QRD-Auslegung

Ein Schroeder-Diffusor wirkt nicht überall, sondern zwischen zwei Grenzen, und beide stehen bereits in der Bauzeichnung. Diese Seite rechnet sie aus: die Kammertiefen aus der Zahlenfolge, die untere Wirkgrenze aus der tiefsten Kammer, die obere aus der Kammerbreite. Damit lässt sich vor dem Kauf beantworten, was eine Struktur an der Wand leisten kann — und was nicht.

Die Auslegungsvorschrift geht auf Manfred R. Schroeder zurück, der als Physiker an der Universität Göttingen und bei den Bell Laboratories arbeitete und in den 1970er-Jahren vorschlug, Kammertiefen nicht nach Gefühl zu wählen, sondern aus zahlentheoretischen Folgen abzuleiten.

Natürliche Erklärung

Jede Kammer wirft den Schall zurück, aber mit einem Umweg: hinein und wieder heraus, also zweimal ihre Tiefe. Aus diesem Umweg wird eine Phasenverschiebung, und weil jede Kammer eine andere Tiefe hat, verlässt der Schall die Struktur als Summe vieler unterschiedlich verschobener Anteile. Die überlagern sich in verschiedenen Richtungen unterschiedlich, und daraus entsteht die Streuung.

Warum ausgerechnet die quadratischen Reste? Weil ihre Phasenverschiebungen, über eine Periode betrachtet, gleichmäßig auf dem Kreis liegen. Das ist eine Eigenschaft dieser Zahlenfolge und nicht der Akustik — Schroeders eigentliche Leistung war, sie an dieser Stelle zu erkennen. Eine willkürlich gewählte Tiefenfolge streut auch — aber ungleichmäßig, mit Vorzugsrichtungen und Einbrüchen statt eines definierten Wirkbereichs.

Aus derselben Mechanik folgen beide Grenzen des Wirkbereichs.

Nach unten braucht es Tiefe. Bei tiefen Frequenzen ist die Wellenlänge groß; damit die Kammern überhaupt eine nennenswerte Phasenverschiebung erzeugen, müssen sie einen merklichen Bruchteil davon messen. Die tiefste Kammer eines QRD misst je nach N zwischen etwa einem Drittel und knapp der Hälfte der Entwurfswellenlänge, und unterhalb der Entwurfsfrequenz ist die Struktur für den Schall zunehmend eine ebene Wand.

Nach oben begrenzt die Kammerbreite. Sobald die Wellenlänge kleiner wird als die doppelte Kammerbreite, passt eine halbe Welle quer in die Kammer — die Kammer bekommt eigene Querresonanzen, verhält sich zunehmend wie eine kleine glatte Fläche für sich, und die geordnete Phasenbeziehung zwischen den Kammern geht verloren. Deshalb steht in f_o = c/(2·w) die Kammerbreite und sonst nichts.

Es gibt noch eine dritte Stelle, an der die Struktur ihre Wirkung verliert, und sie folgt direkt aus der Rechnung: Bei der N-fachen Entwurfsfrequenz sind alle Phasenverschiebungen ganze Vielfache einer vollen Welle. Die Kammern sind dann untereinander wieder in Phase, und die Struktur reflektiert wie eine ebene Platte. Bei üblichen Auslegungen liegt diese Frequenz nahe an der oberen Grenze oder darüber und fällt deshalb kaum auf — bei einer sehr schmalkammrigen Bauform kann sie aber mitten im Arbeitsbereich landen.

Eingangsgrößen und Einheiten

Für N kommen in der Praxis 7, 11, 13, 17, 19 und 23 vor. Ein größeres N liefert feiner abgestufte Tiefen und eine breitere Periode. Die für dieselbe untere Grenze nötige Bautiefe hängt am größten Wert der Folge und ändert sich dabei nicht gleichmäßig mit N: Die tiefste Kammer misst rund 0,29 · λ₀ bei N = 7, rund 0,46 · λ₀ bei N = 13 und wieder rund 0,39 · λ₀ bei N = 23.

