Schalldruckpegel aus Schallleistungspegel

Diese Gleichung übersetzt eine Eigenschaft der Quelle in eine Eigenschaft eines Orts: Aus dem Schallleistungspegel L_W, den die Quelle abgibt, wird der Schalldruckpegel L_p, der in einem bestimmten Abstand ankommt. Sie liefert damit einen absoluten Wert in Dezibel, und sie enthält mit dem Bündelungsgrad Q die Größe, die über die Richtung entscheidet.

Natürliche Erklärung

Die Quelle gibt eine Schallleistung ab, und diese Leistung verteilt sich auf eine Fläche, die mit der Entfernung wächst. Bei kugelförmiger Abstrahlung ist diese Fläche 4π · r². Der Schalldruckpegel an einem Ort folgt daraus, wie viel Leistung dort auf einen Quadratmeter entfällt — also aus der abgegebenen Leistung geteilt durch die Kugelfläche. Genau diese Division steht als Subtraktion in der Gleichung, weil beide Größen logarithmisch angegeben werden.

Damit ist auch klar, woher die drei Terme kommen. Das Minus vor 20 · log₁₀(r) ist das Quadrat in r², übersetzt in Dezibel. Der konstante Abschlag von 11 dB ist der Rest der Kugelfläche, nämlich 4π ≈ 12,57 — und 10 · log₁₀(12,57) = 10,99 dB. Dahinter steckt allein die Geometrie: Eine Kugel um die Quelle hat schon in einem Meter Abstand gut zwölf Quadratmeter Oberfläche, und auf diese Fläche verteilt sich die Leistung bereits dort.

Der Q-Term beschreibt als einziger, wie die Quelle ihre Leistung über die Richtungen verteilt. Strahlt sie ungleichmäßig ab, steht auf der Hauptachse mehr Leistung je Fläche zur Verfügung als beim Kugelstrahler. Um diesen Faktor Q ist der Pegel dort höher — und seitlich entsprechend niedriger, denn die abgegebene Leistung bleibt dieselbe. Ein Lautsprecher, der frei im Raum hängt, bedient den vollen Raumwinkel und hat Q = 1; bündig in einer großen Fläche bleibt ihm nur der Halbraum, und Q steigt auf 2, in der Kante zweier Flächen auf 4, in der Raumecke auf 8. Was Q darüber hinaus bedeutet, warum es in Wahrheit ein Verlauf über der Frequenz ist und warum ein realer Lautsprecher beim Einbau in eine Wand mehr gewinnen kann als die 3 dB dieser Umverteilung, steht im Glossareintrag zu Richtwirkung und Bündelungsmaß.

Warum hier eine absolute Zahl herauskommt

Die Abstandsrechnung im Freifeld beantwortet eine andere Frage: Sie sagt, wie viel Pegel zwischen zwei Abständen verloren geht, und braucht dafür einen gemessenen oder aus dem Datenblatt bekannten Bezugspegel. Diese Gleichung hier startet stattdessen bei der Quelle und braucht keinen Bezugspegel.

Beide beschreiben dieselbe Physik. Bildet man mit dieser Gleichung die Differenz zweier Abstände bei gleichem Q und gleichem L_W, fallen L_W, der Q-Term und die 11 dB heraus:

text L_p(r₂) − L_p(r₁) = − 20 · log₁₀(r₂) + 20 · log₁₀(r₁) = − 20 · log₁₀(r₂ / r₁)

Übrig bleibt genau die Freifeld-Formel. Sie ist der Sonderfall dieser Gleichung für den Fall, dass die Richtwirkung gleich bleibt und nur der Abstand sich ändert. Das ist auch der Grund, warum die Bündelung dort fehlen darf: Sie kürzt sich weg. Sobald sich die Richtung mit ändert — zwei Sitzplätze außerhalb der Achse, ein Lautsprecher, der zur Grundstücksgrenze zeigt —, kürzt sie sich nicht mehr weg, und dann brauchst Du diese Seite.

Eingangsgrößen und Einheiten

Die beiden Pegel haben verschiedene Bezugsgrößen und sind deshalb nicht direkt vergleichbar; was sie jeweils bedeuten und warum vor dem einen Logarithmus die 10 und vor dem anderen die 20 steht, klärt der Glossareintrag zu Schallleistung und Schalldruck.

Anders als bei der reinen Abstandsrechnung ist die Einheit hier nicht gleichgültig. Dort steht ein Verhältnis r₂/r₁ im Logarithmus und kürzt sich; hier steht ein einzelner Abstand, und die Konstante von 11 dB enthält den Bezug auf einen Meter. Wer in Zentimetern einsetzt, bekommt einen um 40 dB falschen Wert.

