Millington-Sette-Formel

Sabine und Eyring setzen beide voraus, dass die Absorption gleichmäßig über alle Flächen verteilt ist. In einem ausgebauten Heimkino ist sie das nie: vorn eine gepolsterte Bühnenwand, hinten Absorber oder Diffusoren, seitlich behandelte Flächen, an der Decke oft fast nichts. Diese Formel ist die dritte Stufe für genau diesen Fall — sie logarithmiert jede Fläche einzeln, statt zuerst zu mitteln.

Sie geht auf G. Millington und W. J. Sette zurück, die ihre Fassungen Anfang der 1930er-Jahre im Journal of the Acoustical Society of America veröffentlichten, unmittelbar nach Eyrings Arbeit von 1930.

Natürliche Erklärung

Das Bild hinter allen drei Formeln — die Schallenergie läuft nach dem letzten Ton als Folge von Reflexionen durch den Raum und verliert bei jedem Auftreffen einen Teil — ist auf der Eyring-Seite ausgeführt. Hier zählt nur, wie die Formeln diesen Verlust buchführen.

Eyring rechnet mit einer mittleren Reflexion: Bei jedem Auftreffen bleibt der Anteil (1 − ᾱ) übrig, egal wo. Millington-Sette schaut genauer hin. Eine Welle, die durch den Raum läuft, trifft die Flächen im Mittel proportional zu ihrer Größe — die große Decke öfter als die kleine Rückwand. Nach vielen Reflexionen ist der überlebende Anteil deshalb nicht (1 − ᾱ) hoch n, sondern das Produkt aller (1 − α_i), jedes mit dem Flächenanteil S_i/S als Exponent. Logarithmiert man dieses Produkt, wird daraus die Summe im Nenner.

Der Unterschied ist keine Feinheit, und seine Richtung liegt fest: Millington-Sette liefert immer eine kürzere Zeit als Eyring — außer bei völlig gleichmäßiger Verteilung, wo beide zusammenfallen. Das folgt aus der Form des Logarithmus. Die Funktion −ln(1 − α) wächst überproportional; ihr Mittelwert über verschiedene α ist deshalb immer größer als ihr Wert am Mittelwert der α. Ein größerer Nenner heißt eine kürzere Zeit.

Anschaulich ist das die Aussage, dass eine stark absorbierende Fläche mehr ausrichtet, als ihr Flächenanteil vermuten lässt. Und genau hier beginnt auch das Problem der Formel, denn sie treibt diesen Gedanken weiter, als die Physik es hergibt.

Eingangsgrößen und Einheiten

Neu gegenüber den beiden Vorgängern ist die Buchführung. Sabine braucht nur die Summe der Produkte, Eyring zusätzlich die Gesamtoberfläche; diese Formel braucht die Aufteilung — jede Fläche mit ihrem eigenen Absorptionsgrad. Wie fein man aufteilt, ist dabei gleichgültig: Zwei Hälften derselben Wand mit demselben α liefern zusammen denselben Beitrag wie die ganze Wand, weil die Summe additiv ist.

Die Konstante 0,163 s/m ist dieselbe wie auf den anderen Nachhallseiten; ihre Herkunft aus 24 · ln(10) / c und die Wahl des Werts stehen auf der Sabine-Seite.

Gültiger Bereich und Annahmen

Es gilt dieselbe Grundbedingung wie bei Sabine und Eyring: ein diffuses Schallfeld, also der Bereich oberhalb der Schroeder-Frequenz, und jede Rechnung für genau ein Frequenzband. Unterhalb davon beschreiben Raummoden das Verhalten, und dort gilt keine der drei Formeln.

Der Gewinn gegenüber Eyring ist, dass die Absorption ungleich verteilt sein darf. Die Formel ist genau dafür gemacht.

Die Grenze nach oben ist scharf und liegt bei α = 1. Für eine Fläche mit vollständiger Absorption ist ln(0) nicht definiert, der Nenner wächst über alle Grenzen und die Nachhallzeit fällt auf null — und zwar unabhängig davon, wie groß diese Fläche ist. Eine handtellergroße Öffnung würde nach dieser Rechnung einen Konzertsaal reflexionsfrei machen.

Der Grund dafür steckt in einer Annahme, die im Text der Formel nicht sichtbar ist: Sie unterstellt, dass sich die Energie vollständig durchmischt, dass also jeder Schallanteil im Verlauf des Abklingens irgendwann jede Fläche besucht. Bei einem perfekten Absorber heißt das, dass am Ende alles dort landet. Real ist die Nachhallzeit aber vom frühen Teil des Abklingens bestimmt, und in dieser Zeit hat noch längst nicht jeder Anteil jede Fläche gesehen.

