Spiegelquellenmodell

Was ist eine Spiegelquelle — und warum lässt sich damit vorhersagen, wo im Raum eine Auslöschung sitzt?

Das Spiegelquellenmodell ersetzt eine Reflexion durch eine gedachte Quelle, die hinter der reflektierenden Fläche sitzt — genau so weit dahinter, wie die echte Quelle davor steht. Der Umweg über die Wand wird damit zu einem geraden Weg, und aus einer akustischen Frage wird eine geometrische.

Steh vor einem Spiegel: Dein Spiegelbild scheint genauso weit hinter dem Glas zu stehen, wie Du davor stehst. Mit Schall an einer glatten Wand ist es dasselbe — nur dass Du das zweite Bild nicht siehst, sondern hörst. Für Deine Ohren klingt es, als stünde dort ein zweiter Lautsprecher, ein Stück weiter weg und etwas leiser. Weil er weiter weg ist, kommt sein Ton ein wenig später an, und aus diesem kleinen Zeitunterschied entstehen die meisten Probleme, die man sonst dem Lautsprecher anlastet.

Der Kern des Modells

Schall trifft eine glatte, schallharte Fläche und wird reflektiert. Der Ausfallswinkel entspricht dem Einfallswinkel, genau wie beim Licht. Statt diesen Knick zu verfolgen, klappt das Modell die Geometrie auf: Die reflektierende Fläche wird gedanklich entfernt, und an ihrer Stelle erscheint hinter ihr eine zweite Quelle, das Spiegelbild der ersten.

Der Gewinn ist erheblich. Der reflektierte Anteil hat jetzt einen geraden Weg von der Spiegelquelle zum Hörplatz, und seine beiden wichtigsten Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus Längen:

Die Verzögerung folgt aus der Differenz der beiden Weglängen, geteilt durch die Schallgeschwindigkeit.
Der Pegel folgt aus der Entfernung der Spiegelquelle — sie ist weiter weg, also leiser — und aus dem Reflexionsgrad der Fläche, der die Spiegelquelle zusätzlich dämpft.

Genau daraus entstehen die bekannten Interferenzmuster. Direktschall und Reflexion treffen zeitversetzt am selben Ort ein und addieren sich je nach Frequenz verstärkend oder auslöschend. Der Kammfiltereffekt ist nichts anderes als das Ergebnis dieser Rechnung über alle Frequenzen hinweg, und die Formel hinter SBIR — die erste Auslöschung liegt bei ungefähr 86 geteilt durch den Wandabstand in Metern — ist der Spezialfall für die Fläche direkt hinter dem Lautsprecher.

Was oft übersehen wird: die Spiegelquelle strahlt gespiegelt ab

Ein Lautsprecher strahlt nicht in alle Richtungen gleich. Seine Spiegelquelle erbt diese Richtcharakteristik — allerdings gespiegelt. Sie zeigt also in eine andere Richtung als das Original.

Das hat eine praktische Folge, die sonst schwer zu erklären wäre. Ein Lautsprecher, der auf den Hörplatz eingedreht ist, schickt seinen Direktschall dorthin mit vollem Pegel. Die Spiegelquelle an der Seitenwand zielt dagegen an der Hörposition vorbei — sie liefert dort nur das, was der Lautsprecher außerhalb seiner Hauptachse abgibt. Je stärker ein Lautsprecher bündelt, desto schwächer fällt deshalb seine Reflexion aus, ohne dass irgendetwas am Raum geändert wurde. Das ist der Grund, warum Bündelungsmaß und Abstrahlverhalten in der Raumplanung so schwer wiegen.

Umgekehrt heißt das auch: Ein Lautsprecher mit breiter Abstrahlung erzeugt kräftigere Erstreflexionen und stellt damit höhere Anforderungen an die Raumbehandlung. Klar, breite Abstrahlung hat ihre eigenen Vorzüge — gleichmäßigerer Klang über mehrere Sitzplätze etwa —, aber sie ist nicht umsonst zu haben.

