Scheinbare und wahre dynamische Steifigkeit

Auf dem Datenblatt einer Trittschalldämmschicht steht ein einziger Wert für ihre Federwirkung: die flächenbezogene dynamische Steifigkeit s' in Meganewton je Kubikmeter. Dieser Wert stammt aus einer Messung an einem handtellergroßen Probekörper, und die Norm, die ihn bestimmt, sagt selbst, dass er für die eingebaute Schicht noch nicht der richtige ist. Diese Seite rechnet die Korrektur: welcher Anteil fehlt, wann er dazukommt und wie mehrere Lagen zusammenzählen.

Natürliche Erklärung

In einer offenporigen Dämmschicht arbeiten zwei Federn nebeneinander: das Fasergerüst oder Schaumgerüst des Materials und die Luft in seinen Poren. Beide wirken parallel — drückt man auf die Schicht, muss sich das Gerüst verformen und die Luft muss ausweichen. Wo ihr das versperrt ist, drückt sie zurück, und weil parallele Federn ihre Steifigkeiten addieren, zählt die Norm beide Anteile zusammen.

Warum die Messung den Luftanteil trotzdem nicht enthält, steckt im Prüfaufbau: Der Probekörper misst 200 × 200 mm und hat vier offene Ränder. Beim Zusammendrücken entweicht die Luft dort seitlich, und die Probe gibt leichter nach. Unter einer durchgehenden Estrichfläche existiert dieser Weg nach draußen nicht mehr. Der gemessene Wert s'_t steht damit im Modell der Norm für das Gerüst allein; er fällt zu günstig aus, und die Rechnung holt nach, was der Prüfkörper wegen seiner Größe verschenkt.

Wie viel Luft im Weg steht, hängt daran, wie leicht sie durch das Material strömt — und genau das misst der längenbezogene Strömungswiderstand. Er sortiert die Schichten in die drei Fenster. Im mittleren Fenster liegen die Fälle, in denen die Luft im kleinen Probekörper noch seitlich herauskommt, unter der eingebauten Fläche aber nicht mehr; nur dort klafft eine Lücke zwischen Messung und Einbau, und nur dort schlägt die Norm den Luftanteil auf. Oberhalb und unterhalb steht die Messung für sich.

Eine Materialgrenze ist mit den beiden Werten 10 und 100 kPa·s/m² nicht gesetzt. Sie grenzen den Rechenweg ab; über den Werkstoff sagen sie nichts. Ein Datenblatt, das s' nennt und r verschweigt, lässt die Entscheidung deshalb offen — und das ist der häufigste Fall.

Mehrere Lagen

Legt man zwei Schichten aufeinander, entsteht eine Reihenschaltung: Die obere Feder drückt auf die untere, beide geben nach, die Wege addieren sich. Bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte der Steifigkeiten, und daraus folgt der praktisch wichtigste Satz dieses Abschnitts: Die weichste Lage bestimmt das Ergebnis stärker als alle anderen. Eine steife Lage lässt sich durch eine weiche daneben retten, umgekehrt geht das nicht.

Dieselbe Reihenschaltung erklärt auch, warum die doppelte Dicke die Steifigkeit nur näherungsweise halbiert. An jeder Grenzfläche der Schicht sitzt eine weitere Feder, die mit der Dicke nicht wächst: die Kontaktsteifigkeit aus Unebenheiten und eingeschlossenen Luftpolstern. Hartmut Schröder hat sie 2004 am Fraunhofer-Institut für Bauphysik getrennt gemessen und dabei Werte in derselben Größenordnung wie den Materialanteil selbst gefunden; die Zahlen und ihre Grenzen stehen bei der dynamischen Steifigkeit. In keinem Datenblatt taucht dieser Anteil auf.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die Einheit MN/m³ irritiert auf den ersten Blick, weil von einer Fläche die Rede ist. Sie folgt aus der Definition: eine Steifigkeit in N/m, bezogen auf einen Quadratmeter, ergibt N/m³. Woher die Größe kommt und warum sie nicht dasselbe ist wie die statische Steifigkeit, steht im Glossareintrag.

