Abflusszahl (Durchflusskoeffizient)

Was ist die Abflusszahl Cd — und warum steht sie in jeder Rechnung, in der Luft oder Wasser durch eine Öffnung strömt?

Die Abflusszahl Cd ist eine dimensionslose Zahl zwischen 0 und 1 und beantwortet eine einzige Frage: Wie viel von dem Volumenstrom, den eine Öffnung rechnerisch durchlassen könnte, geht wirklich hindurch? Sie steht als Vorfaktor in jeder Ausströmgleichung — Q = Cd · A · √(2 Δp / ρ) — und korrigiert damit die ideale, reibungsfreie Rechnung auf das, was eine reale Öffnung zulässt.

Wenn Du eine Flasche ausgießt, läuft nie so viel Wasser heraus, wie in die Öffnung eigentlich hineinpassen würde. Der Strahl zieht sich direkt hinter dem Rand zusammen und wird dünner als das Loch selbst. Wie stark das passiert, hängt an der Form des Randes: Eine scharfe Kante bremst deutlich, ein weich abgerundeter Trichter kaum. Genau dieses Verhältnis steckt in einer einzigen Zahl. Für Dich wird sie überall dort wichtig, wo Luft von allein durch eine Öffnung strömen soll — bei den Lüftungsschlitzen eines Technikschranks zum Beispiel. Zwei gleich große Löcher können dort unterschiedlich viel Luft durchlassen, nur weil das eine sauber ausgeformt ist und das andere ein gestanzter Ausschnitt.

Ausführliche Erklärung

Die ideale Rechnung geht auf Evangelista Torricelli zurück, den Florentiner Mathematiker und Schüler Galileis, der in den 1640er-Jahren zeigte, dass eine Flüssigkeit aus einer Öffnung mit derselben Geschwindigkeit austritt, die sie im freien Fall aus der Höhe des Flüssigkeitsspiegels erreichen würde. Diese Beziehung kennt keine Reibung und keine Strahlform — sie ist eine Energiebilanz, sonst nichts. Genau deshalb liefert sie stets mehr, als man misst.

Die Abflusszahl schließt diese Lücke, und sie hat zwei physikalisch getrennte Ursachen. Die erste ist die Einschnürung: Die Strömung kann der Kante nicht scharf folgen, sie löst ab, und der austretende Strahl zieht sich hinter der Öffnung auf einen kleineren Querschnitt zusammen — die vena contracta. Bei einer scharfkantigen Öffnung bleiben davon rund 61 bis 64 Prozent der geometrischen Fläche übrig. Die zweite Ursache ist die Reibung an den Rändern, die die Geschwindigkeit senkt; sie kostet bei derselben Öffnung nur wenige Prozent. Die deutschsprachige Strömungsliteratur führt beide Anteile einzeln als Kontraktionszahl α und Geschwindigkeitsbeiwert φ und setzt sie zur Ausflusszahl μ = φ · α zusammen. Cd, μ und die englische Bezeichnung discharge coefficient meinen dieselbe Größe.

Diese Zerlegung erklärt, warum die Werte so ausfallen, wie sie ausfallen:

Öffnungsform	Geschwindigkeit φ	Kontraktion α	Abflusszahl μ = Cd
scharfkantige Öffnung	0,97	0,61 – 0,64	0,59 – 0,62
abgerundete Düse	0,97 – 0,99	≈ 1,0	0,97 – 0,99
zylindrisches Ansatzrohr (L/d = 2 bis 3)	≈ 0,82	≈ 1,0	≈ 0,82

Bei der scharfen Kante kommt fast der gesamte Verlust aus der Einschnürung. Rundet man die Kante ab, verschwindet dieser Anteil praktisch vollständig, und übrig bleibt die Reibung — die Abflusszahl springt von 0,6 auf über 0,97. Das ist der eigentliche Ertrag der Zahl für die Planung: Eine sauber ausgeformte Öffnung lässt bei gleicher Fläche mehr als anderthalbmal so viel durch wie ein gestanztes Loch.

Der Wert hängt an der Geometrie der Öffnung, nicht am Medium. Dieselbe Kennzahl gilt für Wasser aus einem Behälter und für Luft durch einen Lüftungsschlitz, solange die Strömung nicht in den Bereich hoher Machzahlen kommt. Deshalb kehrt sie in ganz verschiedenen Rechnungen wieder — bei der auftriebsgetriebenen Lüftung eines Technikschranks ebenso wie bei der Auslegung von Zu- und Abluftöffnungen oder bei der Durchflussmessung mit Drosselgeräten, wo die Rechnung umgekehrt läuft: Dort ist der Beiwert einer genormten Bauform genau bekannt, und aus dem gemessenen Druckabfall folgt der Durchfluss.

