Hallradius

Der Hallradius ist der Abstand von einer Schallquelle, in dem der Direktschall und der vom Raum zurückgeworfene Anteil gleich laut sind. Die Rechnung macht aus drei Größen — Raumvolumen, Nachhallzeit und Bündelungsgrad der Quelle — eine Entfernung in Metern. An dieser Entfernung entscheidet sich, wie viel von dem, was am Hörplatz ankommt, überhaupt noch vom Lautsprecher stammt.

Natürliche Erklärung

Im Raum treffen zwei Anteile aufeinander, die sich über den Abstand gegensätzlich verhalten. Der Direktschall verteilt sich auf eine Kugelfläche, die mit dem Quadrat der Entfernung wächst; er wird also mit jedem Meter schwächer. Das Diffusfeld speist sich aus der gesamten abgegebenen Leistung und stellt sich im ganzen Raum auf denselben Pegel ein. Eine fallende und eine waagerechte Kurve schneiden sich genau einmal — dieser Schnittpunkt ist der Hallradius.

Daraus folgt, wie ein Abstand zu lesen ist. Näher an der Quelle als r_H fällt der Pegel wie im Freien, also um rund 6 dB je Verdopplung der Entfernung. Weiter weg bleibt er nahezu konstant, weil dort das Diffusfeld den Pegel setzt. Genau an dieser Stelle endet im geschlossenen Raum die Freifeldrechnung.

Aufgeschrieben sind das zwei Zeilen für die Schallintensität, in denen P die abgegebene Schallleistung der Quelle ist:

text Direktschall: I_dir = Q · P / (4 · π · r²) Diffusfeld: I_diff = 4 · P / A

gleichgesetzt und nach r aufgelöst: r_H = √(Q · A / (16 · π))

Beim Gleichsetzen kürzt sich P heraus, und daraus folgt der wohl wichtigste Satz zu dieser Größe: Der Hallradius hängt gar nicht davon ab, wie laut gespielt wird. Wer aufdreht, hebt beide Kurven gemeinsam an und verschiebt den Schnittpunkt um keinen Zentimeter — dasselbe Missverständnis, das der Glossareintrag zum Hallradius ausführlich abräumt.

Setzt Du für A die Sabine-Gleichung ein, A = 0,163 s/m · V / T, entsteht die erste Form. Den Zahlenfaktor hat niemand gemessen; er fällt aus dieser Rechnung heraus: 0,057 = √(0,163 / (16 · π)). Er erbt damit jede Unsicherheit, die in der Sabine-Konstante steckt — begründet hat sie der Harvard-Physiker Wallace Clement Sabine um 1900 aus seinen Messreihen in Hörsälen.

Drei Stellschrauben stecken in der Gleichung, und sie stehen alle unter derselben Wurzel — deshalb wirken sie schwächer, als man erwartet. Mehr Volumen bei gleicher Nachhallzeit vergrößert r_H. Eine kürzere Nachhallzeit vergrößert ihn ebenfalls, weil sie für mehr Absorption steht. Am weitesten kommst Du über Q: Die Bündelung hebt den Direktschall auf der Achse an, ohne das Diffusfeld mitzuheben, denn dieses lebt von der gesamten abgestrahlten Leistung. Was ein Bündelungsgrad von 4 gegenüber einer halbierten Nachhallzeit bedeutet, steht unten im Rechenbeispiel als Zahl.

Eingangsgrößen und Einheiten

Q und das Bündelungsmaß DI beschreiben dieselbe Eigenschaft in zwei Schreibweisen, DI = 10 · log₁₀(Q). Für die Rechnung hier wird Q gebraucht: Aus 6 dB werden Q = 4, aus 3 dB Q = 2. Woher der Wert kommt und warum er über der Frequenz steigt, klärt der Eintrag zum Bündelungsmaß.