Grenzen

Die α = 1-Schwäche ist die bekannteste, aber sie ist ein Spezialfall einer allgemeineren: Die Formel überschätzt die Wirkung stark absorbierender Flächen — nicht nur bei α = 1, sondern in abgeschwächter Form schon deutlich darunter. Sobald einzelne Flächen Absorptionsgrade oberhalb von etwa 0,8 erreichen, driftet das Ergebnis merklich nach unten, ohne dass ein sauberes Kriterium sagt, ab wann die Zahl nicht mehr brauchbar ist.

Zweitens gilt der Einwand zu den Eingangsdaten von der Eyring-Seite unverändert: Absorptionsgrade nach ISO 354 sind über die Sabine-Gleichung definiert, ein Tabellenwert α ist damit streng genommen ein Sabine-Absorptionsgrad. Bei dieser Formel wiegt der Einwand sogar schwerer als bei Eyring, weil hohe Einzelwerte hier stärker durchschlagen.

Drittens liefert auch diese Formel einen einzigen Wert für den ganzen Raum — was das ausblendet, von den frühen Reflexionen am Hörplatz bis zur Sprachverständlichkeit, steht bei Sabine und Eyring und ändert sich hier nicht.

Wann keine der drei mehr gilt

Es gibt einen Punkt, an dem die Reihe endet, und ihn zu erkennen ist wichtiger, als die dritte Formel zu beherrschen. Drei Anzeichen:

Die Absorption sitzt konzentriert auf wenigen Flächen. Ein Raum mit einer vollständig bedämpften Rückwand und fünf harten übrigen Flächen hat kein diffuses Feld mehr. Der Schall pendelt bevorzugt zwischen den harten Flächen, und was dort passiert, hat mit einem Mittelwert über alle Flächen nichts mehr zu tun.

Die gemessene Abklingkurve ist nicht gerade. Alle drei Formeln setzen einen exponentiellen Abfall voraus, im Pegeldiagramm eine Gerade. Ist die Kurve geknickt, laufen zwei Vorgänge mit unterschiedlicher Geschwindigkeit nebeneinander — typisch bei stark ungleicher Verteilung oder bei gekoppelten Räumen. Der einfachste Test dafür steht in ISO 3382: Weichen T20 und T30 spürbar voneinander ab, ist die Kurve krumm, und eine Einzahlangabe beschreibt sie nicht mehr.

Die Raumform gibt kein diffuses Feld her. Sehr flache, sehr lange oder verwinkelte Räume, offene Durchgänge, gekoppelte Volumina — in all diesen Fällen gibt es kein durchmischtes Feld, dessen Nachhallzeit man rechnen könnte.

Bei jedem dieser Anzeichen ist die Antwort nicht die nächste Formel, sondern die Messung nach ISO 3382. Die Rechnung behält dann eine Aufgabe, aber eine bescheidenere: Sie sagt, in welcher Größenordnung das Ergebnis liegen sollte und wo zu messen ist.

Rechenbeispiel

Derselbe Raum wie auf den anderen Formelseiten: 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m, also V = 58,8 m³ und S = 96,0 m². Diesmal aber als ausgebautes Heimkino mit ungleich verteilter Absorption, gerechnet für das 1-kHz-Band:

Zuerst die beiden Vorgänger:

text A = Σ S_i · α_i = 1,176 + 10,584 + 8,925 + 7,350 + 7,000 = 35,04 m² ᾱ = 35,04 / 96,04 = 0,365

Sabine: T = 0,163 · 58,8 / 35,04 = 9,584 / 35,04 = 0,27 s Eyring: T = 9,584 / (−96,04 · ln(1 − 0,365)) = 9,584 / (96,04 · 0,454) = 9,584 / 43,59 = 0,22 s

Und nun jede Fläche einzeln logarithmiert:

text Decke: −23,52 · ln(0,95) = 23,52 · 0,0513 = 1,21 Boden: −23,52 · ln(0,55) = 23,52 · 0,5978 = 14,06 Rückwand: −10,50 · ln(0,15) = 10,50 · 1,8971 = 19,92 Frontwand: −10,50 · ln(0,30) = 10,50 · 1,2040 = 12,64 Seitenwände: −28,00 · ln(0,75) = 28,00 · 0,2877 = 8,06 Summe = 55,88

Millington-Sette: T = 9,584 / 55,88 = 0,17 s

Drei Formeln, dieselben Eingangsdaten, drei Ergebnisse: 0,27 s, 0,22 s, 0,17 s. Zwischen der ersten und der letzten liegen fast sechzig Prozent. Und der Blick auf die Einzelbeiträge zeigt, woher der Unterschied kommt: Die Rückwand macht 11 Prozent der Fläche aus, trägt aber 36 Prozent zum Nenner bei. Genau diese Gewichtung ist der Zweck der Formel — und zugleich ihre Schwachstelle.