Häufiges Missverständnis

Die verbreitete Vorstellung lautet: Cd sei ein Sicherheitszuschlag, eine Art Unschärfefaktor für den Fall, dass die Rechnung nicht ganz stimmt. Das ist sie nicht. Cd ist eine gemessene, geometrieabhängige Eigenschaft der Öffnung — bei derselben Bauform reproduzierbar, in Nachschlagewerken tabelliert und bei genormten Drosselgeräten auf zwei Nachkommastellen bekannt. Wer sie als Reserve behandelt und „zur Sicherheit" noch einen zweiten Abschlag draufsetzt, rechnet den Effekt doppelt.

Beim Übertragen der Zahlenwerte lauert der nächste Fehler. Cd ist zwar mediumunabhängig, aber nicht kontextfrei: Die Lüftungsliteratur nennt für abgerundete Öffnungen rund 0,80 bis 0,90, die Strömungsmechanik für die abgerundete Düse dagegen 0,97 bis 0,99 — für dieselbe Kantenform. Der Unterschied liegt nicht in der Physik der Kante, sondern darin, was jeweils mitgezählt wird: In der Gebäudelüftung steckt im Wert regelmäßig schon der Weg hinter der Öffnung mit drin, in der Ausströmrechnung nur die Öffnung selbst. Ein Richtwert wird deshalb aus der Quelle genommen, deren Anwendungsfall zur eigenen Rechnung passt, und nicht aus der, die die schönere Zahl liefert.

Am teuersten wird in der Praxis aber ein sprachlicher Kurzschluss: Ein Gitter oder Lochblech hat kein schlechteres Cd — es ist eine kleinere Öffnung. Der freie Querschnittsanteil geht in die Fläche A ein, nicht in den Beiwert. Wer ein Lochblech mit 40 Prozent freier Fläche über einen abgesenkten Cd-Wert abbilden will, mischt zwei Größen, die sich unabhängig voneinander ändern.

Nicht zu verwechseln mit

Strömungswiderstand: In der Raumakustik bezeichnet der Strömungswiderstand den Widerstand eines porösen Materials gegen durchtretende Luft — eine Eigenschaft des Absorbers mit eigener Einheit. Die Abflusszahl beschreibt dagegen eine Öffnungsgeometrie und ist dimensionslos. Die beiden Begriffe klingen ähnlich und begegnen sich in derselben Planung, wenn eine Lüftungsöffnung akustisch bedämpft werden soll.
Kontraktionszahl α: Nur der Einschnürungsanteil, einer der beiden Faktoren.
Geschwindigkeitsbeiwert φ: Nur der Reibungsanteil, der andere.
Freier Querschnittsanteil eines Gitters: Eine Flächenangabe in Prozent. Sie gehört in A, nicht in Cd.

In der Planung

Ein geschlossener Technikschrank soll ohne Ventilator auskommen. Die Frage am Anfang lautet, ob überhaupt gerechnet werden muss: Reicht die reine Auftriebsströmung für die Verlustleistung der eingebauten Geräte, oder wird ohnehin aktiv belüftet? Nur im ersten Fall lohnt sich die Rechnung überhaupt.

Fällt die Antwort auf „passiv", wird Cd gebraucht: Der nötige Volumenstrom kommt aus der Wärmebilanz, und die Kaminwirkung rechnet daraus die erforderliche Öffnungsfläche. In dieser Rechnung stehen Cd und A an derselben Stelle: Im Volumenstrom gehen beide linear ein, in der Übertemperatur beide mit der Potenz zwei Drittel. Eine um die Hälfte bessere Abflusszahl wirkt damit genauso wie eine um die Hälfte größere Öffnung — und die Kante abzurunden ist meist billiger, als den Ausschnitt zu vergrößern.

Erst danach kommt das Bauteil: Wird eine Lüftungsöffnung mit Gitter gewählt, sinkt die wirksame Fläche A auf den freien Querschnittsanteil, und dieser Schritt wird getrennt gerechnet. Für die Vorplanung ist der konservative Wert der scharfkantigen Öffnung die richtige Annahme, solange die Ausführung des Randes nicht feststeht.

Verknüpfte Inhalte

Wo Cd hergeleitet wird und wie er in die Rechnung für die Übertemperatur eines geschlossenen Aufbaus eingeht, steht bei der auftriebsgetriebenen Lüftung — diese Seite ersetzt jene Herleitung nicht, sondern macht den Begriff für andere Rechnungen verlinkbar. Woher der nötige Volumenstrom kommt, klärt die Wärmebilanz der Raumluft; was stattdessen gilt, sobald ein Ventilator die Strömung antreibt, steht bei den Ventilatorgesetzen.

Quellen

Die Zerlegung in Kontraktionszahl und Geschwindigkeitsbeiwert und die Richtwerte der Tabelle stammen aus einem technischen Nachschlagewerk der Strömungsmechanik. Die abweichenden Richtwerte der Gebäudelüftung folgen der ASHRAE-Angabe, die auch die Formel zur Kaminwirkung verwendet; die Grundbeziehung der Durchströmung einer Öffnung der CIBSE-Seminarunterlage von Hazim Awbi. Die Zuordnung der idealen Ausströmgleichung zu Evangelista Torricelli ist nur enzyklopädisch belegt und nicht am Objekt geprüft.