Q ist dimensionslos und wird als Faktor eingesetzt, nicht in Dezibel. Das ist die häufigste Fehlbedienung dieser Gleichung: Steht in einem Datenblatt das Bündelungsmaß DI in Dezibel, entfällt der Term 10 · log₁₀(Q) und DI wird direkt addiert, denn DI = 10 · log₁₀(Q).

Gültiger Bereich und Annahmen

Die Gleichung setzt eine punktförmige Quelle im reflexionsfreien Feld voraus. Punktförmig heißt praktisch: Der Abstand ist groß gegenüber den Abmessungen der Quelle, üblicherweise ab etwa dem doppelten Schallwanddurchmesser. Direkt vor einem großen Lautsprecher und im Nahbereich einer langen Zeile gilt sie nicht.

Reflexionsfrei heißt: Die Flächen, die es gibt, stecken bereits in Q. Ein Halbraum mit Q = 2 unterstellt eine große, schallharte Fläche unmittelbar an der Quelle. Kommt eine weitere Fläche irgendwo im Ausbreitungsweg dazu, bildet die Gleichung sie nicht ab, und der gemessene Pegel liegt höher als der gerechnete.

Nach oben endet der Bereich bei etwa 50 m, weil dann Luftabsorption, Bodendämpfung und Wetter merklich werden; das Verfahren dafür steht in ISO 9613-2. Nach innen endet er am Hallradius: In einem geschlossenen Raum gilt diese Rechnung nur so weit, wie der Direktschall den Pegel bestimmt. Dahinter füllt das Diffusfeld auf, und der Pegel bleibt nahezu konstant, egal wie weit Du noch zurückgehst.

Beide Eingangsgrößen sind frequenzabhängig. L_W wird in Terzen oder Oktaven bestimmt, und Q ist ein Verlauf über der Frequenz. Wer beide als Einzahlwerte einsetzt, rechnet mit Mittelwerten und bekommt einen Mittelwert zurück — brauchbar für die Auslegung, nicht für eine Aussage über ein bestimmtes Band.

Grenzen

Der interessanteste Punkt ist die Konstante. Geometrisch beträgt sie 10 · log₁₀(4π) = 10,99 dB. Dass sie in der Praxis als 11 dB geschrieben wird, ist Rundung. Physikalisch kommt allerdings noch ein zweiter, kleinerer Beitrag hinzu: Die Bezugswerte p₀ = 20 µPa und P₀ = 1 pW passen exakt zusammen, wenn die Schallkennimpedanz der Luft 400 Pa·s/m beträgt. Bei 20 °C und normalem Luftdruck liegt sie bei rund 413 Pa·s/m, was den Abschlag um etwa 0,14 dB verkleinert — die Konstante wäre dann rund 10,85 dB. In der Auslegung spielt das keine Rolle, weil die Unsicherheit in Q und L_W um ein Vielfaches größer ist. Für die Herkunft der Zahl zählt es sehr wohl: Die geschriebenen 11 dB runden den geometrischen Anteil auf und lassen die Korrektur aus der Kennimpedanz weg, die in die andere Richtung weist. Gegenüber dem genauen Wert bei 20 °C bleibt damit ein Rest von rund 0,15 dB — klein genug für jede Auslegung, aber ein Rest und keine Naturkonstante.

Die zweite Grenze ist praktischer Natur: Lautsprecherdatenblätter nennen fast nie einen Schallleistungspegel. Sie nennen den Kennschalldruckpegel in einem Meter Abstand, weil der einfacher zu messen ist. Wer L_W braucht, muss es aus einer Hüllflächenmessung bestimmen oder aus einem gemessenen Abstrahlverhalten rechnen. Für Geräte, die nach europäischen Vorgaben mit einem Schallleistungspegel etikettiert sind, liegt der Wert dagegen vor — bei Außengeräten der Haustechnik etwa, die in der Planung als Störquelle neben der Beschallung stehen.

Die dritte Grenze steckt in Q. Ein einzelner Zahlenwert für einen Lautsprecher ist immer ein Mittelwert über ein Frequenzband, und gerade im Tiefton fällt Q gegen 1, weil dann jede Quelle nahezu kugelförmig abstrahlt. Ein gerichteter Lautsprecher hält den Nachbarn also im Hochton fern und im Bass deutlich weniger gut. Dass von einer entfernten Feier zuerst der Bass ankommt, hat darin eine seiner Ursachen; dazu kommt, dass Wände und Luft die hohen Töne stärker schlucken.

Und schließlich bleibt der Pegel eine physikalische Größe und keine Aussage über die empfundene Lautstärke. Wie beides zusammenhängt, steht beim Dezibel und auf der Wissensseite zum menschlichen Hören.