Die Schwachstelle in Zahlen. Angenommen, 2,0 m² der Rückwand sind kein Absorber, sondern eine offene Tür ins Treppenhaus. Eine Öffnung absorbiert vollständig, α = 1,00. Wir nähern uns dem Wert schrittweise:

text 2,0 m² mit α = 0,900: Summe = 56,70 → T = 0,169 s 2,0 m² mit α = 0,990: Summe = 61,30 → T = 0,156 s 2,0 m² mit α = 0,999: Summe = 65,91 → T = 0,145 s 2,0 m² mit α = 1,000: Summe = ∞ → T = 0,000 s

Der Sprung in der letzten Zeile ist die ganze Kritik an dieser Formel. Physikalisch ändert sich zwischen α = 0,999 und α = 1,000 praktisch nichts; rechnerisch fällt der Raum von 0,145 Sekunden auf einen reflexionsfreien Raum. Und die Fläche spielt dabei keine Rolle: Auch 0,1 m² mit α = 1 ergäben null. Wer eine Tabelle mit gerundeten Absorptionsgraden benutzt, in der eine Fläche als 1,00 geführt wird — Öffnungen werden gern so angesetzt —, bekommt dieses Ergebnis, ohne die Ursache zu sehen.

Wie man die drei Formeln zusammen benutzt. Der brauchbare Weg ist, sie nicht gegeneinander auszuspielen, sondern als Band zu lesen. Sabine ist die Obergrenze, Millington-Sette die Untergrenze, Eyring liegt dazwischen. Für unseren Raum heißt das: zwischen 0,17 s und 0,27 s, mit 0,22 s als bestem Einzelwert. Liegen die Werte eng beieinander, ist die Absorption gleichmäßig genug und die Rechnung belastbar. Klaffen sie weit auseinander wie hier, ist das selbst schon die Auskunft — nämlich dass die Verteilung das Ergebnis bestimmt und eine Messung nötig wird.

Was daraus für die Planung folgt. Die Formelwahl ist keine der Planungsfragen, sondern ein Rechenschritt innerhalb einer davon — die Reihenfolge von der Nutzungsfrage über Flächen und Materialien bis zur Produktwahl steht auf der Eyring-Seite und gilt hier unverändert. Neu ist nur die dritte Stufe: Sabine deckt den Weg vom kahlen Raum zur normalen Möblierung ab, Eyring übernimmt oberhalb eines mittleren Absorptionsgrads von etwa 0,2, und sobald die Absorption sichtbar auf wenige Flächen konzentriert ist, kommt Millington-Sette als zweiter Wert dazu. Und wenn die beiden Werte weit auseinanderliegen, ist die ehrliche Antwort nicht die dritte Nachkommastelle, sondern ein Messtermin.

Verknüpfte Inhalte

Der Rechenweg zur äquivalenten Absorptionsfläche, die Bedeutung der Konstante und der Umgang mit Absorptionsgraden stehen vollständig auf der Seite zur Nachhallzeit nach Sabine; warum der Logarithmus überhaupt auftaucht und wo Sabine kippt, erklärt die Seite zur Eyring-Formel. Diese Seite setzt beide voraus und wiederholt sie nicht. Was die Nachhallzeit als Kennwert beschreibt, steht im Glossareintrag zur Nachhallzeit, das Messen bei der Raummessung. Ab welcher Frequenz die Rechnung überhaupt greift, klärt die Schroeder-Frequenz; was unterhalb davon passiert, die Seiten zu den Raummoden und zur modalen Abklingzeit. Die Materialseite behandeln Absorption, Absorptionsgrad und äquivalente Absorptionsfläche.

Quellen

Die Formel geht auf die Arbeiten von Millington und Sette aus den frühen 1930er-Jahren zurück und steht in der Standardliteratur zur Raumakustik; der Vergleich mit Sabine und Eyring folgt derselben Darstellung. Die Aussage, dass Millington-Sette nie eine längere Zeit liefert als Eyring, folgt aus der Form des Logarithmus und ist oben begründet. Messverfahren für Nachhallzeiten stehen in ISO 3382, die Bestimmung von Absorptionsgraden in ISO 354.