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Infrastruktur
Auftriebsgetriebene Lüftung (Kaminwirkung)
Wie groß ist der Luftvolumenstrom, den allein ein Temperaturunterschied durch zwei versetzt angeordnete Öffnungen treibt — ganz ohne Ventilator?
Eingangsgrößen
Direkte Antwort: Zwei Öffnungen auf unterschiedlicher Höhe in einer sonst geschlossenen Hülle reichen aus, um ganz ohne Ventilator einen Luftstrom in Gang zu setzen — allein, weil warme Luft leichter ist als kalte. Diese Formel rechnet, wie groß dieser Volumenstrom ausfällt, aus der Öffnungsgröße, dem Höhenunterschied und der Temperaturdifferenz.
Ein Kamin funktioniert, ohne dass irgendetwas die Luft aktiv anschiebt: Warme Luft steigt auf, wie eine Luftblase im Wasser aufsteigt, weil sie leichter ist als ihre Umgebung. Genau dasselbe passiert in einem geschlossenen Technikschrank oder einem Lüftungsschacht — nur ohne offene Flamme. Unten strömt kühle Luft nach, oben entweicht die warme, und das treibt sich ganz von selbst an, solange unten und oben je eine Öffnung vorhanden ist und dazwischen ein spürbarer Höhenunterschied liegt. Je größer die Öffnungen und je weiter sie auseinanderliegen, desto mehr Luft bewegt sich — ganz ohne Strom, ganz ohne Geräusch.
Herleitung
Die Formel setzt sich aus zwei einzeln bekannten Beziehungen zusammen.
Erstens der Auftriebsdruck. Zwischen zwei Punkten im Abstand H entsteht ein Druckunterschied, wenn die Luftsäulen auf beiden Seiten unterschiedlich schwer sind:
text Δp = g · H · (ρ_außen − ρ_innen)
Nach dem idealen Gasgesetz ist die Dichte bei konstantem Druck umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur, ρ ∝ 1/T. Für eine Temperaturdifferenz ΔT, die klein ist gegenüber der absoluten Temperatur T — im Technikraum- und Kinoraumbereich immer der Fall —, vereinfacht sich das Dichteverhältnis zu (ρ_außen − ρ_innen)/ρ ≈ ΔT/T, und damit:
text Δp ≈ ρ · g · H · ΔT / T
Zweitens die Ausströmgleichung einer Öffnung. Für die Durchströmung einer Öffnung unter einer Druckdifferenz Δp gilt die aus der Bernoulli-Gleichung abgeleitete Beziehung Q = Cd · A · √(2 Δp/ρ) — dieselbe Form, in der auch die CIBSE-Seminarunterlage von Hazim Awbi (University of Reading) die Grundbeziehung der natürlichen Lüftung angibt.
Beide zusammengesetzt:
text Q = Cd · A · √( 2 · (ρ · g · H · ΔT / T) / ρ ) = Cd · A · √( 2 g H ΔT / T )
Die Dichte ρ kürzt sich heraus — genau deshalb braucht die fertige Formel keinen eigenen Dichtewert mehr, nur noch die absolute Bezugstemperatur T.
Die Abflusszahl Cd
Cd — auch Durchflusskoeffizient oder Ausflusszahl genannt — ist keine Unschärfe, sondern eine physikalisch begründete Korrektur: Die Bernoulli-Gleichung beschreibt eine ideale, verlustfreie Strömung; eine reale Öffnung bremst zusätzlich, weil sich die Strömung an der Kante ablöst und einschnürt (der sogenannte vena-contracta-Effekt) und weil Reibung an den Rändern Energie kostet. Cd ist das Verhältnis aus tatsächlichem zu ideal berechnetem Volumenstrom und liegt deshalb immer unter 1.