Bei der Dicke ist die Einheit eine Stolperstelle. In der Grundform p₀/(d·ε) steht d in Metern, in der Vereinfachung 111/d in Millimetern. Der Faktor 1.000 aus der Umrechnung steckt bereits in der 111 — wer d dort in Metern einsetzt, landet um drei Zehnerpotenzen daneben.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Norm beschreibt Dämmschichten unter schwimmenden Estrichen in Wohngebäuden. Geprüft wird an einem 200 × 200 mm großen Probekörper unter einer festgelegten statischen Last, und die Dicke d in der Luftformel ist die Dicke unter dieser Last, nicht die Nenndicke aus dem Katalog. Bei einer stark zusammendrückbaren Schicht sind das zwei verschiedene Zahlen.

Der Luftanteil setzt einen zusammenhängenden Porenraum voraus, in dem sich beim Zusammendrücken ein Überdruck aufbaut. Die Norm rechnet ihn unter der ausdrücklichen Annahme isothermer Verhältnisse — die Luft erwärmt sich beim Zusammendrücken also nicht messbar. Für geschlossenzellige Schäume beschreibt die Formel den Sachverhalt nicht; dort steckt die Luft in abgeschlossenen Zellen und gehört bereits zum Materialverhalten.

Die Vereinfachung 111/d gilt für p₀ = 0,1 MPa und ε = 0,9. Beide Werte sind Setzungen der Norm für den Normalfall. Eine Schicht mit deutlich geringerer Porosität — dichte Mineralfaser, stark verpresste Ware — bringt einen größeren Luftanteil mit, als 111/d angibt, weil weniger Porenraum dieselbe Druckerhöhung schneller erzeugt.

Grenzen

Die Rechnung liefert einen Kennwert für eine Schicht. Was sie nicht abbildet, entscheidet in gebauten Situationen oft mehr.

Die Kontaktsteifigkeit steht in keinem der beiden Summanden. Sie sitzt an den Grenzflächen, liegt in Reihe zum Rest und senkt den Gesamtwert noch einmal — wie stark, hängt an Untergrund, Verlegeart und Sauberkeit der Fläche. Damit ist auch der korrigierte Wert s' noch nicht das, was der fertige Aufbau zeigt.

Der Datenblattwert gilt für eine Prüfbedingung. Eine bestimmte Dicke, eine bestimmte Vorlast, ein bestimmtes Verfahren. Eine Schicht weit außerhalb ihres vorgesehenen Lastbereichs arbeitet an einer anderen Steifigkeit als der angegebenen: zu gering belastet federt sie kaum ein, überlastet geht sie auf Anschlag und wirkt dann als Schallbrücke aus eigenem Material.

Der Kennwert allein sagt noch nichts über die Wirkung. Was aus s' und der flächenbezogenen Masse der aufliegenden Schale folgt — die Eigenfrequenz des Aufbaus und die Dämmung darüber —, rechnet die Seite zu Eigenfrequenz und Einfügedämmung elastischer Lagerung. Diese Seite endet beim Kennwert; jene beginnt damit.

Rechenbeispiel

Teil 1 — eine 30 mm dicke offenporige Schicht. Auf dem Datenblatt steht ein gemessener Wert von 10 MN/m³. Der längenbezogene Strömungswiderstand der Schicht liegt im mittleren Fenster, der Luftanteil kommt also dazu:

text s'_a = 111 / 30 = 3,7 MN/m³ s' = s'_t + s'_a = 10 + 3,7 = 13,7 MN/m³

Der Wert, mit dem der eingebaute Aufbau arbeitet, liegt damit 37 Prozent über dem Katalogwert. Für die Eigenfrequenz des Aufbaus ist das weniger dramatisch, als die Zahl klingt: Sie wächst mit der Wurzel der Steifigkeit, und √1,37 = 1,17 — die tatsächliche Eigenfrequenz liegt rund 17 Prozent höher als die aus dem Datenblattwert gerechnete. Wie viel Dämmung dahinter verlorengeht, hängt vom Abstand zur Zielfrequenz ab und steht auf der Formelseite zur elastischen Lagerung.

Unangenehm wird der Aufschlag bei dünnen Schichten, weil s'_a mit 1/d wächst: Dieselbe Rechnung ergibt bei 10 mm bereits 11,1 MN/m³ aus der Luft allein — mehr als der angenommene Gerüstanteil. Eine dünne offenporige Schicht ist damit deutlich steifer, als ihr Datenblatt vermuten lässt.