Häufiges Missverständnis

Die 11 dB werden regelmäßig als Verlust gelesen — als würde auf dem ersten Meter etwas verloren gehen. Das ist nicht, was der Term sagt. Er verbindet zwei verschiedene physikalische Größen miteinander, eine Leistung und einen Druck. Der Schall verliert auf dem ersten Meter nichts; er verteilt sich lediglich schon dort über gut zwölf Quadratmeter Kugelfläche.

Praktisch folgt daraus eine Warnung beim Datenblattvergleich. Ein Lautsprecher mit einem Kennschalldruckpegel von 89 dB und eine Quelle mit einem Schallleistungspegel von 89 dB sind weit auseinander: Die zweite erzeugt im Vollraum in einem Meter Abstand nur 78 dB. Zwischen den beiden Angaben liegen die rund 11 dB und zusätzlich der ganze Q-Term.

Rechenbeispiel

Ein Lautsprecher mit einem Schallleistungspegel von 100 dB, bündig in einer Wand montiert. Der Hörplatz liegt 4 m entfernt auf der Hauptachse. Bündig in einer großen Fläche heißt Halbraum, also Q = 2:

text L_p = 100 + 10 · log₁₀(2) − 20 · log₁₀(4) − 11 = 100 + 3,01 − 12,04 − 11 = 80,0 dB

Derselbe Lautsprecher frei im Raum aufgehängt strahlt in den Vollraum, also Q = 1:

text L_p = 100 + 0 − 12,04 − 11 = 77,0 dB

Drei Dezibel weniger, bei unveränderter Schallleistung. Der Grund steht in der Geometrie: Im Halbraum verteilt sich dieselbe Leistung auf die halbe Fläche, also entfällt auf jeden Quadratmeter das Doppelte. Am Gerät hat sich dafür nichts geändert.

Wie groß der Sprung von der Leistung zum Druck ist, zeigt derselbe Lautsprecher in einem Meter Abstand:

text Halbraum (Q = 2), r = 1 m: L_p = 100 + 3,01 − 0 − 11 = 92,0 dB Vollraum (Q = 1), r = 1 m: L_p = 100 + 0 − 0 − 11 = 89,0 dB

Zum Schluss die Probe auf den Zusammenhang mit der Abstandsrechnung. Derselbe Lautsprecher im Halbraum, jetzt in 8 m Abstand:

text L_p = 100 + 3,01 − 18,06 − 11 = 74,0 dB

Zwischen 4 m und 8 m liegen 80,0 − 74,0 = 6,0 dB, also genau die 6 dB je Abstandsverdopplung, die die Freifeld-Formel liefert. Die beiden Rechenwege stimmen überein, weil der Q-Term und die Konstante bei einer Differenzbildung herausfallen.

In der Planung wird diese Rechnung rückwärts gelesen. Am Anfang steht der Pegel, der am Hörplatz ankommen soll; über Abstand und Bündelung folgt daraus, welchen Schallleistungspegel die Quelle mitbringen muss. Dieser Wert ist die Anforderung, gegen die sich Kennschalldruckpegel, Belastbarkeit und Verstärkerleistung eines konkreten Geräts anschließend prüfen lassen.

Verknüpfte Inhalte

Was die beiden Pegel jeweils bedeuten, welche Bezugswerte dahinterstehen und warum sie ständig verwechselt werden, klärt der Glossareintrag zu Schallleistung und Schalldruck. Wie sich derselbe Pegel über die Entfernung ändert, wenn kein Schallleistungspegel vorliegt, rechnet die Freifeld-Seite; sie ist der Sonderfall dieser Gleichung ohne den Q-Term. Was der Bündelungsgrad Q genau beschreibt, wie er sich über der Frequenz verhält und warum ein Wandeinbau im Tiefton mehr bringt als die 3 dB der reinen Umverteilung, steht bei Richtwirkung und Bündelungsmaß sowie beim Baffle Step. Wo im Raum die Rechnung endet, sagen Hallradius und der Eintrag zu Direktschall und Diffusfeld. Woher der Kennschalldruckpegel kommt und wie er mit der elektrischen Leistung zusammenhängt, führen Wirkungsgrad und Verstärkerleistung aus; was ein Dezibel überhaupt ist, der Glossareintrag dazu.

Quellen

Der Zusammenhang zwischen Schallleistung, Kugelfläche und Schalldruck ist elementare Physik; die Bezugswerte p₀ = 20 µPa und P₀ = 1 pW sowie die Hüllflächenverfahren zur Bestimmung von L_W folgen der Normenreihe ISO 3744/3745. Die Erweiterung um Luftabsorption, Boden- und Wettereinfluss steht in ISO 9613-2. Richtfaktor und Hallradius folgen der Standardliteratur zur Raumakustik.