Mehrfachspiegelung und die Ecke

Reflexionen enden nicht nach der ersten Fläche. Was von der Seitenwand zurückkommt, trifft die gegenüberliegende Wand und wird erneut reflektiert. Im Modell entsteht dabei die Spiegelquelle einer Spiegelquelle — und so fort.

In einer Ecke wird daraus etwas, das die Aufstellung von Subwoofern erklärt. Treffen zwei Flächen rechtwinklig aufeinander, entstehen drei Spiegelquellen: eine an jeder Fläche und eine dritte durch die Doppelspiegelung über beide. Kommt der Boden als dritte Fläche dazu, sind es sieben. Allgemein liefern n rechtwinklig aufeinandertreffende Flächen 2ⁿ − 1 Spiegelquellen.

Für tiefe Frequenzen, deren Wellenlänge groß gegenüber allen Abständen ist, kommen diese Quellen praktisch gleichzeitig und gleichphasig am Hörplatz an. Sie addieren sich dann nicht zufällig, sondern vollständig — und daher stammt die Beobachtung, dass ein Subwoofer an einer Wand lauter spielt als frei im Raum, in einer Kante lauter als an der Wand und in der Raumecke am lautesten. Der Preis ist die Anregung der Raummoden, die in der Ecke ebenfalls am stärksten ausfällt.

Wo das Modell aufhört zu gelten

Ein Modell, dessen Grenzen man nicht kennt, ist gefährlicher als keines. Vier Voraussetzungen müssen erfüllt sein, und im echten Raum ist es selten alle vier.

Die Fläche muss groß gegenüber der Wellenlänge sein. Ist sie das nicht, wird der Schall nicht sauber reflektiert, sondern gebeugt — er läuft um die Kante herum. Ein 60 Zentimeter breites Absorberpaneel verhält sich gegenüber einem 3 Meter langen Basston nicht wie eine Wand. Das ist der Hauptgrund, warum Raumbehandlung im Tiefton so viel schwerer fällt als im Hochton, und der Übergang steckt in der Beugung.

Die Fläche muss eben und glatt sein. Eine strukturierte Oberfläche streut den Schall in viele Richtungen, statt ihn zu spiegeln. Genau darauf beruhen Diffusoren — sie machen das Spiegelquellenmodell an ihrer Stelle absichtlich ungültig, siehe Diffusion.

Die Absorption bildet das Modell nur grob ab. Ein Reflexionsgrad lässt sich als Dämpfung der Spiegelquelle einrechnen. Dass er von der Frequenz und vom Einfallswinkel abhängt, lässt sich mit Aufwand nachbilden; dass poröses Material bei schrägem Einfall anders wirkt als bei senkrechtem, fällt in einfachen Rechnungen unter den Tisch.

Der späte Nachhall wird unbrauchbar. Die Zahl der Spiegelquellen wächst mit der Ordnung der Reflexion sehr schnell an, und ihre Beiträge werden zugleich immer ähnlicher. Simulationsprogramme nutzen das Modell deshalb für die frühen, einzeln unterscheidbaren Reflexionen und schalten für den diffusen Ausklang auf ein statistisches Verfahren um. Die Grenze dazwischen liegt in der Nähe der Schroeder-Frequenz beziehungsweise nach den ersten Millisekunden der Impulsantwort.

Häufiges Missverständnis

„Die Spiegelquelle ist eine Rechenhilfe, kein echtes Phänomen." Als Beschreibung stimmt das, als Abwertung nicht. Das Schallfeld an einer reflektierenden Ebene ist mathematisch identisch mit dem Feld zweier Quellen ohne Ebene — beides ist dieselbe Lösung derselben Gleichung. Wer am Hörplatz misst, kann nicht unterscheiden, ob dort eine Wand steht oder ein zweiter Lautsprecher an der Stelle der Spiegelquelle. Das Modell vereinfacht also nicht, solange seine Voraussetzungen gelten; es rechnet exakt.