Der Wert hängt von der Geometrie der Öffnung ab:
| Öffnungsform | Cd, typischer Bereich |
|---|---|
| scharfkantige Öffnung (Lochblech, einfacher Ausschnitt) | 0,60 – 0,65 |
| kalibrierte Messblende einer Durchflussmessung (scharfkantige Scheibe mit Bohrung) | 0,60 – 0,61 |
| abgerundete, trichterförmige Öffnung (Düse) | 0,80 – 0,90 |
| genormte Düse oder Venturirohr einer Durchflussmessung | 0,95 – 0,99 |
| Gitter, Lamellen, Lochblech mit geringem Lochanteil | deutlich niedriger — hängt vom freien Flächenanteil ab und muss über dessen Reduktion gesondert berücksichtigt werden |
Kalibriert heißt nicht durchlässiger. Die beiden mittleren Zeilen stehen hier, weil sie regelmäßig vertauscht werden — und die Vertauschung kostet Öffnungsfläche. Dass ein Bauteil kalibriert ist, sagt nichts über die Höhe von Cd, sondern nur darüber, wie genau der Wert bekannt ist. Eine Messblende ist eine scharfkantige Scheibe mit einer Bohrung, also genau der Fall aus der ersten Zeile; ihr Durchflusskoeffizient liegt deshalb dort, wo er bei einer scharfen Kante immer liegt. Die hohen Werte ab etwa 0,95 gehören den strömungsgünstig geformten Drosselgeräten, der genormten Düse und dem Venturirohr. Wer für eine Blende mit 0,95 statt mit 0,60 rechnet, erhält einen Volumenstrom, der um gut die Hälfte zu hoch ist, und legt die Lüftungsöffnung entsprechend zu klein aus.
Die Zahlen der Drosselgeräte stehen zum Vergleich da, nicht als Rechenwert für eine Wandöffnung: Sie gelten für einen genau festgelegten Einbau — bestimmtes Rohr, festgelegte Lage der Druckentnahmestellen, festes Verhältnis von Bohrungs- zu Rohrdurchmesser — und für eine Rechnung, in der die Anströmgeschwindigkeit im Rohr getrennt berücksichtigt wird.
Für die Lüftungsauslegung im Technik- und Kinoraum ist die scharfkantige Öffnung der Regelfall, deshalb rechnet diese Seite mit Cd ≈ 0,6 bis 0,65 — derselbe Bereich, den auch die Wissensseite zur Wärmeabfuhr eingebauter Technik verwendet. Dass die Lüftungsliteratur für die abgerundete Kante niedrigere Werte nennt als die Strömungsmechanik, hat einen eigenen Grund; er steht bei der Abflusszahl, wo der Begriff für andere Rechnungen verlinkbar wird.
Kombiniert mit der Wärmebilanz: die Übertemperatur
Die eigentliche Planungsfrage lautet selten „wie groß ist Q", sondern „welche Übertemperatur ΔT stellt sich bei einer bekannten Wärmelast P und einem gegebenen Querschnitt A ein". Dafür wird diese Formel mit der Wärmebilanz der Raumluft zusammengeführt: P = ρ · cp · Q · ΔT, aufgelöst nach Q und gleichgesetzt.
text Q = P / (ρ · cp · ΔT) = Cd · A · √(2 g H ΔT / T)
nach ΔT aufgelöst:
ΔT = [ P / ( ρ · cp · Cd · A · √(2 g H / T) ) ] ^(2/3)
Die Übertemperatur reagiert auf den Querschnitt A also nicht linear, sondern mit der Potenz 2/3 (weil A gleich zweimal eingeht — einmal direkt, einmal über Q in der Wärmebilanz). Doppelter Querschnitt senkt die Übertemperatur deshalb nicht um die Hälfte, sondern auf 2^(−2/3) ≈ 0,63, also um gut ein Drittel. Der Höhenunterschied H geht nur über die Wurzel ein und wirkt entsprechend schwächer: doppeltes H senkt ΔT auf 2^(−1/3) ≈ 0,79.
Eingangsgrößen und Einheiten
| Symbol | Größe | Einheit |
|---|---|---|
| Q | Volumenstrom durch die Öffnungen | m³/s |
| Cd | Abflusszahl der Öffnung | — |
| A | wirksamer freier Öffnungsquerschnitt | m² |
| g | Erdbeschleunigung | m/s² |
| H | Höhenunterschied zwischen den Öffnungen | m |
| ΔT | Temperaturdifferenz innen − außen | K |
| T | absolute Bezugstemperatur | K |
Gültiger Bereich und Annahmen
Die Formel gilt für reine Auftriebslüftung ohne Windeinfluss — Wind überlagert einen eigenen, meist größeren Druckterm, der hier nicht enthalten ist. Sie setzt zwei Öffnungen mit einem tatsächlichen Höhenunterschied voraus; sitzen beide auf gleicher Höhe, liefert die Formel Q = 0, obwohl in der Praxis durch Turbulenz noch ein kleiner Austausch stattfindet. Sie gilt für kleine ΔT/T, wie sie im Technikraum- und Kinoraumbereich immer vorliegen — bei sehr großen Temperaturdifferenzen (etwa in der Brandsimulation) wird die Näherung ρ ∝ ΔT/T ungenau und die vollständige Dichteformel gehört eingesetzt.
