in die Fläche schickt, erklärt die Schallschnelle, die Bezugsgröße im Nenner die Schallkennimpedanz. Welche Winkel an einer Fläche im Raum wirklich auftreten, liefert das Spiegelquellenmodell; gebaut werden die Flächen als Akustik-Vorwand und Bassabsorber.

Quellen

Der winkelabhängige Reflexionsfaktor einer Fläche mit endlicher Impedanz ist Standardstoff der technischen Akustik und bei Möser sowie bei Cremer und Müller dargestellt; die Randbedingung der lokal reagierenden Wand geht auf Morse und Bolt zurück. Die Behandlung beider Reaktionsfälle nebeneinander und die Mittelung über den diffusen Einfall stehen bei Cox und D'Antonio, die Mittelungsformel selbst bei Paris. Die beiden Messverfahren, gegen die gerechnete Werte gehalten werden, regeln ISO 354 und ISO 10534-2.