Zum Zahlenfaktor gehört ein Hinweis, weil er ohne Einheit falsch aussieht. √(Q · V / T) hat die Einheit √(m³/s) und ist damit noch kein Meter; die 0,057 bringen die fehlende Einheit √(s/m) mit und stammen aus der Konstante der Sabine-Gleichung. Wer diese Konstante mit 0,161 s/m ansetzt, kommt hier auf 0,0566 — gut ein halbes Prozent Unterschied, denn die Wurzel halbiert den Abstand zwischen den beiden Konstanten. Er verschwindet hinter der Unsicherheit der Nachhallzeit. AVITECT rechnet durchgehend mit dem Wert 0,057.

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Gleichung beschreibt ein statistisches Schallfeld. Sie setzt voraus, dass genügend Raummoden überlappen, dass der Diffusanteil also tatsächlich überall im Raum gleich laut ist. Erfüllt ist das oberhalb der Schroeder-Frequenz; darunter wirken einzelne Moden, und ein einheitlicher Hallanteil existiert dort nicht. Für den Bass beschreibt der Hallradius den Raum also gar nicht.

Die erste Form erbt außerdem die Gültigkeitsgrenzen der Sabine-Gleichung: gleichmäßig verteilte, vergleichsweise schwache Absorption bis zu einem mittleren Absorptionsgrad von etwa 0,2. In einem stark bedämpften Raum liefert Sabine eine zu lange Nachhallzeit und damit einen zu kleinen Hallradius. Dort ist die zweite Form der richtige Weg, mit A aus einer Messung oder aus der Eyring-Rechnung.

Und schließlich gilt jede Rechnung für ein Frequenzband. Sowohl die Nachhallzeit als auch der Bündelungsgrad ändern sich über der Frequenz erheblich. Ein einzelner Meterwert ohne Frequenzangabe ist eine Größenordnung für die Planung und kein Kennwert des Raums.

Grenzen

Der Hallradius mittelt über Frequenzen und Richtungen, und die Richtung dieses Fehlers ist nicht zufällig. Weil Q zu hohen Frequenzen hin steigt und die Nachhallzeit in möblierten Wohnräumen dort meist fällt, wirken beide Eingangsgrößen im Hochton in dieselbe Richtung — der Hallradius ist oben also größer als in den Mitten, und eine einzelne Zahl verdeckt diesen Verlauf.

Zweitens fallen die frühen Reflexionen aus dem Bild heraus. Zwischen dem Direktschall und dem ausgebildeten Diffusfeld liegen einzelne kräftige Rückwürfe über Seitenwand, Decke und Boden, die in den ersten Millisekunden eintreffen. Die Gleichung kennt nur zwei Anteile und ordnet diese Rückwürfe dem Diffusfeld zu, obwohl das Gehör sie beim Ortungseindruck weitgehend der ersten Wellenfront zuschlägt. Wie sich Direktschall, frühe Reflexionen und Nachhall am Hörplatz überlagern, steht im Eintrag zu Direktschall und Diffusfeld.

Der schwerwiegendste Vorbehalt steckt aber in der Annahme selbst. Ein wirklich gleichmäßiges Diffusfeld gibt es in realen Räumen nicht: In langgestreckten, in stark bedämpften und in ungleichmäßig bedämpften Räumen sinkt der gemessene Pegel auch jenseits des rechnerischen Hallradius weiter ab, statt konstant zu bleiben. Der berechnete Wert ist deshalb eine Planungsgröße und kein Messwert, den Du am Hörplatz nachprüfst.

Rechenbeispiel

Der multifunktionale Raum von den anderen Formelseiten: 5,60 m × 4,20 m × 2,50 m, also V = 58,8 m³, mit einer Nachhallzeit von T = 0,35 s im 1-kHz-Band.

Schritt 1 — gilt die Rechnung hier überhaupt? Die Schroeder-Frequenz des Raums liegt bei rund 150 Hz, mit dem strengeren Überlappungskriterium bei gut 300 Hz. Das 1-kHz-Band liegt in beiden Fällen deutlich darüber, das statistische Feld ist also vorhanden.