„Auslöschungen entstehen, weil sich die Reflexion umpolt." Bei einer schallharten Fläche — und das sind Wände, Böden und Decken im Bauwesen praktisch immer — wird der Schalldruck ohne Vorzeichenwechsel reflektiert. Die Auslöschungen entstehen allein aus dem Laufzeitunterschied: Wo der Umweg eine halbe Wellenlänge beträgt, treffen Wellenberg und Wellental aufeinander. Deshalb hängt die Frequenz der ersten Auslöschung am Abstand und nicht am Material.

Nicht zu verwechseln mit

Phantomschallquelle: Ein Hörereignis, das zwischen zwei Lautsprechern entsteht, siehe Phantomschallquelle. Die Spiegelquelle ist dagegen eine Rechengröße für eine Reflexion.
Erstreflexionspunkt: Der Ort auf der Fläche, an dem die Reflexion stattfindet — dort gehört der Absorber hin, siehe Erstreflexionspunkt. Die Spiegelquelle sitzt hinter der Fläche.
Strahlenverfolgung: Ein anderes Simulationsverfahren, das viele Einzelstrahlen statistisch verfolgt. Es kommt mit unregelmäßigen Geometrien besser zurecht und liefert dafür keine exakten frühen Reflexionen.

In der Planung

Ein Kunde stellt seine Standlautsprecher mit 40 Zentimetern Abstand zur Rückwand auf und meldet ein Loch im Bass, das er bei 200 Hz vermutet. Er möchte wissen, welcher Absorber das behebt.

Wo die Auslöschung sitzt, lässt sich hier ohne Messung ausrechnen. Die Spiegelquelle steht 40 Zentimeter hinter der Wand, also 80 Zentimeter hinter dem Lautsprecher. Der Umweg beträgt damit rund 0,8 Meter, und die erste Auslöschung liegt dort, wo dieser Umweg eine halbe Wellenlänge ausmacht — bei rund 215 Hz. Die Vermutung des Kunden war also nah dran.

Damit ist die Ursache benannt, und es bleiben drei Wege mit sehr unterschiedlichem Aufwand. Ein anderer Wandabstand verschiebt die Auslöschung, beseitigt sie aber nicht. Eine absorbierende Rückwand schluckt die Reflexion, was bei 215 Hz eine erhebliche Materialstärke verlangt. Oder der Lautsprecher rückt so dicht an die Wand, dass die Auslöschung über den Übertragungsbereich hinauswandert — den Weg führt eine Baffle Wall konsequent zu Ende. Welches Material oder Bauteil in Frage kommt, entscheidet sich sinnvoll erst danach.

Ein Absorber am falschen Ort hätte hier nichts bewirkt: Das Modell zeigt, dass die Fläche hinter dem Lautsprecher zählt, nicht die neben dem Hörplatz.

Verknüpfte Inhalte

Wie eine Reflexion überhaupt zustande kommt, klärt der Eintrag zur Reflexion; wo genau auf einer Fläche sie ansetzt und wie man den Punkt mit einem Handspiegel findet, steht beim Erstreflexionspunkt. Die beiden wichtigsten Anwendungen des Modells sind SBIR für die Fläche hinter dem Lautsprecher und der Bodeneffekt für die Fläche darunter; das entstehende Muster beschreibt der Kammfiltereffekt. Warum die Ecke den Pegel anhebt, gehört zum Druckkammereffekt.

Quellen

Das Verfahren ist ein geometrisches Modell; die Aussagen zu Laufzeit, Pegel und Abzählung der Spiegelquellen folgen unmittelbar aus seiner Definition und sind nachrechenbar. Für die rechnergestützte Anwendung auf rechteckige Räume ist die Arbeit von Jont B. Allen und David A. Berkley von 1979 die einschlägige Fundstelle; sie ist hier bibliografisch belegt, lag aber nicht im Volltext vor.