Teil 2 — zwei Lagen übereinander. Zwei dieser 30-mm-Schichten werden gestapelt. Jede Lage bringt ihre korrigierten 13,7 MN/m³ mit, und die Kehrwerte addieren sich:

text 1/s'_ges = 1/13,7 + 1/13,7 = 2/13,7 = 0,146 m³/MN s'_ges = 13,7 / 2 = 6,85 MN/m³

Die Gegenprobe über eine einzelne 60 mm dicke Schicht desselben Materials kommt auf denselben Wert: Der Gerüstanteil halbiert sich mit der doppelten Dicke auf 5 MN/m³, der Luftanteil wird zu 111/60 = 1,85 MN/m³, und beides zusammen ergibt wieder 6,85 MN/m³. Beide Wege stimmen überein, weil beide Anteile umgekehrt proportional zur Dicke sind.

Genau an dieser Stelle liegt die Grenze der Rechnung. Der reale zweilagige Aufbau hat eine Fuge mehr als die einlagige 60-mm-Ausführung, und jede Fuge legt eine Kontaktfeder in Reihe dazu. Beide Werte fallen deshalb in Wirklichkeit niedriger aus als 6,85 MN/m³, der zweilagige etwas stärker — akustisch ein Vorteil, rechnerisch eine Unschärfe, die keines der beiden Datenblätter ausweist.

Wie der Wert in eine Auslegung eingeht. Am Anfang steht die Konzeptfrage: Welche Frequenz soll gar nicht erst in den Baukörper gelangen? Daraus folgt eine Zielvorgabe für die Eigenfrequenz und daraus rückwärts der s'-Wert, den die Schicht haben darf. Die Verfahrensfrage lautet dann, welcher Wert das ist — der gemessene oder der korrigierte. Ohne den Strömungswiderstand der Schicht lässt sich das nicht entscheiden, und dann bleibt nur, mit dem ungünstigeren Fall zu rechnen: s'_t + 111/d. Erst danach kommt die Produktfrage, und sie schließt Dicke und Vorlast mit ein: Beide stehen in jeder Zeile der Rechnung, und eine Dämmschicht ohne beide Angaben lässt sich nicht auslegen.

Verknüpfte Inhalte

Was die dynamische Steifigkeit überhaupt ist, warum sie bei Elastomeren über der statischen liegt und welche Rolle die Kontaktsteifigkeit spielt, steht im Glossareintrag dynamische Steifigkeit; dort beginnt der Gedankengang, den die Rechnung hier fortsetzt. Die Größe, die über die Fallunterscheidung entscheidet, erklärt der Strömungswiderstand. Was aus dem fertigen s'-Wert folgt, rechnet Eigenfrequenz und Einfügedämmung elastischer Lagerung — zusammen mit der flächenbezogenen Masse der aufliegenden Schale. Wozu der ganze Aufbau gebaut wird, steht bei der Entkopplung, woran er in der Ausführung scheitert, bei der Schallbrücke, und der Anwendungsfall mit eigenem Prüfverfahren ist der Trittschall. Wie sich aus der Reihenschaltung ein mehrlagiger Aufbau bauen lässt, der hohe Verkehrslast und eine tiefe Eigenfrequenz zugleich schafft, zeigt Holzbau und Basswiedergabe.

Quellen

Die Bestimmung der flächenbezogenen dynamischen Steifigkeit folgt DIN EN 29052-1, der deutschen Fassung von EN 29052-1:1991. Die Fallunterscheidung nach dem Strömungswiderstand, die Gleichung für den Luftanteil und die Anmerkung mit der Vereinfachung 111/d stehen in Abschnitt 8.2 und Gleichung (7) der international identischen Fassung ISO 9052-1:1989. Die Reihenschaltung mehrerer Lagen und die Messwerte zur Kontaktsteifigkeit stammen aus der IBP-Mitteilung 439 von Hartmut Schröder, Fraunhofer-Institut für Bauphysik, 2004. Die Verwendung des Kennwerts im Rechenmodell für schwimmende Estriche folgt DIN EN 12354-2 beziehungsweise DIN 4109.