Schritt 2 — Hallradius für einen Kugelstrahler (Q = 1):

text r_H = 0,057 · √(1 · 58,8 / 0,35) = 0,057 · √168 = 0,057 · 12,96 = 0,74 m

Schritt 3 — Gegenprobe über die Absorptionsfläche. Aus der Sabine-Gleichung folgt A = 0,163 · 58,8 / 0,35 = 27,4 m². Damit:

text r_H = √(1 · 27,4 / (16 · π)) = √(27,4 / 50,27) = √0,545 = 0,74 m

Beide Wege kommen auf denselben Wert, wie sie es müssen — die zweite Rechnung ist die Probe darauf, dass die Konstante 0,057 nichts anderes ist als die eingesetzte Sabine-Gleichung.

Schritt 4 — was die beiden Stellschrauben leisten. Einmal die Nachhallzeit halbieren, einmal eine gerichtete Quelle mit 6 dB Bündelungsmaß einsetzen, also Q = 4:

Die Halbierung der Nachhallzeit ist ein erheblicher baulicher Eingriff und bringt den Faktor 1,41. Der Wechsel auf eine Quelle mit Q = 4 verdoppelt den Hallradius und verlangt keinen Umbau, nur eine andere Wahl des Lautsprechers. Von den beiden rechnerischen Hebeln ist die Bündelung damit der stärkere — und der einzige, der ohne Baumaßnahme auskommt. Umsonst ist sie deshalb nicht: Ein Q von 4 verteilt dieselbe Leistung auf einen kleineren Winkelbereich. Der Gewinn gilt auf der Achse, seitlich davon fällt er ab, und die Fläche, auf der mehrere Plätze gleich versorgt sind, wird kleiner.

Schritt 5 — was das für den Hörplatz heißt. Bei einem Hörabstand von 3,00 m sitzt Du im Ausgangszustand gut viermal so weit weg wie der Hallradius, mit der gerichteten Quelle aus Schritt 4 immer noch doppelt so weit. Auf jedem dieser Plätze setzt der Raum den Pegel, und ein anderer Lautsprecher mit ähnlichem Abstrahlverhalten ändert daran wenig. Wie stark der Raumanteil dort überwiegt, rechnet das Direktschall-Diffusfeld-Verhältnis aus — es braucht dafür nur den Hallradius und den Abstand.

Die Planungsreihenfolge folgt daraus von selbst. Am Anfang steht die Konzeptfrage, wie viel Direktschall am Platz ankommen soll und was er kosten darf. Daraus folgt die Verfahrenswahl zwischen mehr Absorptionsfläche, kürzerem Hörabstand und einem stärker bündelnden System, meist als Kombination. Erst danach ist die Frage nach dem Gerät sinnvoll, denn dann steht fest, welches Abstrahlverhalten es mitbringen muss.

Verknüpfte Inhalte

Die beiden Anteile, deren Schnittpunkt hier ausgerechnet wird, haben einen gemeinsamen Glossareintrag; wie sich ihr Pegelverhältnis an einem konkreten Platz beziffern lässt, rechnet die Formelseite zum Direktschall-Diffusfeld-Verhältnis vor. Die begriffliche Einordnung des Hallradius samt der verbreiteten Missverständnisse hat einen eigenen Eintrag. Die Eingangsgrößen kommen von der Nachhallzeit nach Sabine und, für stark bedämpfte Räume, von der Eyring-Form; die äquivalente Absorptionsfläche hat einen eigenen Glossareintrag. Die untere Gültigkeitsgrenze liefert die Schroeder-Frequenz, den Bündelungsgrad Q das Bündelungsmaß. Warum die 6-dB-Regel im Raum nur bis hierher gilt, steht bei der Freifeld-Formelseite; warum die abgegebene Leistung der Quelle in dieser Gleichung gar nicht auftaucht, wird beim Glossareintrag zur Schallleistung verständlich.

Quellen

Der Hallradius und die Energiedichte des diffusen Felds folgen der Standardliteratur zur Raumakustik; der Zahlenfaktor 0,057 ist aus der Sabine-Gleichung ausgerechnet und auf dieser Seite hergeleitet. Die Nachhallzeit als Eingangsgröße wird nach ISO 3382 gemessen.