Die Kammerbreite w ist das lichte Maß zwischen den Stegen. Die Stegdicke selbst geht in die Rechnung nicht ein, soll aber klein bleiben — dicke Stege bilden eine zusammenhängende reflektierende Fläche, die der Auslegung entgegenarbeitet.

Für c gilt wie auf den anderen Formelseiten 343 m/s bei 20 °C. Anders als bei den Raummoden spielt die Temperaturabhängigkeit hier keine Rolle: Sie verschiebt beide Wirkgrenzen um dieselben knapp zwei Prozent, und ein Wirkbereich von zwei Oktaven verträgt das mühelos.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Rechnung beschreibt einen eindimensionalen QRD — Rillen in einer Richtung, gleich breite Kammern, dünne Stege — der periodisch wiederholt an einer ebenen Fläche sitzt. Zweidimensionale Varianten aus unterschiedlich hohen Klötzchen folgen demselben Prinzip mit der Folge auf einem Raster; die Grenzen gelten sinngemäß.

Zwei Bedingungen betreffen die Größe der Struktur. Sie muss erstens mehrfach wiederholt werden, weil die Auslegung auf einer vollen Periode beruht — eine einzelne Periode ist ein Ausschnitt, kein Diffusor. Zweitens muss die gesamte Fläche breit sein gegen die Entwurfswellenlänge, sonst dominiert die Beugung an den Rändern das Ergebnis. Eine Struktur von 35 cm Breite kann bei 500 Hz, wo die Welle 69 cm misst, nicht das leisten, was ihre Kammertiefen versprechen.

Und sie gilt im Fernfeld. Nahe vor der Struktur haben sich die Anteile aus den einzelnen Kammern noch nicht zu einem gestreuten Feld überlagert; dort wirkt sie anders, als die Rechnung sagt. Deshalb braucht ein Diffusor Abstand zum Hörplatz.

Grenzen

Die Rechnung sagt, in welchem Bereich die Struktur streut. Sie sagt nicht, wie gut sie das tut. Dafür gibt es zwei genormte Kennwerte, Streugrad und Diffusionsgrad nach ISO 17497, und beide sind Messgrößen — aus den Kammertiefen allein lassen sie sich nicht ableiten.

Zweitens bleibt die Absorption außen vor. Ein QRD schluckt nebenbei mehr, als seine Bauart vermuten lässt — warum, steht beim Schroeder-Diffusor; in den Kammertiefen dieser Rechnung taucht davon nichts auf.

Drittens ist der Wirkbereich schmaler, als er auf dem Papier aussieht. Zwischen f_u und f_o liegen bei üblichen Bauformen zwei bis drei Oktaven, und die liegen sämtlich im Mittel- und Hochton. Genau die Frequenzen, in denen ein Wohnraum akustisch schwierig ist — der Bass — bleiben unerreichbar, und zwar nicht wegen fehlender Sorgfalt, sondern weil die nötige Bautiefe in kein Zimmer passt. Das Rechenbeispiel unten zeigt die Zahl.

Und schließlich sagt die Formel nichts darüber, ob an dieser Wand überhaupt ein Diffusor hingehört. Wo im Raum Diffusion sinnvoll ist und warum sie an den frühen Reflexionspunkten wenig ausrichtet, steht beim Schroeder-Diffusor und beim Erstreflexionspunkt.