Grenzen
Zwei Öffnungen in Reihe sind keine Summe. A in der Formel ist der wirksame Querschnitt, nicht die Fläche der einzelnen Öffnung. Liegen Zuluft- und Abluftöffnung strömungstechnisch hintereinander — der Normalfall bei einem Schrank mit unterer und oberer Öffnung —, gilt für den wirksamen Querschnitt:
text 1 / A_wirksam² = 1 / A_zu² + 1 / A_ab²
Zwei gleich große Öffnungen ergeben damit einen wirksamen Querschnitt von A/√2, nicht 2A. Und die praktisch wichtigere Folge: Ist eine der beiden Öffnungen deutlich kleiner als die andere, bestimmt sie das Ergebnis nahezu allein — eine großzügige Abluftöffnung über einer knappen Zuluftöffnung bringt fast nichts.
Kein Wind, keine Kanalreibung. Führt die Zu- oder Abluft über einen längeren Kanal statt über eine einfache Öffnung, kommt ein zusätzlicher Strömungswiderstand hinzu, der hier nicht enthalten ist und Cd zusätzlich senkt. Windeinfluss auf Außenöffnungen ist ebenfalls nicht enthalten; er kann die Auftriebsströmung verstärken oder ihr entgegenwirken.
Nur der Volumenstrom, keine Verteilung. Die Formel sagt, wie viel Luft strömt, nicht, wie sie sich im Innern des Aufbaus verteilt. Ein Aufbau mit ungünstiger innerer Luftführung kann trotz ausreichendem Q lokale Wärmenester behalten.
Rechenbeispiel
Eine Wandöffnung unten und eine oben, je 0,05 m² frei, 2 m Höhenunterschied zwischen den Öffnungsmitten, Innentemperatur 20 °C wärmer als die Bezugstemperatur — ΔT = 15 K bei T = 293 K (20 °C Außen- bzw. Raumluft in Kelvin).
text innerer Term: 2 · g · H · ΔT / T = 2 · 9,81 · 2 · 15 / 293 = 588,6 / 293 = 2,009 m²/s²
Wurzel: √2,009 = 1,417 m/s
Q (Cd = 1,00, rein rechnerisch ohne Verluste): = 0,05 m² · 1,417 m/s = 0,0709 m³/s
Q (Cd = 0,60, scharfkantige Öffnung, konservativ): = 0,60 · 0,0709 = 0,0425 m³/s = 153 m³/h
Q (Cd = 0,65, scharfkantige Öffnung, üblicher Wert): = 0,65 · 0,0709 = 0,0461 m³/s = 166 m³/h
Mit einer realistischen Abflusszahl liefert diese Öffnungsgeometrie also rund 150 bis 165 m³/h — ganz ohne Ventilator, allein durch den Temperaturunterschied. Ob das für die vorliegende Wärmelast ausreicht, beantwortet die Wärmebilanz der Raumluft mit demselben Q.
Verknüpfte Inhalte
Die Wärmebilanz, die diese Formel zur Übertemperatur eines Aufbaus ergänzt, steht bei der Wärmebilanz der Raumluft. Reicht die Kaminwirkung nicht mehr aus und wird ein Ventilator nötig, entscheiden die Ventilatorgesetze über Auslegung und Geräuschentwicklung. Das ausführliche Rechenbeispiel für einen geschlossenen Technikschrank mit derselben Formel, dem Effekt der Reihenschaltung zweier Öffnungen und den Sonderfällen der Praxis (Nische, Rack, Glastür) steht bei der Wärmeabfuhr eingebauter AV-Technik.
Quellen
Die Formel folgt der Standardbeziehung der auftriebsgetriebenen Gebäudelüftung, wie sie im ASHRAE Handbook — Fundamentals im Kapitel zur natürlichen Lüftung angegeben wird, zusammengesetzt aus der Ausströmgleichung einer Öffnung nach Awbi (CIBSE-Seminarunterlage) und dem Auftriebsdruck aus der idealen Gasnäherung. Herleitung und Rechenbeispiel sind eigene Rechnung mit den im Text genannten Annahmen. Der Wert für die kalibrierte Messblende folgt der Gleichung von Reader-Harris und Sattary (National Engineering Laboratory), die als „Agreed Equation" die Grundlage der in ISO 5167-2 geführten Reader-Harris/Gallagher-Gleichung bildet; ihre Auswertung über den Gültigkeitsbereich ist wieder eigene Rechnung.