Rechenbeispiel

Teil 1 — eine Struktur auslegen. Vorgabe: N = 7, Kammerbreite w = 5 cm, untere Wirkgrenze f_u = 500 Hz.

text λ₀ = 343 / 500 = 0,686 m λ₀ / (2 · N) = 0,686 / 14 = 0,049 m

s_n (n = 0 … 6): 0 1 4 2 2 4 1 d_n in cm: 0 4,9 19,6 9,8 9,8 19,6 4,9

tiefste Kammer d_max = 19,6 cm Periodenbreite 7 · 5 cm = 35 cm obere Grenze f_o = 343 / (2 · 0,05) = 3430 Hz

Der Wirkbereich reicht damit von 500 Hz bis 3430 Hz, also knapp 2,8 Oktaven. Die Struktur ist rund 20 cm tief — plus Rahmen — und muss mehrfach nebeneinander wiederholt werden, um bei 500 Hz mit ihrer Wellenlänge von 69 cm überhaupt breit genug zu sein.

Teil 2 — die Grenzen verschieben. Was kostet es, den Bereich nach oben zu erweitern? Nur schmalere Kammern:

text w = 5,0 cm → f_o = 3430 Hz w = 2,5 cm → f_o = 6860 Hz w = 2,0 cm → f_o = 8575 Hz

Das ist billig, denn die Bautiefe bleibt gleich. Nach unten sieht es anders aus — dort steht λ₀ im Zähler:

text f_u = 500 Hz → λ₀ = 0,686 m → d_max = 4 · 0,686 / 14 = 0,196 m f_u = 200 Hz → λ₀ = 1,715 m → d_max = 4 · 1,715 / 14 = 0,490 m f_u = 100 Hz → λ₀ = 3,430 m → d_max = 4 · 3,430 / 14 = 0,980 m

Knapp ein Meter Bautiefe für eine untere Grenze von 100 Hz — und 100 Hz ist noch nicht einmal Tiefbass. Dazu käme eine Gesamtbreite in der Größenordnung der Wellenlänge, also mehrere Meter. Das ist die Zahl hinter der Aussage, für den Bassbereich kämen Bautiefen heraus, die kein Wohnraum hergibt. Im Bass bleibt es deshalb bei Absorption und bei den Verfahren zur Modenkontrolle — nicht weil ein Bass-Diffusor zu teuer wäre, sondern weil er an den Abmessungen scheitert.

Was daraus für die Planung folgt. Die Konzeptfrage steht auch hier zuerst: Soll der Raum mehr Räumlichkeit bekommen oder maximale Ortungsschärfe? Danach die Verfahrensfrage, und die entscheidet sich an der Geometrie — welche Fläche kommt überhaupt infrage, wie viel Abstand hat sie zum Hörplatz, wie viel Raumtiefe darf die Bauweise kosten. Erst wenn beides geklärt ist, wird ausgelegt, und dann sagt diese Rechnung, welcher Bereich erreichbar ist. Wer umgekehrt anfängt, kauft eine Struktur, die im Katalog gut aussieht und im Raum an der falschen Wand den falschen Bereich bearbeitet.

Verknüpfte Inhalte

Was ein Schroeder-Diffusor ist, wo im Raum er hingehört und welche verbreiteten Irrtümer es zu ihm gibt, steht im gleichnamigen Glossareintrag — diese Seite liefert die Zahlen zu den dort qualitativ beschriebenen Wirkgrenzen. Was Diffusion bewirkt und wie Streugrad und Diffusionsgrad definiert sind, erklärt der Eintrag zur Diffusion; wo frühe Reflexionen entstehen, der Erstreflexionspunkt. Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge steht auf der Formelseite zur Wellenlänge. Die gleichnamige Kennzahl des Raums — ohne fachlichen Zusammenhang mit dem Bauteil — behandelt die Schroeder-Frequenz.

Ein Rechner, der Kammertiefen und Wirkgrenzen direkt ausgibt, ist vorgemerkt und noch nicht umgesetzt.

Quellen

Prinzip und Auslegungsvorschrift gehen auf Schroeders Arbeiten der 1970er-Jahre zurück; die Wirkgrenzen aus Kammertiefe und Kammerbreite stehen in der Fachliteratur zu Absorbern und Diffusoren. Die Kennwerte für Streuung sind in ISO 17497 genormt.